二維Helmholtz方程的邊界點解法

陳林沖

(重慶師范大學 數學科學學院， 重慶 401331)

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二維Helmholtz方程的邊界點解法

陳林沖

(重慶師范大學 數學科學學院， 重慶 401331)

針對二維Helmholtz方程的混合邊值求解問題，采用邊界點方法(boundary node method)，在直接邊界積分方程的基礎上，建立了求解Helmholtz方程邊值問題的正則化形式，有效地避免了強奇異積分的計算，并且推導了弱奇異積分的計算公式。兩個數值算例表明本方法可取得較高的可行性和有效性。

二維Helmholtz方程；混合邊值問題；邊界點法；強奇異積分；弱奇異積分

Helmholtz方程在工程技術、電磁場理論、散射理論、力學等較多領域有著廣泛的應用，研究其數值解具有廣泛的實際意義和重要的理論價值，尤其是對混合邊值問題的處理[1]。傳統的數值計算方法有有限差分法、有限元法、邊界元法等。

有限差分法是將偏微分方程的定解問題按差分格式離散求解，但由于數值精度不穩定，很少用于物理工程問題的處理。有限元法將問題所在的區域離散為有限單元，在單元上對求解變量建立基于節點的插值函數近似，以變分原理或加權殘數法建立控制方程，聯立數值積分建立相關的代數方程組，但是它需要在整個區域上進行離散，在處理大變形以及動態裂紋擴展等問題時，網格可能會發生畸變，此時必須進行網格重構，從而損失了精度。邊界元法[2]是繼有限元法之后的一種基于邊界單元和節點的數值方法，是將偏微分方程的定解問題轉化為邊界積分方程，并對求解區域的邊界進行單元離散而形成的數值方法，必須要建立與插值節點拓撲相關的網格。對于復雜方程，不僅需要克服基本解的奇異性，還要進行必要的網格重構，增加計算時間，降低精度。因此，為了克服基于網格(單元和節點)的數值方法對于單元或網格的依賴，保證計算精度,節約計算時間，產生了一種不需要與節點相關聯網格的新型數值計算方法——無網格方法，并且近年來得到了較大的發展[3-4]。

最早的無網格方法是1977年Lucy提出的光滑粒子法[5]，主要用于研究無邊界的天體問題和流體問題，但穩定性不是很好。1981年，Lancaster等建立了移動最小二乘法[6]，采用完備多項式作為基函數，利用誤差的加權平方和構造泛函，得到的逼近函數精度高、光滑性好，函數本身和其導函數都連續。20世紀90年代，Nayroles和Belytschko等將移動最小二乘法引入微分方程的邊值問題中[7]，后來Mukherjee等對移動最小二乘法進行了改進，提出了求解勢問題和彈性力學問題的邊界點法(Boundary Node Method)[8-11]。邊界點法是將移動最小二乘法導出的插值公式與邊界積分方程結合起來，通過邊界積分方程的邊值條件，建立邊界上的線性方程組,計算時間快，效率高。

本文致力于用邊界點方法數值求解二維Helmholtz方程。利用格林公式(Green)得到Helmholtz方程的直接邊界積分方程，相比間接的層位勢理論建立的間接邊界積分方程更適用于混合問題。由于二維Helmholtz方程基本解為特殊函數，將其展開成了一種級數形式，巧妙地利用二維Laplace方程的基本解的特性，建立了二維Helmholtz方程的正則化的邊界積分方程，有效地避免了強奇異積分的計算。針對其中含基本解的弱奇異積分項，詳細地推導了其數值計算公式[12]。最后給出了數值算例,驗證了該方法的可行性和有效性。

1 Helmholtz方程混合邊值問題

1.1 直接邊界積分方程及其正則化形式

考慮如下二維Helmholtz方程混合邊值問題：

利用格林公式得到Helmholtz方程的解的表達式和邊界積分方程[13]：

(1)

(2)

其中c≈0.577 215 664 9，為歐拉常數，則有

定理1 當kr很小時,二維Helmholtz方程的正則化形式為

(3)

證明 在式(2)中代入其展開級數得

所以有

因此

定理得證。

1.2 邊界點方法求解二維Helmholtz方程

其中，φl(x)為移動最小二乘法(MLS)的形函數[15-17]。

設在邊界Γu上N1有個邊界節點，則Γq上有N-N1個邊界節點，代入直接邊界條件形成線性方程組

在式(1)中，?y∈Ω有

(4)

1.3 積分的計算

將邊界Γ劃分成N個積分背景網格Γn，n=1,…,N。Γn選為直線段，可表示為

其中，

(xp,yp)∈Γn，所以有

則有

對于后一個積分I2，采用分部積分公式得

所以

2 數值算例

為了誤差估計和收斂階的研究，定義下面的評估方式[18]：

圖的誤差

從圖1中可以看出：當k取不同值時，函數本身和它的一階導函數的收斂階都在2左右；從圖2中可以看出：當k取不同值時，函數本身和它的一階導函數的收斂階都在3左右，都取得了較好的數值效果。

圖的誤差

3 結束語

在已有的直接邊界積分方程理論的基礎上，本文建立了二維Helmholtz方程混合邊值問題的正則化邊界積分方程，有效地避免了強奇異積分的計算，引入了弱奇異積分的處理方法。采用邊界點方法(Boundary Node Method)得到了較高的精度和收斂階，2個數值算例驗證了該方法的可行性和有效性。進一步地，可以發現由于正方形區域的特殊性，它所布置的節點剛好落在正方形區域的邊界上，沒有產生幾何誤差，因此其得到的收斂階要比圓域得到的收斂階更高一些。

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(責任編輯 陳 艷)

Boundary Node Method for the 2-D Helmholtz Equation

CHEN Lin-chong

(School of Mathematical Science, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

Aiming at 2D Helmholtz equation mixed boundary problem, based on the boundary node method, the regularized form to 2D Helmholtz equation boundary value problem is given on the foundation of direct boundary integral equation. The method can effectively avoid strongly singular integral, and it also deduces a calculating formula to weakly singular integral in detail. Two numerical examples demonstrate that this method has the high feasibility and efficiency.

2D Helmholtz equation; mixed boundary problem; boundary node method; strongly singular integral; weakly singular integral

2017-04-18

國家自然科學基金資助項目(11471063)；重慶市基礎科學與前沿技術研究重點項目(cstc2015jcyjBX0083)

陳林沖(1988—)，男，碩士，主要從事計算數學研究，E-mail:794530653@qq.com。

陳林沖.二維Helmholtz方程的邊界點解法[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(7):188-194.

format：CHEN Lin-chong.Boundary Node Method for the 2-D Helmholtz Equation[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(7):188-194.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.07.030

O242.2

A

1674-8425(2017)07-0188-07