淺析導數與積分的相互關系

閆永芳

【摘要】在恩格斯的《自然辯證法》和毛澤東的著作《矛盾論》里，講矛盾的普遍性時，都提到物理學中的“正電和負電”，化學中的“化合和分解”，以及數學里的“正和負”“微分和積分”等.從此，“微分和積分是一對矛盾”便成為一條被普遍認同的命題.哲學家從各個學科中援引例證以論證其哲學命題本無可厚非，然而作為一名數學工作者，如果不做具體分析，空泛地宣稱“微分和積分是一對矛盾”則等于什么也沒說.本文從五個方面分別講述了導數與積分在這些方面的不同之處，并做了詳細對比，最后闡明了導數和積分的互逆關系.

【關鍵詞】導數；積分；互逆關系

一、研究對象

先說導數.在討論導數概念時，我們把函數區分為均勻變化函數與非均勻變化函數.所謂均勻變化函數是指在所討論范圍內是線性函數，它在任何一點處函數增量與自變量之比為常數（此即“均勻變化”的意思）.非均勻變化函數是指在所討論范圍內是非線性函數，其函數增量與自變量增量之比不盡相同（此即“非均勻變化”的意思）.導數所處理的問題在于表達和計算這種非均勻變化函數的局部變化率.例如，汽車變速運動時候的瞬時速度.總之，導數概念所反應的是函數的局部性質.

再說積分.在討論積分概念時，我們把函數區分為均勻分布函數和非均勻分布函數.前者指在所討論范圍內恒等于常數的函數，后者指在所討論范圍內不恒等于常數的函數.積分所處理的問題在于表達和計算非均勻分布函數的一種累積效應.例如，物體在力F的作用下實現從x=a至x=b的位移，假定力的方向與位移的方向平行.如果力F是常力（均勻分布），則力F所做的功等于F（b-a）.如果力F=F（x）是變力（非均勻分布），則變力所做的功可視為在一小段一小段位移中力所做功的累積的結果，即非均勻分布的累積效應.總之，積分所刻畫的是函數的一種整體性質.

二、處理問題的方法

總的思路是利用對均勻情形的已有認識達到對非均勻情形的認識.但是擺在我們面前的研究對象是兩類非均勻問題：非均勻變化函數的局部變化率問題和非均勻分布函數的累積效應問題.他們的處理方法是不同的.

為了定義非均勻變化函數f（x）在一點x處的局部變化率，關鍵的一步是考察f（x）從x到x+Δx的變化情況.將f（x）在x到x+Δx的局部變化率視為均勻變化函數（即線性函數），于是變化率為ΔyΔx，此變化率稱為f（x）在x到x+Δx的平均變化率.然后通過極限最終達到對f（x）在x處的變化率的認識.積分所要表達的量是非均勻分布函數的累積效應.為了認識這個整體性質的量，在局部視非均勻分布為均勻分布以求得所求量之局部近似，然后累加、取極限最終達到對該整體量的認識.兩種方法可作簡單的概括：應用于導數稱為局部線性化方法，應用于積分的稱為局部均勻化方法.

三、微分運算與積分運算

導數和積分所處理的這兩類問題，在均勻情形下有著明顯的互逆關系：均勻變化函數（線性函數）的導數是均勻分布函數（常數）；均勻分布函數（常數）的變上限積分是均勻變化函數（線性函數）.

為了探索在一般情況下導數和積分的聯系，我們研究了整體性質的量的局部特征，即研究了變上限積分的導數.

假定f（x）在含有點a的某區間I上連續，x屬于I.則有

ddx∫xaf（t）dt=f（x）.

假定f（x）具有連續的導數f′（x），則有

∫xaf′（t）dt=f（x）-f（a）.

由此可見微分運算與積分運算具有明顯的互逆性.

四、對函數光滑性的影響

先對函數的光滑性作一下說明，下面是關于函數的一系列刻畫：在某個指定的區間上f（x）連續；f′（x）存在；f′（x）連續；f″（x）存在；f″（x）連續；延續下去，從左向右，我們稱函數的光滑性越來越高.

前面反復講過，連續函數f（x）的變上限積分是可導的，導數就等于f（x）.由此可見函數經過積分運算后成為光滑性更高的函數.簡單地說就是積分運算可提高函數的光滑性，反過來看則是微分運算可降低函數的光滑性.

五、定義的數學結構

導數與定積分的定義之數學結構對比如下：

導數定積分

“差”的“商”

f（x）-f（x0）x-x0的極限

“積”的“和”

∑ni=1f（ξi）Δxi的極限

先不講取極限.導數概念涉及的運算是減法和除法，積分概念涉及的運算是乘法與加法.導數中的運算次序是先減后除，積分定義中的運算次序是先乘后加.二者相比較，所涉及的運算是互逆的，但次序正好相反.

數學中存在著一個非常普遍的現象：兩種相繼進行的運算求逆運算時，可分別求這兩種運算的逆運算，但次序相反.例如，設A，B為階數相同的滿秩方陣，則（AB）-1=B-1A-1.

回到我們的正題，可以認為在取極限之前，導數和定積分定義的數學構造是施加于函數之上的某種意義上的互逆運算，我們有理由推測，微分運算與積分運算的互逆性的根源就在這里.當然，由于各自均伴有一個極限過程，導數與積分的所有性質都要逐一加以證明.

按照以上的分析，微積分并不神秘，說到底，它只不過是加、減、乘、除的學問而已.

【參考文獻】

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