高考函數與導數綜合題的探究與教學構想

逄玲玲

【摘要】函數與導數綜合題的考查要求緊緊扣住數學知識與數學學習的本質，對函數與導數的教學應回歸本源，注重對基本初等函數的基本性質的研究，即對函數的單調性、奇偶性、周期性、函數的極值、函數的零點的研究，包括對基本技能、基本思想方法、基本活動經驗的研究，提高發現問題、提出問題、解決問題的能力.通過對函數與導數綜合題解法進行分析研究，可以看出，題目的命制都有其高等數學的背景，更有教材的痕跡在里面.所以，教師要充分發揮自己的主觀能動性，全過程地、詳細地、全方位地展示函數與導數問題求解的過程，不可以去頭去尾，燒中段.要回歸基礎，回歸教材.

【關鍵詞】函數與導數；命題背景；命題建構；命題解法

下面我以2014年全國課標卷Ⅰ理科21題函數導數試題為例，通過分析試題的解析過程.研究導數試題的命題背景、命題建構和命題解法.

設函數f（x）=aexlnx+bex-1x，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=e（x-1）+2.（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）證明：f（x）>1.

點評本題以曲線的切線為背景，考查導數的幾何意義，用導數研究函數的單調性求函數的極值、最值以及證明函數不等式.本題目設置兩問，第一問是基礎題考查導數的幾何意義，多數學生可以求出f（1）=2，f′（1）=e從而求出a=1，b=2.第二問看起來似乎不難，實際操作出來比較困難.其實本問是考查用導數研究函數不等式，背景豐富，有難度和區分度，研究的空間很大，下面我們探討第二問.

解析（Ⅱ）由（Ⅰ）問知a=1，b=2，f（x）=exlnx+2ex-1x，從而要證明不等式exlnx+2ex-1x>1（x>0），等價于證明不等式lnx+2ex>1ex（x>0）.

方法一令g（x）=lnx+2ex-1ex，（x>0），下面證明g（x）>0，求導得g′（x）=ex（ex-2）+ex2ex2ex，令h（x）=ex（ex-2）+ex2（x>0），則

h′（x）=ex（ex+e-2）+2ex>0，故h（x）在（0，+∞）上遞增.

又h32e=94e-12e32e<0，∴h（1）=e2-e>0，根據函數零點定理知，h（x）在（0，+∞）上有唯一零點x0=32e，1，即h（x0）=0，即ex0（ex0-2）+ex20=0，

當0

當x≥x0時，g′（x）≥0，故g（x）在[x0，+∞）上遞增，

所以（g（x））min=g（x0）=lnx0+2ex0-1ex0=lnx0+2ex0+ex0-2ex20

=lnx0+1x0+2ex0-2ex20.

令φ（x）=lnx+1x+2ex-2ex2，x∈32e，1，下面證明φ（x）>0，

φ′（x）=ex2-（e+2）x+4ex3>0，x∈32e，1，故φ（x）在32e，1上遞增，∴φ（x）>φ32e，∴ln32+13-2e9>0，故得證.

評析方法一是處理函數與導數的常見方法，即將所證明不等式證明問題轉化為另一個函數不等式成立問題，利用函數的單調性和函數的零點定理（必修1）得到構造的新函數在定義域上的最大值小于或等于零，或最小值大于等于零，即得原函數不等式恒成立.這里有時構造一個函數可能得不到所需要的不等式成立，還需構造兩個或三個函數方可得到結論，有時可能對原函數求二次或三次導數，判斷所構造的函數的單調性和極值、最值的符號、函數的零點，才能得到要證明的不等式.

方法二利用不等式的基本性質先進一步適當放縮后再構造函數不等式.

不等式exlnx+2ex-1x>1，（x>0）等價于elnx+2x>1ex-1（x>0），我們利用教材選修2-2第32頁復習參考題B組第1題和第（3）和（4）題的結論：即對x∈R，ex≥x+1和對x∈R+，lnx

因為不等式exlnx+2ex-1x>1（x>0），等價于elnx+2x>1ex-1（x>0）.又因為ex≥x+1，∴ex-1≥x，當x>0時，1ex-1≤1x，故只需要證明：elnx+2x>1x（x>0），

令g（x）=exlnx+1，（x>0），∴g′（x）=e（1+lnx），令g′（x）>0得x=1e，

當00，∴g′（x）>0.

∴函數g（x）=exlnx+1，（x>0）的減區間為0，1e，增區間為1e，+∞.

∴（g（x））min=g1e=0，∴x>0，elnx+1x≥0（當且僅當x=1e時，不等式取等號）.

而對x>0，ex-1≥x（當且僅當x=1時，不等式取等號），又1e≠1，當x>0時，

elnx+1x>0，即elnx+2x>1x，∴elnx+2x>1x≥1ex-1，∴exlnx+2ex-1x>1成立

點評方法二根據教材習題上的恒成立的函數不等式ex≥x+1，利用證明不等式的基本方法——放縮法，先將原不等式進行等價轉換，再進行放縮，可以看出要證明原函數不等式，只要證明不等式elnx+1x>0（x>0），這里我們要注意放縮時要整體放縮、局部放縮相結合，不可放“過”，即放“大”了或放“小”，而得不到不等式的證明.

分析問題的能力是學習數學的一個最核心的能力，表面上看好像很具體，其實很抽象，伴隨學生完成他們的學習全過程.所以教師要充分發揮自己的主觀能動性，全過程詳細、全方位地展示函數與導數問題求解的過程，不可以去頭去尾，燒中段.要回歸基礎，回歸教材，避免讓學生和自己跳入“題海”.要精講精練，經歷數學的基本過程，讓學生體會數學是靈動的，問題是鮮活的，體會學習的過程是求學問的過程，非復制、粘貼、拷貝的過程，非刷題的過程，是一個追求數學文化，提高自身數學素質的過程.