數學美在大學數學教學中的運用與思考

侯方博

【摘要】目前高校學生對大學數學的文化價值的認知不夠全面，普遍沒有數學美的概念，本文就這一現狀做了分析并提出了建議.同時從要善于啟迪、不斷滲透、培養應用能力、精講多練四個方面介紹了在大學數學教學中數學美的運用.

【關鍵詞】數學美；大學數學；教學

【基金項目】吉林農業科技學院教育教學改革項目——數學美在非專業數學教學中的研究與應用（JGZD011）.

大學數學是學生在大學階段的重要基礎課，一般在非數學專業開設的大學數學有高等數學、線性代數、概率論與數理統計等，統稱為大學數學.它是學生在大學階段構建完整知識體系的基石，對理工科、信息科學類、經濟管理類、農業研究類等學科的學生學習后續的專業課程和今后的工作起著重要的奠基作用.因此，在教學中如何提升教學質量、培養學生的學習興趣和提高學生的學習效果，是值得研究的問題.

按照北京大學數學科學學院張順燕教授的觀點，數學教學的任務是判美和析理.判美，就是對數學對象的審美和對學生進行數學美學教育.這是提高大學生數學素養和培養創新能力的必要環節.數學教師在傳授數學知識的同時，引導學生對數學對象審美，是進行數學美育和提高學生文化素養的重要途徑.

一、數學美學知識在教與學中的現狀與思考

經過調查發現，我們的學生在機械地學習數學知識，一半的學生認為學習數學是有用的，但是數學的學習是無趣的，還存在少數學生不明確學習數學對今后的學習、工作、生活有何用處.另一方面，多數數學教師在教學中全程沒有提及過數學美，沒有向學生介紹過數學美的書籍，更不能從數學審美的角度分析教學內容蘊含的數學美.就這種現狀，筆者有如下建議：

（一）應在日常教學中將數學美學知識融入其中，增加數學課程的文化感和人文氣息

數學教師不僅僅是向學生傳播數學知識，更重要的是指導學生學習數學文化.因為從文化的角度去學習數學，可以了解數學的全貌，包括數學的產生、發展和應用過程，以及數學中的定義、公式、定理數學語言等的審美過程，從而使學生更好地領悟數學的思想方法和鑒賞數學的美.只有這樣，才能實現數學教學提高數學素養和培養創新能力的目的.

（二）對不同專業、不同層次的學生傳授數學美知識時要有所側重

美無處不在，缺少的是發現美的眼睛.數學的美是理性的，感受到的數學的美也是因人而異的.凡是體驗過數學美感的人一般都會對數學美有進一步的認識，對這種美感有著長時間深刻的記憶.

數學圖形的直觀、公式的簡潔、數學符號的簡練等是一目了然的美觀，對于數學基礎差的學生可以引導其欣賞這種較低層次的數學美；高度概括的數學語言是較難理解的，但它是很理性的美，是較高層次的美.例如，用“ε-N”語言來定義極限概念，在數學素養高的人眼里它是很美的，因為它簡練、精準地概括了極限的內涵，而對于初學者來說，就是晦澀難懂的，毫無美感可言.所以，感受數學美要以相應的數學水平和數學素養為基礎.在教學中教師要善于根據學生的特點選擇學生熟悉的數學知識講授數學美，或者對于不熟悉的知識先讓學生熟練后再引導其去審視數學美，這樣學生會對相應的數學知識進行比較全面的理解，更會對審美數學有比較深刻的感受.

（三）數學教師要注重提升自身數學美學修養

任大學數學課程的教師在日常工作中不僅應當挖掘數學知識中的對稱美、統一美、奇異美、簡潔美，還要多方面積累有關數學美感的體驗，只有美感經驗豐富的人才能清楚地了解和把握知識，才能更加恰當地選準時機引導和帶動學生體驗數學美.

二、在大學數學教學中數學美的運用

（一）要善于啟迪，讓學生感受數學知識的和諧美與辯證美

數學在其他學科中的應用展現了他們的和諧性，但是數學本身就具有和諧美，體現在數學知識的系統性、嚴謹性、完整性，這也是數學的普遍形式.

比如，極限的描述性定義是這樣表述的：當n無限增大時，|an-A|無限趨近于0.這里同時出現了無窮大和無窮小，將這樣一對相互矛盾的對象統一起來，何等的和諧.

在討論無窮小的性質時，筆者常給學生舉下面的例子讓學生體會數學的辯證.

（1） limn→∞1n2+2n2+…+kn2（k是與n無關的常數）；

（2） limn→∞1n2+2n2+…+nn2.

學生看到題目后的第一反應認為極限都是0，當教師對k是與n無關的常數做強調和解釋之后，就有一部分學生能判斷出兩題的區別了.此時教師引導學生將兩題的求解過程具體寫出來，大部分學生就能理解“有限個無窮小的和是無窮小，而無限個無窮小的和未必是無窮小”了.教師一句“量的積累引起質的變化，辯證法在此得到具體體現”，使學生茅塞頓開.

（二）要不斷滲透，讓學生驚嘆數學的對稱美與奇特美

對稱性是藝術領域里一個非常重要的要素，同時它也是數學美的重要特性.數學中的數與形的對稱現象是極為常見的，對稱的圖形或式子從直觀上看具有十足的美感，此外，還有抽象的觀念和方法的對稱，這需要數學教師的滲透、啟迪.一旦在解題時恰當地利用了某種對稱性，就會驚嘆數學的奇特.

例如，高等數學中研究多元函數的極限或積分，通常的代數的方法不是很容易求出結果，而用極坐標做代換會使得問題簡化，其過程是相當奇異與新穎的.再如，在求解積分時如果能恰當、準確地使用下述結論，將會使得問題事半功倍.

（1）∫a-af（x）dx=0，f（x）是奇函數時；2∫a0f（x）dx，f（x）是偶函數時.

（2）D關于x軸對稱，則

Df（x，y）dσ=

0，f（x，y）關于變量y是奇函數時；

2D 1f（x，y）dσ，f（x，y）關于變量y是偶函數時.

其中D1為D的位于x軸上方的部分.

（3）D關于y軸對稱，則

Df（x，y）dσ=

0，f（x，y）關于變量x是奇函數時；

2D 2f（x，y）dσ，f（x，y）關于變量x是偶函數時.

其中D2為D的位于y軸右側的部分.

（4）D關于原點對稱，則

Df（x，y）dσ=

0，f（x，y）是奇函數時；2D 1f（x，y）dσ=2D 2f（x，y）dσ，f（x，y）是偶函數時.

其中D1與D2是D的關于原點對稱的兩個全等的部分.

（5）D關于直線y=x對稱，則

Df（x，y）dσ=Df（y，x）dσ=12D[f（x，y）+f（y，x）]dσ.

（三）培養應用能力，讓學生享受到解決數學問題后的征服美與創造美

在大學數學教學中，不能把數學專業的思維模式以及對數學專業學生的要求貫穿于其中，沒有必要過分強調理論知識的掌握和對數學理論的深入研究，而是要讓學生在掌握了基本概念和基本方法的基礎上，注重應用能力的培養，即培養學生運用已有的知識去解決不熟悉問題的本領，包括應用的范圍、方法以及技巧.實質上，對應用能力培養的同時，可以使學生加深對基本概念和基本方法的理解，同時會深切地體會到問題解決后的征服美與創造美.

關于應用能力的培養，首先，應重視應用意識的培養.它是人們主動用數學觀念和方法解決實際問題的關鍵，沒有應用意識就不可能有應用行為.在教學中可讓學生更多地了解數學概念產生的背景、發展過程，熟悉知識點的實際背景與其他學科的聯系，掌握思想方法的來龍去脈和各種數學應用方法、規律等，這樣通過大面積、長時間的熏陶，一定會大大增強學生的應用意識；其次，充分展示數學的方法.在教學中深入挖掘知識的深刻內涵，通過展示過程中的思想方法來培養學生用數學方法思考問題的思維模式；第三，要強化數學應用技能的訓練，多舉一些與現實問題結合的例題.

比如，在講授級數知識的時候，可以用芝諾悖論之一“阿基里斯追不上烏龜”作為引例讓學生討論此悖論的癥結所在，引起學生的學習興趣，在介紹了級數的基本知識點后，分析板演此引例中阿基里斯和烏龜分別走過的路程的級數表示，這樣學生會更好地理解級數的定義，同時也有利于培養學生將現實問題轉化為數學表達的能力，激發征服困難的動力.在學生掌握了一定的級數求和方法后，讓他們考慮可否用統一方法求級數1+13+19+127+…與級數1+3+9+27+…的和，讓學生體會數學的創造美，增強學習興趣.

（四）做到精講多練，使學生學會運用數學的簡潔美、相似美

數學的簡潔美體現在數學語言的高度概括性、數學內容的高度抽象性，而且還包含解題思維的敏捷性.“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這句出自《莊子·天下篇》，其用簡練的語言概括了有限與無限的辯證關系，同時蘊含了數學的極限思想，讀著古人智慧的語句，理解著數學的精髓思想，何等美哉！

解題時，運用數學的簡潔美可以盡快地將題目中反映出的新信息有效地進行整合、重組，獲得最佳解決方案.當問題越解越煩瑣，那么意味著方法、思路存在不當的問題，需另尋他法.例如，利用洛必達法則求極限 limx→0tanx-xxsin2x，當運用到第三次時會發現這個極限表達式已經十分煩瑣了，使我們不愿再做下去，此時自然會想到是方法使用不當導致的，進而探求新途徑——簡化分母，可以用等價無窮小替換（x→0時，sinx～x），再使用洛必達法則就容易求解了.

當某一類數學問題具有相似的條件、結論或圖形時，其解法也必具有相似之處.解題時可用相似美為指導，歸類處理，從中尋求解題方法.

例如，在利用換元法求積分時，選擇什么樣的三角函數做代換就要依托sin2t+cos2t=1與tan2θ+1=sec2θ這兩個三角恒等式，考查所求積分中的根式與哪個三角恒等式形式相似，再做恰當換元.比如，被積函數中有根式a2-x2，那么要想開根式，需令x=asint-π2≤t≤π2；如，被積函數中有根式a2+x2，那么要想開根式，需令x=atant，-π2

大學數學教學中重視數學美的融入，將會深刻地影響學生的思想情感，教師不僅要引導學生欣賞數學的美，更要給他們留有一定的時間和空間去體味、發現數學的美，也許若干年后他們會忘記公式和定理，但是相信他們會銘記數學美帶給他們的美好回憶.