任意銳角的三等分

張昭隆+張均琦+沈長斌

【摘要】：任意角的三等分問題是幾何學的三大難題之一，數學家們認為用尺規三等分任意角是不可能的.本文試圖用初等幾何知識證明任意角是可以三等分的.角有銳角和鈍角之分，而鈍角都可以等分成銳角，所以銳角的等分問題如果得到解決，則鈍角和圓（360°）的等分問題也就會得到解決.所以，本文先從銳角的等分開始進行了研究.

【關鍵詞】三等分；圓周角；圓心角；弦切角

任意角的三等分問題是幾何學的三大難題之一，兩千八百年來，數學家們都認為用尺規三等分任意角是不可能的（特殊角除外），認為這是一個“作圖不能”的問題.近百年來，數學界的老前輩們還是認為只要是任意角，僅用尺規三等分是不可能的.這些前輩們是用解析幾何作解的（即用公式做題）.

為什么用解析幾何作解呢？是因為“驚訝之處是初等幾何沒能對此問題提供解答”，所以“我們必須求助于代數和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主編《初等幾何的著名問題》2005年版第2頁）.

實際上，如果用上述數學方法解幾何問題，有些問題只能以近似的方式來解決.比如，以a為直徑作一個圓，會容易做出來；但如果是計算一下周長S，這時候問題就來了，因為我們要使用π值來計算，所以計算出來的周長S計只能是S≈S計且S≠S計，或表示為S=S計±δ，δ可以很小，但是畢竟是個“差”呀.再比如，1 m=3市尺，那么1尺等于多少厘米呢？計算不出來，只能表示為：1市尺=33 cm，而這是一個近似值.計算不出來，如何分開呢？但用幾何的方法就分開了.所以用幾何的方法解決幾何問題，才是真正的可行之道.

本文試圖用初等幾何知識證明任意角是可以三等分的.

在作圖之前，首先要明確一下任意角的概念：任意角是指0°<α≤360°，不包含負角和超過360°的角.另外，角有銳角和鈍角之分，而鈍角都可以等分成銳角，所以銳角的等分問題如果得到解決，則鈍角和圓（360°）的等分問題也就會得到解決.所以我先從銳角的等分開始進行了研究.

下面即將以初等幾何知識以及純幾何的手工操作，通過尺規作圖來三等分任意銳角.

題給條件：0<α=∠xOy<90°（參照圖1）.

求解：三等分α.

一、作圖（參照圖2）

（1）在Ox邊上任取一點A，然后在Ox邊上取OA=AA2=A2A3.

（2）以O為圓心，以OA為半徑，作AB，此時OA=OB（同圓半徑），

以O為圓心，以OA2為半徑，作A2B2，此時OA2=OB2（同圓半徑），

以O為圓心，以OA3為半徑，作A3B3，此時OA3=OB3（同圓半徑）.

（3）作∠α的平分線OP.

① 以A3為圓心，以OA3為半徑作弧lA；

② 以B3為圓心，以OA3為半徑作弧lB，交lA于P；

③ 連接OP，交AB于C，交A2B2于C2，交A3B3于C3，

此時，∠xOP=∠POy=∠AOC=∠COB=∠A2OC2=∠C2OB2=∠A3OC3=∠C3OB3.

∵同一圓內等角對等弧，

∴AC=CB，A2C2=C2B2，A3C3=C3B3.

（4）連接弦A2C2，在C3B3上按照取弦A2C2的長度取弦A3W3=V3B3=A2C2，連接A3W3，V3B3.

（5）連接OW3，OV3，此時，OA3=OW3=OC3=OV3=OB3（同圓半徑），

則OW3，OV3三等分∠α，即∠A3OW3=∠W3OV3=∠V3OB3.

二、證明

1.作輔助圖（參照圖3）.

（1）連接A3V3交OW3于KW.

（2）以OKW為直徑作⊙R.

① 以OKW為半徑，以O為圓心作弧lO1，lO2，以OKW為半徑，以KW為圓心作弧lK1交lO1于M，作弧lK2交lO2于N.

② 連接MN交OKW于R，則MN是OKW的垂直平分線，R是垂足.

∵OW3是OKW所在的直線段，∴OW3⊥MN.

③ 以R為圓心，以RO（=RKW）為半徑，作⊙R，

交MN于m，n，交OA3于O，a，

交OW3于O，KW，交OV3于O，E，

交OB3于O，b，交A3V3于KW，KW是A3V3與⊙R的唯一公共點.

2.證明.

（1）根據以上所作輔助圖（參照圖3）可知：⊙R交A3V3于KW，即KW是A3V3與⊙R的唯一公共點.

根據圓的切線定義：如果一條直線與一個圓只有一個公共點，則這條直線叫作這個圓的切線，該公共點叫作切點，可以得出結論：A3V3是⊙R的一條切線；

另根據圓的切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑，可以得出結論：A3V3⊥RKW.∵OW3是RKW所在的直線段，∴A3V3⊥OW3，KW是垂足.

（2）在Rt△OKWA3與Rt△OKWV3中，∵A3V3⊥OW3，∴∠OKWA3=∠OKWV3=90°，∵同圓半徑，∴OA3=OV3，OKW為共有直角邊，

根據HL定理，Rt△OKWA3≌Rt△OKWV3.∵對應邊相等，∴A3KW=KWV3.

（3）在Rt△W3KWA3與Rt△W3KWV3中，∵A3V3⊥OW3，∴∠W3KWA3=∠W3KWV3=90°，根據證明（2）結論：A3KW=KWV3，W3KW為共有直角邊.

根據SAS定理，Rt△W3KWA3≌Rt△W3KWV3，∵對應邊相等，∴A3W3=W3V3.

（4）∵根據證明（3），可知A3W3=W3V3，又根據作圖（4）的步驟，可知A3W3=V3B3，

∴A3W3=W3V3=V3B3（等量相等），

∴A3W3=W3V3=V3B3（等弦對等弧），

∴∠A3OW3=∠W3OV3=∠V3OB3（等弦對等角），

∴∠A3OW3+∠W3OV3+∠V3OB3=∠α得證.

綜上，我們已證明：∠α被三等分后，三個分角在A3B3上且只有在A3B3上的對應弦等于A2C2.關于鈍角的三等分問題，由于篇幅所限，簡單說明如下：可將鈍角二等分或四等分，變成相等的兩個或四個銳角，再對得到的銳角按上述方法進行三等分后，進行角的合并（二合一或四合一），則可實現鈍角的三等分.