帳篷混沌序列稀疏測量矩陣構造*

胡行華， 史明潔

(遼寧工程技術大學 理學院，遼寧 阜新 123000)

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帳篷混沌序列稀疏測量矩陣構造*

胡行華， 史明潔

(遼寧工程技術大學 理學院，遼寧 阜新 123000)

測量矩陣的構造是壓縮感知(CS)中重要的研究內容之一。利用混沌系統偽隨機性、遍歷性的特點，提出了一種基于帳篷混沌序列構造確定性稀疏隨機矩陣的方法。對混沌系統生成的確定性序列進行了間隔采樣，采樣后的序列滿足統計獨立性，然后通過符號函數映射，生成了具有稀疏性質的偽隨機序列，進而構造出混沌稀疏測量矩陣。仿真實驗表明：該方法構造出的混沌稀疏測量矩陣與高斯隨機矩陣、稀疏隨機矩陣及Bernoulli隨機矩陣相比，具有類似的重構性能。混沌系統參數與初值固定時，構造的混沌稀疏測量矩陣是確定的，計算復雜度小且硬件上容易實現。

壓縮感知； 混沌系統； 測量矩陣； 稀疏矩陣

0 引 言

傳統信號采樣理論中，信號的采樣速率必須達到信號最高頻率的2倍或2倍以上才能夠精確重構原始信號。近年來，Candes E，Donoho D和 Tao T提出了一種新的信號采樣理論—壓縮感知(compressed sensing，CS)[1,2]。CS理論突破了奈奎斯特采樣定理對采樣頻率的限制，使數據的壓縮與采樣同時進行，為高速數據的采集、存儲、傳輸和處理等帶來極大便利，具有良好的應用前景。目前，CS理論應用的熱點領域有圖像處理[3]、語音信號處理[4]和無線傳感器網絡[5,6]等。

CS理論主要包括信號的稀疏表示、測量矩陣的設計以及信號重構三方面內容。其中，測量矩陣的設計在信號采集和重構環節起到至關重要的作用。CS的測量矩陣可分為稠密矩陣和稀疏矩陣。目前，稠密矩陣在理論上有很好的特性，但這類矩陣密度高、存儲空間大、計算復雜度高且不易硬件實現，如高斯隨機矩陣等。因此,在大多數應用中，更希望測量矩陣是稀疏的。張波等人[7]證明了當測量值個數滿足特定條件時，稀疏隨機矩陣以接近于1的概率滿足有限等距性質。孫晶明等人對稀疏隨機矩陣的觀測次數下界進行研究，推導了觀測次數應滿足的下界條件[8]，提出了CS塊稀疏循環矩陣，但所提的矩陣元素為高斯隨機變量，限制其硬件友好性。Berinde R等人[9]采用二值稀疏隨機矩陣作為觀測矩陣，并在通用的重建算法下與高斯隨機矩陣的重建性能相當。Li Shuxing等人[10]提出了利用有限幾何構造了確定性稀疏測量矩陣的方法，但是該方法不能構造大小任意的確定性測量矩陣，具有一定的局限性。

本文將帳篷混沌系統所生成的混沌序列用于構造CS中確定性稀疏測量矩陣。構造的混沌稀疏測量矩陣克服了隨機測量矩陣的不確定性及硬件上難以實現的缺陷。混沌稀疏測量矩陣只需要存儲和傳輸少量混沌系統參數，并對信號重構時不需要大量重復實驗，減少了存儲空間，節約了資源。

1 CS理論

對離散信號x∈RN，如果x本身是可壓縮的或在一組N×N維正交基Ψ上展開為

(1)

式中x和α均為N×1維向量。當系數向量α中至多有k(k?N)個非零值或k個比較重要的參數時，x被稱為k稀疏信號。實際中，信號往往不是稀疏的，需要經過式(1)的變換，此變換稱為信號的稀疏表示。常用的稀疏基有小波基、正余弦基及Curvelet基等。

將信號x投影到一組矩陣Φ∈RM×N(其中M?N)上，得到關于信號x的觀測值y(y∈RM)，即

y=Φx=ΦΨα=Θα

(2)

式中Φ為測量矩陣；Ψ為稀疏基；Θ=ΦΨ為傳感矩陣。

為了保證準確重構出信號x，傳感矩陣Θ必須滿足約束等距性質[1](restricted isometry property,RIP)

(3)

式中 δk被稱為約束等距常數。依據式(3)判斷傳感矩陣Θ是否滿足RIP條件比較困難，因此，Baraniuk提出其等價條件，即觀測矩陣Φ和正交稀疏基Ψ不相關條件。常用的觀測矩陣有高斯隨機矩陣、貝努利隨機矩陣、稀疏隨機矩陣、托普利茲和循環矩陣等。

在滿足以上條件下，通過式(2)，可以利用少量的測量值y通過優化算法計算出信號x的稀疏表示α，最后通過逆變換恢復信號x。具體優化算法可以利用l0范數優化方法求解α的精確解或者一個逼近，即

(4)

由于式(4)的優化問題是NP-Hard問題，所以，在一定條件下可用l1范數代替l0范數求解，即

(5)

針對信號α的重構，CS理論中已經有一系列近似求最優解的重建算法，主要可以分為以下三大類:第一類是基于l0范數最小化的貪婪迭代匹配追蹤系列算法;第二類是基于l1范數最小化的松弛算法；第三類是以貝葉斯統計為代表的非凸優化算法。

2 混沌稀疏測量矩陣的構造

2.1 一維混沌系統

混沌是非線性系統所獨有且廣泛存在的一種非周期運動形式，由于混沌系統產生的序列具有確定性和隨機性的統一、有界性以及遍歷性等良好的偽隨機性質，所以，在非線性控制、信號處理、保密通信等領域有著廣泛應用[11，12]。

帳篷映射是一種應用相當廣泛的離散混沌系統，其映射方程的數學表達式為

xn+1=α-(1+α)|xn|,n=1,2,…

(6)

式中 α∈(0,1)，本文令α=0.999，迭代初值x0=0.01。與其他同類型混沌映射相比，如Logistic映射、立方映射和無限折疊映射，從熵性質可得出帳篷映射比其他三種混沌映射穩定性都要好，同時，從仿真圖也可看出，其遍歷的均勻性是不一樣的，以帳篷映射最好，見圖1。

圖1 不同類型混沌序列分布

其中，橫坐標表示范圍(均分區間)，縱坐標表示次數(n=10 000)。如Logistic映射產生的混沌序列落在 0 %～10 %,即[0,0.1]內的點有2 000余個，以此類推。

2.2 混沌稀疏測量矩陣構造算法

本文利用帳篷映射生成的確定性的混沌序列構造混沌稀疏測量矩陣，具體步驟如下：

1)通過帳篷映射產生一個M×N×d的確定性的混沌序列為

{an|n=0,1,…,M×N×d,an∈(-1，1)}

式中d為采樣間隔，取d=15。

2)對序列an進行間隔采樣，生成新的序列

{bn|bn=an×d,n=0,1,…,M×N-1}

采樣后的序列bn中元素是近似相互獨立的并且滿足同分布[13]。

3)結合稀疏隨機矩陣性質，取稀疏率為0.2，生成序列元素均為正數，將序列bn經過式(7)符號函數映射成序列xn，即

(7)

4)按行的方式將xn轉換生成一個大小為M×N的觀測矩陣Φ，如式(8)，并經過一個變換L對Φ進行標準化

(8)

如此，測量矩陣構造完成，測量值y可通過式(2)獲得。

3 實驗分析

為驗證本文關于混沌稀疏測量矩陣構造算法的可行性及混沌稀疏測量矩陣的有效性，實驗分別采用高斯隨機測量矩陣、Bernoulli隨機測量矩陣、稀疏隨機矩陣及構造的混沌稀疏測量矩陣進行仿真，并對結果進行對比和分析。

3.1 一維信號仿真實驗

本文為減小實驗難度，減少因素干擾，選取長度N=256的絕對稀疏0～1隨機信號，利用子空間追蹤算法(subspace pursuit，SP)對隨機信號進行重構。實驗假設信號重構殘差‖x-xrec‖2小于0.001時信號重構成功，其中,x為原始信號，xrec為重構信號。

CS理論中，信號的稀疏度和測量次數都會影響信號重構效果。因此，實驗首先假定測量次數固定，分析僅改變隨機信號的稀疏度時對信號重構成功概率的影響；然后假定隨機信號稀疏度固定，分析僅改變測量次數時對信號重構成功概率的影響。除本文構造的混沌稀疏測量矩陣外，為減小實驗中隨機測量矩陣的不確定性影響，其余測量矩陣均進行200次獨立模擬實驗取平均值，結果如圖2、圖3所示。

圖2 N=256，M=128時，不同測量矩陣重構效果隨稀疏度K變化

圖3 N=256，K=30時，不同測量矩陣重構效果隨測量次數M變化

圖2表明：當隨機信號的稀疏度K≤30時，幾種測量矩陣都能以高概率重構出原始信號；當稀疏度K≥55時，都不能對原始信號進行重建。圖3表明：當測量次數K≥135時，幾種測量矩陣都能以高概率重構出原始信號；當測量次數K≤85時，都不能對原始信號進行重建。從圖2和圖3可知：在相同的條件下，本文構造的混沌稀疏測量矩陣和其他幾種測量矩陣具有類似的性能，都能實現對一維信號的重構。

3.2 二維圖像重構實驗

本文采用大小為 的Lena圖像，稀疏基采用離散余弦變換基(DCT),重構算法采用平滑l0范數(smoothedl0norm，SL0)算法。

實驗在不同采樣率(M/N)下比較不同觀測矩陣對重構效果的影響，同一維信號實驗，本文進行100獨立實驗取平均值，并采用峰值信噪比(peak signal to noise ratio， PSNR)作為評價標準，定義為

式中 I為原圖像，R為重構圖像。MAXI為圖像點顏色的最大數值(如果每個采樣點用 8 位表示，那么就是255)。PSNR的值越大，表示信號重建的精確度越高，則對應的混沌觀測矩陣性能也就越好。實驗結果如圖4。

圖4 圖像在不同測量矩陣下的峰值信噪比隨采樣率變化

為了直觀展示，在采樣率M/N=0.5時，重構效果如圖5所示。

圖5 Lena圖像重構效果對比

可以看到，在相同采樣率(M/N)的情況下，本文構造的混沌稀疏隨機矩陣與高斯隨機測量矩陣、稀疏隨機矩陣以及Bernoulli隨機測量矩陣有類似的重構效果。

4 結 論

本文將帳篷混沌系統生成的確定性混沌序列用于構造混沌稀疏測量矩陣。對一維信號和二維圖像進行信號重構對比仿真。實驗結果表明：本文構造出的混沌稀疏測量矩陣與高斯隨機矩陣、稀疏隨機矩陣及混沌矩陣相比，具有類似的重構性能。由于本文構造的測量矩陣在采用的混沌系統的參數和初值確定時是固定的，克服了隨機測量矩陣的不確定性，硬件上難以實現的缺點。并且由于只需要存儲混沌系統參數和稀疏矩陣的性質，可以節省存儲空間和傳輸帶寬，硬件易于實現，基于混沌系統構造的測量矩陣是確定的，容易在硬件上實現，而且矩陣稀疏的性質，對減少存儲空間有很大幫助，具有一定的實用意義。

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史明潔(1991-),通訊作者，E—mail:932559492@qq.com。

Construction of sparse measurement matrix via tent chaotic sequence*

HU Xing-hua， SHI Ming-jie

(College of Science，Liaoning Technical University，Fuxin 123000，China)

Construction of measurement matrix is one of the important research content in compressed sensing(CS).Using characteristic of pseudo randomness,ergodicity of chaotic systems,propose a method for construction of the sparse measurement matrix based on tent chaotic sequence.The method for deterministic chaotic sequence generated by the system will be interval sampling,so that the sampled sequence meet statistical independence,by symbol function mapping generate pseudo-random sequence having sparsity,thereby construct measurement matrix of chaotic sparse.Simulation experiments results show that compared with Gaussian random matrices,sparse random matrix and Bernoulli random matrix, this proposed matrix has a similar reconstruction performance.The proposed measurement matrix is deterministic when parameter of chaotic system and initial value are fixed，its computation complexity is small and it is easy to be realized by hardware.

compressed sensing(CS)； chaotic system； measurement matrix； sparse matrix

10.13873/J.1000—9787(2017)07—0050—03

2016—08—16

國家自然科學基金青年科學基金資助項目(11401284)；教育部高校博士學科科研基金聯合資助項目(20132121110009)；遼寧省教育廳基金資助項目(L2015108)

TN 911.7

A

1000—9787(2017)07—0050—03

胡行華(1978-)，男，副教授，碩士生導師,從事混沌動力系統分析與預測研究工作。