“超幾何分布”與“二項分布”解題錯因分析及對策

王德鎖

【摘要】在高中數學“概率”部分的學習過程中，學生往往對超幾何分布和二項分布這兩類題型含混不清，出現弄錯事件類型、用錯概率公式、勞而無功的情況.而學生在這一部分的計算和書寫基本沒有多大問題，下面重點就兩類概率問題解題錯誤的原因予以分析，并提出自己的具體對策.

【關鍵詞】超幾何分布；二項分布；錯因分析及對策

一、錯因分析

（一）心理方面

由于概率統計問題普遍題目較長，文字閱讀量大，再加之許多題目會結合統計圖表等多種信息渠道給出條件，干擾因素較多.許多學生缺乏對此類項目的審題經驗，對信息處理的心理準備不足，遇題則慌，往往一些很細小的知識（如，統計圖表的識圖和轉化）障礙都將成為解題的困難，長期會造成心理陰影，難以從中提取核心信息.再加之考試環境下，難以靜心思考，對關鍵字眼、重點字句的推敲不夠，是此類問題失誤的重要心理原因.

（二）知識方面

1.學生對概率問題中相關概念的理解不到位

概率問題概念之間的基本關系為：隨機試驗→隨機事件→隨機變量→隨機變量的概率→分布列.學生在有關概念的理解上主要存在以下問題，直接影響概率問題審題失誤.

一是審題時未弄清該問題是由怎樣的隨機試驗產生的（特別是從抽樣的角度去辨析是何種抽取方式：放回或不放回）.

二是未明確隨機試驗及其結果產生了哪些隨機事件，其中的基本事件是什么.

三是未完全理解隨機變量的取值及其代表（表示）的隨機事件或事件組.

四是未弄清隨機變量的概率是哪個事件的概率或哪些事件的概率之和，而盲目求值.

2.對超幾何分布和二項分布的本質認識不清

如果將各類隨機試驗中對象產生的過程都從抽取的方式來看的話，產生超幾何分布這種古典隨機試驗的本質是不放回抽取，而二項分布的隨機試驗是獨立重復試驗，可理解為是可放回的.簡言之，超幾何分布對應試驗是不放回抽取，每次試驗不獨立；二項分布是放回抽取，每次試驗是相互獨立的.

3.學生對何時用樣本頻率代替總體概率不清楚.易忽視如“以這個小組的樣本數據來估計全校的總體數據”，其含義就是“用頻率估計概率”等這樣的提示性語句.

（三）能力方面

未養成良好的審題習慣，不能按思維的秩序去有序分析題目的條件.缺乏必要的信息處理能力，特別是在概率問題中條件比較繁雜時，對重要信息的處理能力不足，特別是圖表信息處理，純文字信息處理能力嚴重不足.

二、對策

（一）正本清源，辨析概念

強化對二項分布和超幾何分布基本概念的理解和差異性的辨析，提高對這兩個知識點的認知度.

（二）調適心理，提高素養

根據筆者經驗，概率問題的解答應是“七分思考三分作答”，即應花大量的時間去閱讀題目、處理信息、選擇事件類型，這樣保證審題的正確性，確保解題不出現方向性錯誤而全盤皆輸.對解題者來說，簡單問題可直接通過自己對概念和原理的理解和直接應用解決，而復雜問題則需要“頓悟”或“漸悟”得來.而解決概率問題的思路和模型選擇更需要有一個較長時間的“去粗取精”，從漸悟到頓悟.

（三）培養習慣，規范審題

解題應先審題，養成認真審題、縝密思考的習慣是解好題的關鍵.對于概率問題，特別是二項分布和超幾何分布這兩類問題尤為重要.審題時要慢要細，從以下方面謹慎審題：一審條件探隱含，二審結論會轉換，三審圖表、數據找規律，四審細節更完善.

（四）類比訓練，突破易錯點

超幾何分布和二項分布在解題時，特別是審題時最易忽視的就是從抽取方式的角度來認真審視隨機試驗是放回抽取還是不放回抽取.這也成為審題失誤乃至解題錯誤的根本問題.因而，為加強學生對二者的區別，應注重在教學中設置兩類問題的類比訓練，從而更好地對它們進行比較、區分，幫助學生提高審題的準確性.對一部分學困生，特別是概率問題常錯的學生，應通過題組訓練，強化其審題能力和解題能力.