一種利用復積分求定積分的方法

馬志良

【摘要】本文主要研究的是用復積分計算定（實）積分問題，并借助例題的形式給出了輔助函數為不同類型下的一般計算方法.

【關鍵詞】留數；多值函數；極點；支割線

【基金項目】蘭州資源環境職業技術學院校級課題（Z2016-19）.

一、預備知識

定理若z0為f（z）=φ（z）φ（z）的一級極點，其中φ（z0）≠0，φ（z0）=0，φ′（z0）≠0，則有Res[f（z），z0]=limz→z0φ（z）φ′（z）=φ（z0）φ′（z0）.

例如，設z0為1z4+1的一級極點，則Res1z4+1，z0=limz→z01（z4+1）′=limz→z014z3=14z30=z04z40=-z04.

二、復積分在實積分中的應用

（一）輔助函數為復變單值函數

例1計算實積分∫+∞-∞1x4+1dx.

解輔助函數選為f（z）=1z4+1，在復平面有4個一級極點，z1=eπ4i，z2=e3π4i，z3=e5π4i，z4=e7π4i.作以原點為圓心，R≥1為半徑的上半圓，積分路徑如圖1所示.

對上式兩邊求R→∞的極限，則得

∫+∞-∞1x4+1dx+limR→+∞∫CR1z4+1dz=22π，

∫CR1z4+1dz≤∫π01R4ei4θ+1dθ≤∫π01R4ei4θ+1dθ

≤∫π01R4|cos4θ|+1dθ≤∫π01R4+1dθ≤πR4+1，

故limR→+∞∫CR1z4+1dz≤limR→+∞πR4+1=0

limR→+∞∫CR1z4+1dz=0，所以∫+∞-∞1x4+1dx=22π.

從這個例子可以看出，當輔助函數為單值函數時，積分曲線只需作以原點為圓心，包含孤立奇點的上半圓，然后用閉曲線上的留數定理計算可得.

（二）輔助函數為復變多值函數

例2計算實積分∫+∞0xlnx（1+x）2dx.

解輔助函數選為f（z）=zlnz（1+z）2，由于z與lnz是多值函數，支點為0與∞，所以函數f（z）的支點也為0與∞.函數f（z）在整個復平面上只有一個二級極點-1，

因為支割線不能過孤立奇點，所以支割線可選為正實軸，且作以原點為圓心，R≥1為半徑的圓CR.為了不讓積分曲線繞支點0旋轉，作以原點為圓心，r≤1為半徑的圓Cr，允許支割線在積分路徑上選取，積分曲線如圖2所示，選擇支割線上岸的復數角度為0，即argz=0.因為復變函數zlnz（1+z）2在圖中的復連通區域上除了z0=-1之外解析，由留數定理得

∫CRzlnz（1+z）2dz+∫rRzlnz（1+z）2dz-∫Crzlnz（1+z）2dz

+∫Rrzlnz（1+z）2dz=2πiReszlnz（1+z）2，-1.

由于規定支割線上岸argz=0，所以arg（-1）=π，推出-1=eπ2i=i，ln（-1）=πi，

Reszlnz（1+z）2，-1=limz→-1（zlnz）′

=limz→-112zlnz+zz=12-1ln（-1）--1

=12iπi-i=π2-i，

所以2πiReszlnz（1+z）2，-1=2πiπ2-i=2π-π2i，

limR→+∞∫CRzlnz（1+z）2dz≤limR→+∞∫CRzlnz（1+z）2|dz|

≤limR→+∞RlnR（1+R）22πR=0limR→+∞∫CRzlnz（1+z）2dz=0，

limr→0∫Crzlnz（1+z）2dz≤limr→0∫Crzlnz（1+z）2|dz|

≤limr→0rlnr（1+r）22πr=0limr→0∫Crzlnz（1+z）2dz=0.

在向量rR上，由于argz=0，所以z=x，

limR→+∞r→0∫Rrzlnz（1+z）2dz=∫+∞0xlnx（1+x）2dx，

在向量Rr上，由于argz=2π，所以z=xe2πi，

limR→+∞r→0∫rRzlnz（1+z）2dz=∫0+∞xe2πiln（xe2πi）（1+xe2πi）2d（xe2πi）

=∫0+∞xeπi（lnx+2πi）（1+x）2dx

=∫+∞0x（lnx+2πi）（1+x）2dx∫+∞0xlnx（1+x）2dx+∫+∞0x（lnx+2πi）（1+x）2dx

=2π-π2i，

所以∫+∞0xlnx（1+x）2dx=π.

由這個例子可以看出，當輔助函數為多值函數時，就要通過在支割線上限制輻角的辦法，把復變函數在積分曲線上分解成單值解析分支，最后用留數定理加以解決.

三、結論

由上面兩個例子可以看出，在將實積分的計算轉化為復積分的計算時，要根據輔助函數是單值函數還是多值函數，合理地選擇積分曲線路徑，進而用留數定理加以解決.