關于對勾函數的探討

劉小樹

形如f（x）=ax+bx，其中a>0，b>0，稱為對勾函數.對勾函數是高中數學中游離在基本初等函數外的但又經常考查的函數，在我們的教材中沒有正式引入教學.對于剛剛進入高一的學生，總是顧此失彼，產生各種錯誤，其原因大多是很多學生對于對勾函數的性質規律掌握不好，特別是單調區間的分界點及圖像變化趨勢.為此筆者設計了一節課，主要通過特例函數f（x）=x+2x，結合研究基本初等函數的圖像、性質的方法，利用函數圖像的疊加，從基礎方法啟發，和學生一起探討，希望對高中初學者有很好的啟發作用，最后總結一般性質和圖像，從而能夠突破理解運用的瓶頸.

一、研究f（x）=x+2x單調性質

定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），由于是奇函數，所以只要研究（0，+∞）的函數單調性，其值域就迎刃而解.

設x1>x2>0，則f（x1）-f（x2）=x1+2x1-x2+2x2=（x1-x2）x1x2-2x1x2，（*）

學生的困難主要是如何確定x1x2-2的符號.

教師：如何確定x1x2-2的符號呢？兩個數的乘積和一個正數如何比較大小呢？

學生1：若從x1>x2>0，可得x21>x1x2>x22>0，下面如何比較就看不出來了.（很多學生面帶難色，緊鎖眉頭，思考起來了）

教師：我們知道可以通過作差與0比較大小，能不能先找個零界點來嘗試呢？

學生：變形得x21-2>x1x2-2>x22-2，令x21-2=0或x22-2=0，則容易得x1=2或x2=2，找到了零界點，但不知道如何去用？

教師：（啟發）當x1，x2都與2有關，那么x1，x2取值與x1x2-2有什么關系呢？這和我們曾經學習的哪個知識點很類似呢？

學生：（恍然大悟）一元二次方程根的分布的判斷.（一名學生舉手示意要回答這個問題）

學生2：（胸有成竹，很自信的樣子）

∵x1>x2>2，∴x1x2>x22>2，f（x1）-f（x2）>0，

即f（x1）>f（x2），（2，+∞）為增區間；

∵2>x1>x2>0，∴2>x21>x1x2>0.

（這名學生一氣呵成）結合奇函數的性質我們容易得到（-∞，2），（2，+∞）為遞增區間，（-2，0），（0，2）為遞減區間.（掌聲熱烈）

教師：學生2善于聯想，分類分得很好.只有當兩個數都比2大時，乘積比2大，才有利于單調區間的判斷.因此，函數圖像在第一象限的頂點坐標為（2，22），第三象限的頂點坐標為（-2，-22）.

二、研究f（x）=x+2x與y=x，y=2x之間的關系

為了進一步掌握對勾函數的特點，弄清2的來源，筆者繼續追問：當我看到2時，我的心被隱隱地觸動了一下（眾生笑），借著剛才學生2的聯想，我們繼續思考這個頂點與一元二次函數有何異同？這個2來得很突兀，一時感覺還有一些東西沒有發現？這個函數和y=x，y=2x有什么關聯呢？在同一坐標系的圖像如何畫呢？（在教師的提示下，學生有的開始嘗試）

學生3：由于（2，+∞）為遞增區間，（0，2）為遞減區間，易得在第一象限有最小值22，而當x∈（0，2）時，容易得到圖像在y=x的上方，至于（2，+∞），感覺也在y=x的上方，沒有依據，有困惑的地方.

教師提示：比較兩個函數圖像的位置如同比較兩個數的大小一樣.（稍過片刻）

學生4：哦，我明白了，Δy=f（x）-x=x+2x-x=2x>0，x∈（0，+∞）.

教師追問：很好，那么Δy變化趨勢又是怎樣的？（學生思考片刻）

學生5：當x→+∞時，Δy=f（x）-x=x+2x-x=2x→0；當x→0時，Δy=f（x）-x=x+2x-x=2x→+∞.

教師：這種變化說明了什么？

學生5：表現突出的是當x→+∞時，y=x是一條漸近線，f（x）=x+2x圖像無限接近這條直線.

教師：分析得很好，（共同分析）接下來f（x）=x+2x與y=2x，我們就很容易得到x→0，Δy=f（x）-2x=x+2x-2x=x→0，函數圖像f（x）=x+2x在y=2x上方，類似于漸近曲線，同時y軸正半軸也是函數y=f（x）的漸近直線.綜合以上討論我們知道，y=f（x）圖像由這兩個函數控制，同時也由它們疊加形成.很顯然和二次函數的對稱性是不一樣的，圖像類似于符號√，名字也由此得名.那么大家由圖像有沒有發現2的來源呢？

學生6：由圖（如圖1所示）發現，2是兩個控制函數圖像的交點橫坐標.

教師：觀察很仔細，通過奇函數的性質，我們這樣就掌握了定義域內對勾函數的圖像和性質.前面的討論精彩吧？

學生：確實很精彩，而且解決了很多疑惑.

三、抽象概括

學生根據這節課的討論最后總結形如f（x）=ax+bx即f（x）=ax2+bx（a>0，b>0）的函數，其圖像（如圖2所示）及性質如下：

定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）；

奇偶性：奇函數；

單調性：-∞，-ba，ba，+∞為遞增區間，

-ba，0，0，ba為遞減區間；

頂點：ba，2ab，-ba，-2ab；

值域：（2ab，+∞）∪（-∞，-2ab）；

漸近線：漸近直線為y=ax，漸近曲線為y=bx.

教師：那么在解題中如何靈活運用呢？（此時下課鈴聲響起）且聽下回分解.

四、結束語

1.課堂的教學時間是有限的，無論課堂教學如何精彩，學生要想真正掌握知識方法，課后必須內化成自己的東西.而教師要想打造高效精品課程，必須不斷探究，與學生共同進步，而不能一堂言、滿堂灌，直接告訴學生結論.新課改要循循善誘，不斷啟發學生，讓學生學會思考，學會掌握解決問題的方法.如果能“通過對有限道題的解題教學，讓學生領悟那種許多道題甚至無限道題也未必能生成的數學機智”[1]，那么學生才能跳出題海，撥云見日.

2.對勾函數在高中階段是很重要的函數，在試題中，考查得也比較頻繁，應用也很靈活.我們每天都在進行解題教學，有時候神采飛揚，有時候迷惑沮喪，如果我們都是以學生為主體，充分發揮學生的積極性，讓課堂動起來，不論對學生，還是對教師都是一種不斷提高的心理享受.

【參考文獻】

[1]張彬.轉化與化歸思想設計示例之一[J].中學數學教學參考，2013（1）：81-86.