平面向量解題策略例析

唐學寧

【摘要】平面向量融數、形于一體，具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，使它成為中學數學知識的一個交匯點和聯系多項內容的媒介.近幾年高考試題中多以基底法、坐標法、數形結合法等考查平面向量的知識，下面分類介紹這幾種方法.

【關鍵詞】平面向量；解題；策略

一、基底法

平面上任意一組不共線的向量構成一組基底，用基底可以表示平面上的所有向量.解決平面向量問題時，如果我們有意識地把一些向量轉化為基底，往往能讓問題變得直接明了，易于解決.

例1設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD=12AB，BE=23BC，DE=λ1AB+λ2AC（λ1，λ2為實數），則λ1+λ2的值為（）.

A.1

B.12

C.13

D.14

分析根據題意，只需要把DE用一組基底AB，AC表示出來即可，而DE可以表示成DA+AE，所以只要用AB，AC表示出AE即可.

解因為BE=23BC，所以AE=13AB+23AC，而DE=DA+AE=-12AB+13AB+23AC=-16AB+23AC，故λ1+λ2=-16+23=12，故選B答案.

點評：若D在△ABC的邊BC上，且BD∶DC=λ∶μ，則AD=μλ+μAB+λλ+μAC.特別地：當D為中點時，BD∶DC=1∶1，則AD=12AB+12AC.

例2如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點，且AE∶EB=2∶1，BD與CE交于點P，若AP=xAB+yAC，則x-y=.

分析本題其實是利用基底AB，AC表示出AP，注意到B，P，D與E，P，C三點共線，因此，使用三點共線來解.

解AP=xAB+yAC=xAB+2yAD，而B，P，D三點共線，所以x+2y=1；同理，AP=xAB+yAC=32xAE+yAC，所以32x+y=1.

因此，x+2y=1，3x2+y=1， 解得x=12，y=14， 因此，x-y=14.

點評：如果A，B，C三點共線，且OA=xOB+yOC，則必有x+y=1，利用這個性質解決問題有時候可以達到事半功倍的效果.

二、數形結合法

“數”與“形”是數學的基本研究對象，它們之間存在著對立統一的辯證關系.數形結合思想，就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過對圖形的認識、數形轉化，以提高思維的靈活性、形象性、直觀性，使問題化難為易，化抽象為具體.

例3向量a=（2，0），b=（x，y），若b與b-a的夾角為π6，則|b|的最大值為（）.

A.4

B.23

C.2

D.433

分析本題如果根據題目意思直接來解決，那首先求出向量b-a=（x-2，y），接著求數量積（b-a）·b=x2-2x+y2，利用夾角為30度得關系式x2-2x+y2x2+y2（x-2）2+y2=32，在此條件下求|b|=x2+y2的最大值.顯而易見的繁、雜、難.

解如圖，因為b與b-a的夾角為π6，所以b的終點B構成以OA為一條固定弦、∠OBA=π6的圓，易知當OB為直徑時最長，因此，由正弦定理得2R=OAsin30°=4.所以|b|的最大值為4.

點評：向量融“數”“形”于一體，因此，向量中數形結合法使用非常多，比如，若條件給出|a+b|=|a-b|，則以a，b為鄰邊構成的平行四邊形為矩形.若條件給出|a|=|b|=|a-b|，則以a、b為鄰邊構成的三角形為等邊三角形等等.

三、特殊圖形法

數學中通過設題中某個未知量為特殊值，經過簡單的運算，得出最終答案的一種方法稱之為特殊值法.

例4如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP=3，則AP·AC=.

分析初看本題，好似少了一個條件，使用基底法發現可以求出AP·AC=AP·（AB+AD）=AP·（AP+PB+AP+PD）=AP·（2AP+PB+PD）=2AP·AP+AP·PB+AP·PD=18，但是顯得不夠簡便，考慮到平行四邊形ABCD，如果我們選擇最特殊的平行四邊形，也就是正方形呢？

解把平行四邊形特殊化，取成如圖所示正方形，滿足題設條件AP⊥BD，又AP=3，所以AC=6，由此可知AP·AC=|AP|·|AC|=18.

點評：如果使用向量數量積的幾何意義解決本題也是不錯的方法：記AC與BD交點為O，則AP·AC=2AO·AP=2|AO|·cosθ·|AP|=2|AP|·|AP|=2×3×3=18.

四、坐標法

直角坐標是平面向量中的一個重要工具，它將向量中的圖形和代數巧妙地聯系起來，不僅使一部分問題的解決變得容易，而且會給你一種新的啟迪和數學美感.

例5在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N為AC邊上兩個動點，且滿足|MN|=2，則BM·BN的取值范圍為.

分析如果采用基底法，由于CM與MA及CN與NA的比例不確定，因此，用BA與BC表示向量BM與BN較為煩瑣.考慮到△ABC為等腰直角三角形且|MN|=2，如果使用坐標法可以很簡單地建立坐標系，因此，可以考慮坐標法.

解以B為原點，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，建立如圖直角坐標系，不妨設M為靠近y軸的點，坐標為M（x，y）（0≤x≤1）；可知N（x+1，y-1），直線AC的方程為y=-x+2，于是

BM·BN=x（x+1）+y（y-1）=x2+x+y2-y，

=x2+x+（-x+2）2-（-x+2）

=2x2-2x+2（0≤x≤1）.

當x=12時，（BM·BN）min=32，當x=0或x=1時，（BM·BN）max=2；即知BM·BN的取值范圍32，2.

近六年全國課標Ⅰ卷中對平面向量的考查，均為1個題，分值5分，其中2011年與2015年為選擇題，其他年份均為填空題，題型結構十分穩定.從考點分布來看，均以向量的模與夾角、坐標運算、基底、共線等知識為主，本文拋磚引玉，希望大家舉一反三.