關于全期望公式的幾點思考

劉小艷　嚴鈞

【摘要】本文考慮全期望公式與全概率公式、事件差的概率以及定積分的可加性之間的聯系，我們得到全概率公式、事件差的概率以及定積分的可加性本質上都是全期望公式.

【關鍵詞】全期望公式；全概率公式；定積分

全期望公式是概率論與數理統計中的一個重要的公式，它是運用條件期望的技巧來求解隨機變量的數學期望.對于任意的隨機變量X和可測函數g（x），事件A1，A2，…，An，…是完備事件組，我們有如下的離散情形的全期望公式：

E（g（X））=∑∞k=1E（g（X）·I{Ak}）=∑∞k=1E（g（X）|Ak）P（Ak），

其中，對于任意事件A，I{A}稱為事件A的示性函數，其定義為如果事件A發生，則I{A}=1，如果事件A不發生，則I{A}=0；E（g（X）|Ak）表示g（X）關于事件Ak的條件數學期望.特別地，如果（X，Y）是二維離散型隨機變量，它們的聯合分布律為{pij=P（X=xi，Y=yj），i，j=1，2，…}，設Ak={Y=yk}，k≥1，則離散情形的全期望公式變為

E（g（X））=∑∞i=1∑∞j=1g（xi）P（X=xi|Y=yj）P（Y=yj）.

設二維連續型隨機變量（X，Y）的聯合密度函數為f（x，y），X，Y的邊際密度函數分別為fX（x），fY（y），f（x|y）表示X關于Y的條件概率，f（y|x）表示Y關于X的條件概率，由重期望公式，我們可以得到如下的連續情形的全期望公式：

E（g（X））=E（E（g（X）|Y））=∫∞-∞∫∞-∞g（x）f（x|y）fY（y）dxdy.

全期望公式與全概率公式的關系：

全概率公式是概率統計中的一個重要的公式，離散形式的全概率公式的敘述如下：設B是一個事件，A1，A2，…，An，…是完備事件組，則有

P（B）=∑∞k=1P（BAk）=∑∞k=1P（B|Ak）P（Ak）.

我們知道概率可以寫成數學期望的形式，具體地，對于任意一個事件A，P（A）=E（I{A}），由此，離散形式的全概率公式可以寫成如下的形式：

E（I{B}）=∑∞k=1E（I{B}·I{Ak}）=∑∞k=1E（I{B}|Ak）P（Ak）.

也就是說，離散情形的全概率公式即為離散情形的全期望公式.對于連續情形的全概率公式我們有類似的結果.設二維連續型隨機變量（X，Y）的聯合密度函數為f（x，y），X，Y的邊際密度函數分別為fX（x），fY（y），f（x|y）表示X關于Y的條件概率，f（y|x）表示Y關于X的條件概率，則連續形式的全概率公式為

fX（x）=∫∞-∞f（x，y）dy=∫∞-∞f（x|y）fY（y）dy，

這樣，我們有

E（g（X））=∫∞-∞g（x）fX（x）dx=∫∞-∞g（x）f（x|y）fY（y）dy.

這就是連續情形的全期望公式.

全概率公式與事件差的公式的關系：

事件B和A的差B-A定義為B發生而A不發生這一事件.我們知道對于任意兩個事件A和B，有P（B-A）=P（B）-P（AB），特別地，如果BA，則公式簡化為P（B-A）=P（B）-P（A），因為此時我們有AB=A.我們可以證明P（B-A）=P（BA），其中A表示A的對立事件，即它們滿足AA=，A∪A=Ω，所以由P（B-A）=P（B）-P（AB）可以得到P（BA）=P（B）-P（AB），即P（B）=P（BA）+P（BA），這就是全概率公式，因為A和A為對立事件.

全概率公式與定積分的聯系：

設g（x）為區間[a，b]上的可積函數，c為任意常數，則

∫bag（x）dx=∫cag（x）dx+∫bcg（x）dx=∫bag（x）I{a≤x

設X～U（a，b），則上式可以寫成數學期望的形式：

E（g（X））=E（g（X）I{B}）+E（g（X）I{B}），

其中，事件B={a≤X

同理，我們可以證明E（g（X））=∑∞k=1E（g（X）I{X∈Bk}），這就是全期望公式.

【參考文獻】

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