整式形式的分式函數(shù)求不定積分的方法探討

李濤

【摘要】本文針對整式分式函數(shù)積分問題概括了五種特殊的積分方法，熟練掌握和應用這五種方法對于解決這類分式函數(shù)的不定積分問題非常方便快捷，從而有利于進一步拓寬思路，大大提高不定積分的運算能力.

【關鍵詞】整式分式函數(shù)；不定積分；方法

一、引言

不定積分是高等數(shù)學教材的一個重要知識點，整式分式函數(shù)求不定積分是微積分知識中的一個重點也是一個難點問題，在整式分式形式各異時，求不定積分的方法也不盡相同，很多學生在遇到求整式分式形式的函數(shù)不定積分時，不知該用哪種方法來解答，甚至不知如何入手.本文從分子、分母的特點出發(fā)，對整式分式形式函數(shù)求不定積分的方法進行了分類和總結.

二、方法分類

設f（x），g（x）為關于x的整式函數(shù)，下面對于計算不定積分∫f（x）g（x）dx時，常見情況進行分類討論.

（1）當分子f（x）為多項式，分母g（x）為單項式時，直接拆項（用f（x）每一項除以f（x）），對每一項使用基本積分公式進行積分.

例1∫x3+2x2+3x+33x2dx=∫x3+23+1x+1x2dx

=x26+23x+ln|x|-1x+C.

（2）當分子f（x）為常數(shù)C，分母g（x）為不可因式分解的二次多項式時，把分母g（x）化簡為“完全平方公式+正數(shù)”的形式（分母g（x）已經是“平方形式+正數(shù)”時，無須化簡），然后使用直接積分法積分.

例2∫13x2+2dx=12∫132x2+1dx

=66arctan62x+C.

例3∫1x2-6x+13dx=∫1（x-3）2+4dx

=12arctanx-32+C.

（3）當分子f（x）為多項式或單項式，分母g（x）為可因式分解的二次多項式時，把分母g（x）因式分解后，拆項（拆成加法或者減法形式），然后對每一項進行積分.

例4（平方差公式型，拆成減法）

∫14x2-1dx=∫1（2x+1）（2x-1）dx

=12∫12x-1-12x+1dx

=14ln|2x-1|-14ln|2x+1|+C.

例5（十字相乘型，拆成減法）

∫1x2-3x+2dx=∫1（x-1）（x-2）dx

=∫1x-2-1x-1dx=ln|x-2|-ln|x-1|+C.

例6（十字相乘型，拆成加法）

∫2x-3x2-3x+2dx=∫2x-3（x-1）（x-2）dx

=∫1x-1+1x-2dx=ln|x-1|+ln|x-2|+C.

（4）當分子f（x）可湊成分母g（x）或g（x）中的乘積因子時，把分子f（x）先加上（減去）一個因子（可以是常數(shù)因子也可以是函數(shù)因子）配成g（x）或g（x）中的那部分乘積因子，而后減去（加上）一個相同因子，然后拆項，再積分.

例7（加上（減去）常數(shù)因子）

∫x23（1+x2）dx=∫x2+1-13（1+x2）dx

=∫x2+13（1+x2）-13（1+x2）dx=13x-13arctanx+C.

例8（加上（減去）函數(shù)因子）

∫1x6（1+x2）dx=∫1+x2-x2x6（1+x2）dx

=∫x2+1x6（1+x2）-x2x6（1+x2）dx

=-15x5-∫1+x2-x2x4（1+x2）dx=-15x5+13x3-1x-arctanx+C.

（5）當分子f（x）可湊成分母g（x）的微分，或者分子f（x）的一部分可湊成分母g（x）的微分時，湊完后積分，或者湊完拆項后積分.

例9∫2x+2x2+2x+2dx=∫1x2+2x+2d（x2+2x+2）

=ln|x2+2x+2|+C.

例10∫2x-1x2+2x+2dx=∫（2x+2）-3x2+2x+2dx

=ln|x2+2x+2|-3arctan（x+1）+C.

三、結語

對于形式為整式的分式函數(shù)求不定積分，應用這些方法可以順利地、快速地、準確地計算出函數(shù)的積分來，但是一定要具體問題具體分析，根據(jù)分子、分母情況的特點來選擇合適的方法，應多練習以求熟能生巧，更應注重方法和方法的結合.

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2007：23-31.

[2]周志燕，程黃金.高等數(shù)學[M].沈陽：東北大學出版社，2014：11-15.