郵資與時間的預測模型

梁素梅

【摘要】本文通過引入最簡單的回歸分析問題，把數學知識和實際問題相結合，把線性回歸應用到郵資與時間的預測模型中，創造實際應用價值，并實施數學建模的具體步驟，加強學生數學建模思想.

【關鍵詞】預測模型；線性回歸

一、案例引入

為研究某國標準普通信件（質量不超過50克）的郵資與時間的關系，得到如下數據：

年份（年）19781981198419851987199119951997200120052008

郵資（分）68101315202225293233

試構建一個郵資作為時間函數的數學模型，在檢驗了這個模型是“合理”的之后，用這個模型來預測一下2016年的郵資.

二、數學建模步驟

1.調查研究，弄清問題.在接到問題以后，首先要進行調查研究，弄清問題.這包括了解問題的來源和它的實際背景，認清問題的類型和相關知識，明確問題的要求，分析其中參變因素.如果其中某些重要因素只是定性的而非定量的，還要設法對其做定量化處理，將其數量化.

2.建立數學模型（Ⅰ）合理假設，簡化問題.

分析問題中有關參變因素，分清主要因素與次要因素，抓住主要因素，略去次要因素，做出合理假設，將問題進行必要的簡化，或逐次簡化，使之變為一個比較容易解決的問題.

3.建立數學模型（Ⅱ）數學描述.

運用數學語言和數學方法——數學符號、數學式子、數學圖表，來描述參變因素之間的數量關系，使之成為一個數學問題——“數學模型”，并不限于方程、不等式、函數關系、圖或表，只要它是可以用數學方法進行研究和解決的問題形式，都在考慮的范圍內.

4.求解數學模型.

用常規的、非常規的數學方法（包括計算機處理），對數學模型進行求解，得出問題的解答和解決方案.解答或解決方案，可以用數學式子、數據、數學圖表或文字敘述等多種方式、方法來表示.

5.檢驗數學模型.

求得的數學模型的解答或解決方案，是對簡化后的問題的一個理論上的答案.它是否與實際情況相符合，還需要進行實際檢驗.經過檢驗，如果與實際情況不相符合，就要對建模過程重新進行分析和修正——修改和補充假設，核對和修正數據，甚至變換思路，尋求另外的數學方法和途徑等，以求建立更加切合實際的數學模型.

6.模型應用.

經過檢驗的數學模型，就可以在實際中應用了，在應用中如果又發現問題，還要對模型進行再修正，使之不斷完善.

三、案例解答

1.先將實際問題量化，確定自變量x和因變量y.為方便計算，設起始年1978年為0，并用x表示，用y（單位：分）表示相應年份的信件的郵資，得到下表：

2.作散點圖，確定變量之間近似函數關系，得到下圖，觀察得到的散點圖可知，郵資與時間大致呈線性關系.設y與x之間的函數關系為y=ax+b，其中a，b為待定常數.

郵資與時間散點圖

3.求待定常數項a，b.通過Excel相關功能的計算分別得到的值為a=0.961 8，b=5.898.

從而得到回歸直線為y=0.961 8x+5.898.

4.在散點圖中添加上述回歸直線，見下圖，經觀察發現直線模型與散點圖擬合得非常好，說明線性模型是合理的.

郵資與時間散點圖與直線的擬合圖

5.預測2016年的郵資，即x=38時y的取值.由擬合圖可以得到x=38時，即預測2016年的郵資約為42分.

實際上，將x=34代入直線方程可得y≈42.

四、模型分析

經分析，問題所給郵資與時間的數據對之間大致呈線性關系，并且經回歸分析所得到的回歸曲線為一條直線，此類回歸問題又稱為線性回歸問題，它是最簡單的回歸分析問題，但卻具有廣泛的實際應用價值，此外，許多更加復雜的非線性的回歸問題，如，冪函數、指數函數與對數函數回歸等都可以通過適當的變量替換化為線性回歸問題來研究.

一般地，我們可按以下四個步驟進行回歸分析：

1.將實際問題量化，確定自變量和因變量；

2.根據已知數據作散點圖，大致確定擬合數據的函數類型；

3.通過軟件（如，Excel等）計算，得到函數關系模型（在Matlab中直接調用函數polyfit（）和多項式函數y=p（1）.*x+p（2））；

4.利用回歸分析建立的近似函數關系來預測指定點x處的y值.

【參考文獻】

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[3]劉廣軍，楊春華，耿玉霞.高等數學教程[M].長春：吉林大學出版社，2010：42-43.