一種標定隱含變量的復合函數求導方法

王昫

【摘要】分析了復合函數求導公式中隱含的變量標志，給出了快速準確計算復合函數的公式，通過實例展示了給出的公式在復雜復合函數求導運算中的運用.

【關鍵詞】隱含符號；中間變量；復合函數求導

一、引言

復合函數求導運算是微積分學的重要的內容.因構成復合函數的形式多樣，且鏈式求導公式中隱含了對中間變量的標志，看似簡單的鏈式求導法則，即使是在滿足理論要求的條件下，對公式中隱藏的中間變量理解有偏差也會導致計算錯誤.常見的文獻過多地集中在討論復合函數求導公式數學理論本質[1]、常犯的錯誤歸類和容易混淆的求導記號等[2].本文給出了標記隱含變量、快速求取復合函數導數的公式，并通過實例展示了該公式的應用效果.

二、標定隱含變量的求導公式

定理1[3]如果函數u=g（x）在x點可導，y=f（u）在點u=g（x）可導，那么復合函數y=f[g（x）]在點x可導，且其導數為

y′=f′（u）g′（x），（1）

或者dydx=dydududx.（2）

上述鏈式法則公式（1）的記號在求導運算中比較常用，但是隨著復合函數的形式多樣變化，公式（1）省略了對求導中自變量和中間變量下標標示，容易導致誤解.實際上，兩個公式左側永遠表示函數對自變量（x）的導數.公式（2）表示的代數含義更明確，即函數對自變量的導數等于函數對中間變量求導乘中間變量對自變量求導.是兩個函數對兩種不同變量的求導乘積，如果加以標示將有助于計算.

定理2如果函數y=f（u）在點u可導，那么，不管u是中間變量或者自變量，總有y對變量u的導數等于f（u）對u的導數，即

y′=f′（u），且始終可以記作y′u=f′u（u）.（3）

公式（3）中，無論變量u的形式多么復雜，下標字母在求導中始終可以被視作自變量.比如，y′u表示函數始終把整體u視作自變量求導.我們把公式（3）叫復合函數求導形式不變性.

證明如果u是自變量，令u=x代入公式（1），由定理顯然得到公式（2）.

如果u是中間變量，因為y=f（u）在點u可導，在等式兩邊對u求導，當然有y′u=f′u（u）成立.但是此結果不是最終要求的求導結果（公式（1）的左側，即函數對自變量的導數），而是公式（1）中右側部分中的第一項因子，根據鏈式法則（1）需進一步求得最終結果.

從計算公式（7）和（8）可以看出，計算（9）到（10）時，忽略了求導運算中的中間變量（求導中的相對變量）和自變量的區別，把中間變量當作自變量，導致錯誤結果.應用帶變量下標的公式后，快速寫出結果，最后寫為常用格式，得到正確答案.

四、結論

以極限為基礎的導數（或微分）運算和積分運算是高等數學重要的組成部分.撇開導函數中理論分析，快速準確地求取滿足理論要求的復合函數導數是非常重要的.文中給出了一種標記變量符號的求導方法，對復合函數求導有一定的參考意義.并通過實例展示了方法的有效性.

【參考文獻】

[1]趙瑛.淺談復合函數的求導法則[J].電大理工，2008（4）：73-74.

[2]張菊.淺談復合函數的求導運算[J]求知導刊，2016（10）：112.

[3]同濟大學數學系.高等數學[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.