基于Lebesgue積分意義下的積分中值定理

楊立星

【摘要】積分中值定理在高等數(shù)學(xué)的理論研究中占有非常重要的地位.本文中，首先給出了定理中的參數(shù)“ξ”可以存在于開(kāi)區(qū)間的證明；此外，在Lebesgue積分意義下，給出了二重積分的積分中值定理的證明.

【關(guān)鍵詞】Lebesgue積分；積分中值定理；介值定理

一、理論背景

在大多數(shù)高等數(shù)學(xué)教材中，定積分的積分中值定理如下：

定理1f（x）∈C（[a，b]），則ξ∈[a，b]，使得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

在定理中，參數(shù)ξ∈[a，b]，利用微分中值定理，可將參數(shù)ξ縮小至開(kāi)區(qū)間（a，b），有下面定理：

定理1′f（x）∈C（[a，b]），則ξ∈（a，b），使得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

證明因?yàn)閒（x）∈C（[a，b]），所以f（x）在區(qū)間[a，b]上存在原函數(shù)F（x），即F′（x）=f（x），且F（x）∈C（[a，b]）.

由Lagrange中值定理：存在ξ∈（a，b），使得

F（b）-F（a）=F′（ξ）（b-a）.

又因?yàn)椤襜af（x）dx=F（b）-F（a），F(xiàn)′（ξ）=f（ξ），代入上式，則可得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

顯然，此處ξ∈（a，b）.顯然定理1′是定理1的改進(jìn).

此外，在一般數(shù)學(xué)分析教材中，積分中值定理敘述如下：若函數(shù)f（x）在[a，b]連續(xù)，函數(shù)g（x）在[a，b]可積且不變號(hào)，則ξ∈[a，b]，

∫baf（x）g（x）dx=f（ξ）∫bag（x）dx.

特別地，若g（x）≡1，則結(jié)論變成∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.利用介值定理，可得到參數(shù)ξ可縮減到開(kāi)區(qū)間（a，b）.

二、Lebesgue積分意義的積分中值定理

類似地，我們有如下的二重積分中值定理：

定理2二元函數(shù)f（x，y）在有解閉區(qū)域D連續(xù)，二元函數(shù)g（x，y）在D上可積且不變號(hào)，則（ξ，η）∈D，使

Df（x，y）g（x，y）dxdy=f（ξ，η）Dg（x，y）dxdy.

眾所周知，Lebesgue積分是普通積分（Riemann積分）的推廣，而Lebesgue積分具有Riemann積分的一些好的性質(zhì)，下面定理給出了Lebesgue積分意義下的積分中值定理及其證明.

定理3設(shè)D是二維平面上一個(gè)連通的有界閉區(qū)域或有限個(gè)不相交的連通有界閉區(qū)域的并，且m（D）=0，f：DR2→R在D內(nèi)具有介值性且Lebesgue可積；g：DR2→R在D Lebesgue可積，且g（x，y）≥0 a.e.于D，則（ξ，η）∈D·，使得∫Df（x，y）g（x，y）dσ=f（ξ，η）∫Dg（x，y）dσ.

證明由介值性：m≤f（x，y）≤M，

又g（x，y）≥0 a.e.于D，所以

mg（x，y）≤f（x，y）g（x，y）≤Mg（x，y） a.e.于D.

所以，對(duì)上述不等式取Lebesgue積分：

m∫Dg（x，y）dσ≤∫Df（x，y）g（x，y）dσ≤M∫Dg（x，y）dσ.

（1）若∫Dg（x，y）dσ=0，有∫Df（x，y）g（x，y）dσ=0，此時(shí)，任取（ξ，η）∈D·結(jié)論成立.

（2）若∫Dg（x，y）dσ>0，設(shè)c0=∫Df（x，y）g（x，y）dσ∫Dg（x，y）dσ，則m≤c0≤M.

當(dāng)m

當(dāng)c0=m或c0=M時(shí)，不妨假設(shè)c0=M，

因?yàn)間（x，y）≥0 a.e.于D，

所以[f（x，y）-c0]g（x，y）≤0 a.e.于D，

又因?yàn)閏0=∫Df（x，y）g（x，y）dσ∫Dg（x，y）dσ，

所以∫D[f（x，y）-c0]g（x，y）dσ=0，

所以[f（x，y）-c0]g（x，y）=0 a.e.于D.

設(shè)D=∪si=1Di，其中Di是彼此不相交的連通有界閉域，所以，∫Dg（x，y）dσ=∑si=1∫Dig（x，y）dσ>0.

所以，Di，使得∫Dig（x，y）dσ>0，所以存在可測(cè)的子集D*iDi，且m（D*i）>0，（x，y）∈D*i，有g(shù)（x，y）>0.又因?yàn)閇f（x，y）-c0]g（x，y）=0 a.e.于D*i，所以f（x，y）-c0=0 a.e.于D*i，所以（ξ，η）∈D*iD·，使得f（ξ，η）-c0=0即f（ξ，η）=c0，f（ξ，η）=∫Df（x，y）g（x，y）dσ∫Dg（x，y）dσ，

所以∫Df（x，y）g（x，y）dσ=f（ξ，η）∫Dg（x，y）dσ.

結(jié)論成立.

綜上，定理得證.

三、實(shí)例

例如，f（x，y）=x+1，0≤x≤1，0≤y≤1，

-x+2，1

區(qū)域D為兩個(gè)閉區(qū)域的并，函數(shù)f（x，y）在D上Lebesgue可積，所以（ξ，η）∈D·，使得

∫Df（x，y）g（x，y）dσ=f（ξ，η）∫Dg（x，y）dσ.

事實(shí)上，∫Df（x，y）dσ=2，取（ξ，η）=0，12，顯然，∫Df（x，y）g（x，y）dσ=f（ξ，η）∫Dg（x，y）dσ=f0，12·D的面積.定理3成立.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王晗玥.積分中值定理的改進(jìn)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009（6）：59-60.

[2]陳衛(wèi)星.關(guān)于推廣的重積分中值定理的一個(gè)注記[J].中國(guó)煤炭經(jīng)濟(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)，1994（3）：78-81.

[3]范江華，楊斌妮.多重積分的積分中值定理[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007（12）：197-200.

[4]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].第3版.北京：高等教育出版社，1991.

[5]江澤堅(jiān)，吳智泉.實(shí)變函數(shù)論[M].第2版.北京：高等教育出版社，2006.

[6]王振友，等.積分中值定理的幾個(gè)相關(guān)應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2016（4）：77-79.

[7]陳玉.基于微分中值定理的積分中值定理[J].高等數(shù)學(xué)研究，2013（4）：42-45.

[8]張新元.積分中值定理的較一般情況的幾何意義及其推廣形式[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010（3）：161-165.

[9]李衍禧.積分第一中值定理的推廣[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007（9）：203-206.

[10]劉許成.Rn中積分中值定理點(diǎn)取值范圍的改進(jìn)[J].數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2004（4）：165-169.

[11]熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義[M].第2版.北京：高等教育出版社，2001.