高三幾何概型復習面面觀

李琳

【摘要】概率是高考中的必考題型，在高考中的重要地位是眾所周知的，作為幾何概型，考試中常常以選擇題或填空題的形式考查，很多同學因為沒有全面掌握或沒有牢固地掌握這個知識點而導致考試中扣分.為此，對這個知識點進行全面的復習是非常有必要的.下面我們將幾何概型里面幾種常考的題型總結一下.

【關鍵詞】高考；概率；幾何概型；無限性；等可能性

概念復習：幾何概型

如果事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，而與A的形狀和位置無關，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

幾何概型的兩個特點：

一是無限性，即在一次試驗中，基本事件的個數可以是無限的；二是等可能性，即每一個基本事件發生的可能性是均等的.因此，用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”.即隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積（體積、長度）”與“試驗的基本事件所占的總面積（體積、長度）”之比來表示.

P（A）=構成事件A的區域長度（體積或面積）試驗的全部結果所構成的區域長度（體積或面積）.

（2）如圖1所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=3，在∠BAC內作射線AM交BC于點M，則BM<1的概率.

分析（1）這個題目相對較簡單，總的事件數是在[0，π]上任取一個數的結果，有無數個，所以用長度度量.sinx>12可得x∈π6，5π6，長度為2π3，所以本小題的答案是23.

（2）這是個典型的易錯題.常見解法如下：

∵∠B=60°，∠C=45°，AD=3，∴BD=1，DC=3，∴P（BM<1）=11+3=3-12.

在學生的解答過程當中，絕大部分同學是按上面方法算的，而且還想不明白為什么是錯的.下面先看正確的解法：

解∵∠B=60°，∠C=45°，AD=3，∴BD=1，∠BAC=75°，∴P（BM<1）=30°75°=25.

好像兩種解法都很有道理，但是結果卻不一樣！問題到底出在哪里呢？讓我們回到題目上來，題目是要求在∠BAC內作射線AM交BC于點M，也就是說點M是在∠BAC內作射線與BC相交產生的，是先有射線再產生點M，而不是直接到BC上去取點M，這個事件是找符合條件的射線，不是找符合條件的點.所以解題的時候就是從角的度量區域出發，而不是從線段長度的區域出發.

題型二：與面積有關的幾何概型

例2（1）如圖2所示，矩形OABC內是y=sinx，x∈（0，π）的一部分，AB=3，向矩形內隨機投擲一點，求落在陰影部分內的概率為.

（2）甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠6小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機地到達，試求這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率.

解這是常規題型，難度不大，如下解.

（1）由題知，矩形的面積是3π，陰影部分的面積是∫π0sinxdx=2.所求概率為陰影部分面積與矩形的面積之比即P=23π.

（2）設甲到達的時間為x，乙到達的時間為y，則0

題型三：與體積有關的幾何概型

例3（1）如圖4所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離小于1的概率.

（2）如圖5所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1內（含正方體表面）任取一點M，則AA1·AM≤1的概率.

解（1）正方體的體積為2×2×2=8，以O為球心，1為半徑且在正方體內部的半球的體積為12×43πr3=12×43πr3=23π，則點P到點O的距離小于1的概率為23π8=π12.

（2）由向量數量積的幾何意義知：AM·AA1可以表示向量AM在向量AA1上的投影與|AA1|的乘積，所以AM·AA1≤1，即表示向量AM在向量AA1上的投影小于等于12，因此，M落在與平面ABCD平行且與ABCD距離為12的平面A′B′C′D′和平面ABCD所夾的長方體內，如圖6所示.

∴P（A）=2×2×122×2×2=14.

小結求幾何概型主要有“線型”“面積型”“體積型”三種典型的題型.我們在解題時，首先，要理解好題意，審題要仔細，判斷是哪種幾何概型，然后，去求相應的比值得出概率.幾何概型主要是考查數形結合思想和邏輯思維能力.另外，我們也可以看出，在高三的復習中，我們也要注重基本概念和基礎知識的理解和應用.