淺談數學教學需要培養學生的數學意識

盧娟

【摘要】數學意識就是平常我們所說的要有數學頭腦，就是對數學問題的看法.本文從兩方面來談數學意識.首先，說明培養數學意識的重要性.數學意識是學生學好數學、用好數學、改造客觀世界和發明創造必須具備的一個重要條件.在數學教學過程中，還要培養學生善于運用數學意識去考慮問題、處理問題的能力.從學生發展的長遠來看這是很必要的.其次，談如何培養學生的數學意識.要培養學生的數學意識，應該培養好他們的推理意識、整體意識、抽象與概括的意識、運動變化的意識、化歸意識、審美意識.

數學意識就是平常我們所說的要有數學頭腦，就是對數學問題的看法.要求我們能用數學思想、觀念、態度去觀察、解釋和表示事物的數量關系、空間形式和數據信息，以形成量化的意識和優良的數感.

一、培養數學意識的重要性

培養學生的數學意識是我們的一個很重要的教育目的，數學意識是每一個公民必須具備的素質，我們這些從事數學教育工作的教師一個重要的任務就是要把的學生培養成具有強烈的數學意識的社會未來公民.數學意識是學生學好數學、用好數學、改造客觀世界和發明創造必須具備的一個重要條件，如，歐拉的“七橋問題”：18世紀，北歐的哥尼斯堡城有一條河，河有兩條支流，在城中心匯合后流入波羅的海，市內有七座橋，連接島嶼和兩岸，如圖1所示.

當時有人提出這樣一個問題：能否從某地出發，經過每一座橋一次且僅一次，然后返回出發地.一開始，歐拉試圖用“窮舉法”，逐次實驗，發現太困難，他想如果還是同樣問題，橋更多，這種“窮舉法”顯然毫無實用價值，通過認真地思索，他敏銳地發現，這個問題與島的大小，路程的長短無關，因此，歐拉把兩個島和河岸抽象為四個點，把七座橋抽象為七條線，如圖2所示.這樣“七橋問題”便轉化為“一筆畫問題”，于是問題就不難解決了.從這個例子可以看出歐拉因為具有良好的數學意識，才能拋開活生生的生活原模型去掉非本質屬性，抽象出本質屬性建立數學模型，這樣就用很少的數學知識，解決了生活中的難題，這說明數學意識是數學發現的一個必要條件，在數學教學過程中，我們一直強調要培養學生解決問題的能力，筆者認為它不僅意味著解數學題的能力、將實際問題轉化為數學問題來處理的能力，還應該包括善于運用數學意識去考慮問題、處理問題的能力.從中學生長遠的角度來考慮，具備后者往往比前者更為重要，更能在今后的生活、學習和工作中發揮作用.

二、如何培養學生的數學意識

培養學生的數學意識，應該培養好他們的推理意識、整體意識、抽象與概括的意識、運動變化的意識、化歸意識、審美意識.

（一）推理意識

所謂推理意識就是能由一個或幾個判斷推出另一個判斷的思維心理趨勢.數學離不開推理，這是因為思維離不開推理，計算離不開推理，證明更離不開推理等等.著名美籍匈牙利數學教育家波利亞曾經說過：“嚴格的證明是數學的標志，這是數學對于一般文化修養所提供的不可缺少的素養，一名學生對于數學證明從未留下印象，那他就是缺少了一種基本的思維經歷.”由此可以推知數學意識應該是人們具備的素養.我國著名數學家曹才翰教授也曾指出：“數學學習與其說是學習數學知識，倒不如說是學習數學思維活動.”波利亞曾統計，學生畢業后研究數學和從事數學教育的占1%，使用數學的人占29%，基本不用數學的占70%.由此可知，數學知識本身對于大多數人來說并不是絕對重要的，而數學意識卻影響一個人的一生，因此，我們要求：（1）要培養學生善于從原有知識推出新知識的能力；（2）要培養學生實事求是的科學態度，及言之有理、言必有據的良好作風.

（二）整體意識

我們先從一則故事說起：有三個人來砌墻，管理人員就問這三個人如何砌墻而且砌什么墻，第一個人說“砌磚”，第二個人說“砌墻”，第三個人說“砌房子”.結果，管理人員委托第三個人以重任，說第三個人具有整體意識.可見整體意識很重要.數學中的整體意識，就是全面地把局部知識和方法聯系起來，組成整體，融會貫通.比如，數學中的分類法就是整體意識的典型例子.培養整體意識，不能僅強調一個整體，要會聯系，要處理好整體與局部的關系，就是由“點”到“面”連成一片形成一個結構，這個結構就是整體的骨架，弄清了結構，也就弄清了整體.如“七橋問題”，歐拉保留了島與橋及陸地的連接關系全貌，綜合了局部問題的所有特點，從整體上把握了問題的關鍵和實質，抽象出點與線之間的連接.培養整體意識，就是要全面地看問題，不要片面地對待問題，防止以偏概全.

（三）抽象與概括的意識

抽象就是從紛繁復雜的事物現象中，去掉非本質屬性，抽象出本質屬性.抽象被認為是數學的基本特性，因此，在解決問題的過程中，要注意區分主要因素和次要因素、本質與表面現象，從而抓住實質，解決問題；自覺地把適當問題轉化為數學問題，自覺地進行抽象，建立數學模型.這意味著對事物的現象與結構、事物之間和事物內部元素之間的敏感，其中包括對數量及形狀的敏感，這樣才能解決問題，如歐拉的“七橋問題”.概括就是把若干事物的共同特性歸納出來進行考察的方法，如，對秤、溫度計和標尺的抽象概括，得到了數軸的概念，從而使數軸上的點和實數建立了一一對應的關系.抽象與概括有密切聯系，不可分割，抽象是概括的基礎，概括是抽象的結果，數學中的每一個概念和原理都是先對一系列同類對象的共同本質屬性進行抽象，然后加以概括而得到的.

（四）運動變化的意識

任何事物都是運動變化的，不是一成不變的，數學的研究對象也是如此.如，將平面問題推廣到空間，常?？赏ㄟ^運動來實現；將一個角沿垂直于角所在平面的方向運動，角的頂點運動軌跡是一條直線，角的每一條邊運動成一個半平面，這樣就得到一個二面角.這個角在運動中的每一瞬間位置都是這個二面角的平面角.此外我們在處理問題時，要善于抓住靜止不變的量，不變的是事物的本質，變化的是事物的表面現象，因此，我們要在變化中尋找不變量，抓住本質，以不變應萬變.如，在學習三角形、多邊形時，一定要抓住三角形內角和是π、多邊形的外角和是2π等不變量，才能學好數學，特別地，在解應用題中能找出不變量，才能有效地進行解題.

（五）化歸意識

它是數學所特有的方法，就是把問題轉化為已經解決的或易于解決的問題.如，數學中的有限與無限，數與形，曲線與直線，空間與平面的相互化歸，可以解決許多難以解決的難題.建立化歸意識，可以幫助學生了解新與舊、未知與已知的聯系，了解解決問題的途徑不是唯一的，從而提醒他們自覺地進行聯想，調整思維方向，對解決問題大有益處，同時對培養思維的靈活性起到強有力的作用.

（六）審美意識

物理學家開普勒說：“數學是這個世界之美的原型.”龐加萊說：“沒有美感的人，不可能成為數學家.”“科學發明就是選擇，而選擇是靠美感來決定的.”這說明數學美非常重要.它包括和諧美、簡單美、奇異美等等.如，二次函數y=ax2（a≠0）就體現了一種簡單美.用它可以描述自由落體運動規律s=12gt2，又可以表達質能公式E=mc2，還可以用來計算圓的面積S=πr2；通過二次函數的圖像，可以描繪拋擲一個小石頭的運動路線，還可以刻畫浩瀚宇宙天體的運動軌跡.因此，教師要不斷地通過揭示數學中美的因素，做出美的示范，讓學生得到美的熏陶，理解美的真正含義，方能更好地去理解問題.如，由橢圓本身具有的對稱性，我們可以猜測它的方程在建立適當的直角坐標系以后，也應具有“對稱性”，因此，在推導橢圓的標準方程中，就不難理解令b2=a2-c2的道理，事實上b也具有幾何意義，以此達到“美”與“真”的結合.興趣是最好的老師，作為教師若能在教學的過程中揭示數學美，不僅可以激發學生學習數學的興趣，還可以為學生更好地獲得知識，奠定良好的心理基礎.

一個人具有良好的數學意識之后，那么他在工作中看問題，就會從全局上把握，處理好整體與各個環節之間的聯系；能抓住問題的關鍵，用運動變化的觀點對待問題；能把不容易解決的問題，轉化為易于解決的問題；能有條不紊地有根有據地處理問題；能在生活中發現美的因素，自我激發興趣以便更好地投入工作，提高自身的素質.