三角函數解題規律探微

王璐

隨著高考的改革，數學試題對學生的要求也越來越高，不再是應試型題目，因此，學生在數學的學習過程中，要熟悉并了解一些解題的規律以及策略.本論文主要從三角函數圖像的性質探討解題的基本規律，為教師以及學生在數學更深一層的教學以及學習的過程提供建議.

一、三角函數的圖像特征

對三角函數y=Asin（ωx+φ）+b進行求解時，往往比較復雜，因此，在求解時，往往將ωx+φ轉化為角α，然后再利用三角函數的性質進行求解.

已知y=2cos2x+3sin2x+a（a∈R）求：（1）如果x∈R，求三角函數y圖像的單調增區間；（2）如果x∈R，求三角函數y的最小正周期；（3）如果x∈R，求三角函數y圖像的對稱軸方程；（4）如果x∈0，π2，三角函數y的最大值為2，求函數y的最小值.

本論文主要以該例題為線索，為學生在三角函數圖像的求解問題上給出解題的相關規律.

二、單調區間求解問題

做該三角函數題時，應利用函數的轉化思路，將復雜問題轉化為簡單問題.轉化分為兩步：首先，將y=2cos2x+3sin2x+a轉化為y=Asin（ωx+φ）+b形式；然后，再將ωx+φ轉化為角α，那么四個問題均會轉化為與sinα有關的問題.

y=2cos2x+3sin2x+a=（cos2x+1）+3sin2x+a=2sin2x+π6+a+1.

（1）對2kπ-π2≤2x+π6≤2x+π2求解，可得kπ-π3≤x≤kπ+π6，因此，三角函數y圖像的單調增區間是kπ-π3，kπ+π6，k∈Z.

在此類問題的求解過程中，往往會出現其他錯誤，如，求三角函數y=sinπ3-2x的單調增區間，很多學生往往不可避免會令2kπ-π2≤π3-2x≤2kπ+π2，k∈Z.這種解法是錯誤的，求出的是單調減區間，正確的方法是先轉化形式y=sinπ3-2x為y=-sin2x-π3，然后再進行求解.另外一種簡單解法是根據圖像特征求解，通過觀察三角函數圖像可知，圖像的最大值和最小值之間相差周期的一半，即T2，利用sinα的性質找到三角函數的最低點，然后，將最低點的橫坐標向左減去半個周期，或者向右加上半個周期，即可得到相鄰的最高點的橫坐標，進而能夠得到一個單調減區間或增區間，最后，在這個周期上加上三角函數的整數倍周期，即可得到該函數圖像的單調區間.

在對y=2sin2x+π6+a+1的單調增區間進行求解時，首先，找到最低點，2x+π6=-π2，x=-π3，該函數的周期為π，相鄰最高點為x=-π3+π2=π6.因此，-π3，π6是該函數的一個增區間，進而得到該函數所有的增區間為kπ-π3，kπ+π6，k∈Z.同樣，該方法對于函數形式y=Acos（ωx+φ）+b同樣適用.如，對函數y=cos2x+π2+b，求單調減區間.最低點為2x+π2=-π，x=-34π，函數周期為π，因此，相鄰最高點的橫坐標為x=π4，因此，一個單調增區間為-34π，π4，進而得到該三角函數的全部單調增區間kπ-34π，kπ+π4，k∈Z.

三、最小正周期求解問題

本文中第二個問題即是最小正周期的求解問題，求解過程為：

（2）T=2πw，此題中ω等于2，因此，T等于π，因此，三角函數y的最小正周期是π.

在三角函數最小正周期求解中，往往是作為填充題出現，學生應學會利用三角函數周期的性質，即：用輔角公式時，ω不發生改變；對簡單的正余弦函數來說，當有絕對值或者進行平方之后，周期減半.

如，對函數f（x）=2sin4x+3cos4x求最小正周期，顯然，利用三角函數周期的性質可以得知，最小正周期為2π4=π2，再例如，對函數f（x）=（2sin2x）2求最小正周期，π減半為π2.

通過了解并熟悉三角函數的性質對最小正周期求解，既有質量又有速度，在時間上就會占有較大的優勢，因此，在解決問題時，還應該學會抓住問題的本質.

四、對稱軸求解問題

本文例題中的第三個問題是對稱軸的方程求解.解決步驟是：（3）對稱軸2x+π6=π2+kπ，k∈Z.因此，對稱軸方程為x=π6+kπ2，整理方法可得：三角函數在對稱軸處可以取得最大值或者最小值，而且兩個相鄰的對稱軸之間相差半個周期，因此，只要找到三角函數的任何一條對稱軸之后，再加上一半周期的整數倍.

五、最大值最小值的求解問題

正余弦函數的最大值和最小值分別為1和-1，因此，該題中sin2x+π6的最大值為1，最小值為-1，函數y的最大值為y=2×1+a+1=3+a，最小值為y=2×（-1）+a+1=a-1，a=-1，進而函數y的最小值為-2.在進行最大值、最小值的求解過程中，往往需要求出x的橫坐標，該問題與對稱軸求解問題思路一樣，此處將不再一一表述.

在三角函數圖像題的解決方法中，要學會用宏觀的方法進行解決，站在宏觀的角度對問題的解決規律進行總結，才能掌握并了解問題的性質以及方法.