“探索三角形全等的條件（第一課時）”教學實錄與反思

■王 濤

“探索三角形全等的條件（第一課時）”教學實錄與反思

■王 濤

一、課堂實錄

1.復習定義，溫故知新。

圖1

師：（投影圖1。）我們來回顧一下，什么叫作全等三角形？

生1：兩個能完全重合的三角形叫作全等三角形。

師：（將△ABC向右平移與△DEF重合。）就像這樣，此時3對邊、3對角分別重合。也就是說3對邊、3對角分別相等。

師：（依次標注3對邊和3對角分別相等，如圖2。）因此當兩個三角形3對邊、3對角分別相等，這兩個三角形必然全等。

圖2

2.創設情境，引出課題。

師：如果△ABC與△DEF是某建筑物上的兩塊全等的玻璃，但不小心損壞了一塊。（投影△DEF破碎的動畫，如圖3。）請你打電話向安裝玻璃的師傅描述一下△ABC，你會說什么？

圖3

5位學生依次表達了自己的想法。

師：他們說的究竟對不對呢？這就是我們這節課要探討的課題，探索三角形全等的條件。（板書課題。）我們知道“3對邊、3對角分別相等”可以作為判定三角形全等的依據，但是用這6個條件來判定三角形全等是不是有點麻煩？

生眾：是。

師：我們來探討，減少邊或角的條件，它們是否依然全等？現在有兩種思路可以選，一種是在6個條件的基礎上逐步減少條件來探索。另一種思路是從簡單到復雜，從一個條件相等開始探討。大家想選哪一種？

生眾：從簡單到復雜。

師：那我們就從簡單到復雜來探索，這是認識問題常用的一種方法。

3.體驗分類，逐一探索。

師：我們先從一個條件開始探索，這一個條件可能是給定……（欲言又止）

生眾：給定一邊、一角。

師：你只告訴安裝師傅三角形的一條邊長，他能切出與△ABC全等的玻璃嗎？

生7：不一定。因為只給定一邊，所作的三角形的其余兩條邊長可以不相等。也就是說所作的三角形不一定重合，所以師傅不一定能切出與△ABC全等的玻璃。

師：很好，那給定一角，所作的三角形一定全等嗎？

生8：不一定，因為只給定一角，所作的三角形的其余兩個內角可以不相等，也就是說所作的三角形不一定全等。

師：你說的有道理。綜上，給定一個條件作出的三角形不一定全等。我們再增加一個條件，探討兩個條件，這兩個條件可以是……（欲言又止）

生眾：給定兩邊、兩角、一邊一角。

師：我們來依次探索，給定兩邊，作出的三角形一定全等嗎？

生眾：不一定全等。

（實驗素材：紅色、綠色磁力條若干，且紅色磁力條比綠色磁力條短，如圖4—圖14，用加粗線段代表紅、綠磁力條。）

圖4

師：（出示紅色、綠色磁力條。）給定兩邊，哪位同學愿意在白板上作出符合條件的三角形？

（生9在白板上作出了符合要求的兩個三角形，如圖5，圖中沒有加粗的一邊是學生利用三角板連接的線段。）

圖5

師：你能簡單說明一下嗎？

生9：可以，我作的兩個三角形，雖然有兩對邊分別相等，但是它們并不全等。這就說明給定兩邊作出的三角形不一定全等。

師：你講的很有道理，非常好。那給定兩角呢？

生10：即使兩個三角形有兩對角分別相等，它們也不一定全等，它們可以一大一小。

師：你的意思是，兩對角分別相等的兩個三角形，雖然形狀相同，但是大小可以不一樣，是嗎？

生10：是的。

師：這就好比我手中的大三角板與你們筆袋中的小三角板，是哪一塊小三角板？舉起來讓我看看。（學生陸續舉起。）

師：很好，那給定兩角作出的三角形也不一定全等。如果給的是一邊一角呢？這個有點難，動手畫畫看。（教師先在白板上給定一角α，如圖6，再巡視學生的畫圖過程，并邀請一位學生利用紅色磁力條在白板上作圖，如圖7。）

圖6

圖7

師：你可以簡單說明下嗎？

生11：我所作的這3個三角形，都符合一邊一角分別相等，但它們并不全等。這說明給定一邊一角所作的三角形不一定全等。

師：你表達得非常清晰，真棒！（教師看著圖7，若有所思。）我想問一下，是不是給定的一邊一定得是角α的夾邊？

生12：不一定，也可以是角α的對邊。

師：你來試試看。（生12在白板上作圖，如圖8。）符合要求的三角形一定全等嗎？

生12：不一定。（他在圖8的基礎上作了圖9。）

圖8

圖9

師：你真的很聰明，同學們掌聲鼓勵一下。這說明給定一邊一角作出的三角形也不一定全等。綜上，給定兩個條件作出的三角形不一定全等。繼續探索，給定三個條件呢？你能說出有哪幾種可能的情況嗎？

生13：給定三條邊、給定三個角、給定兩邊一角、給定兩角一邊。

師：你說的順序和我想的一致，我們真是心有靈犀。大家覺得哪種情況更容易判斷？說說看。

生14：給定三個角更容易判斷，因為三個角分別相等的兩個三角形，形狀雖然相同，但大小可以不一樣。

師：你說得真好。因為時間限制，我們只能再探索一種情況，研究哪一種好呢？

生眾：給定兩邊一角。

師：好，那其他情況留給同學們課后加以研究。兩邊一角，比如這個三角形（如圖10），你選哪兩邊哪一角呢？

圖10

6位學生分別進行了不同選擇。

師：你們說的可以歸納為兩類，一類是兩邊和它的夾角，另一類是兩邊和它一邊的對角。我們先來探索給定兩邊和它一邊的對角作出的三角形是否全等，動手畫畫看。（教師先在白板上給定兩邊m、n與角α，如圖11，再巡視學生的畫圖過程，并邀請一位學生利用紅、綠色磁力條在白板上作圖，他作圖如圖12。）

圖11

圖12

師問生21：好了嗎？

生21：（有點遲疑）我覺得還能作出一種與它不全等的三角形，但不知如何下手。

師：你將紅、綠色磁力條換下位置試試看（如圖13）。

生21：（又在圖13的基礎上，作出圖14。）我想到了，只要將紅色磁力條逆時針旋轉，就找到了另一個符合條件的三角形。

圖13

圖14

師：你真是個愛動腦的孩子，通過這個操作你得到了什么？

生21：給定兩邊和它一邊的對角作出的三角形不一定全等。

師：是的，那我們再來探索給定兩邊和它的夾角，按要求在透明紙上作△ABC。如圖15，用直尺和圓規作△ABC，使∠B=∠α，AB=m，BC=n.

圖15

師：（巡視學生的畫圖過程并指導。）作好之后，組內對比。每組選出代表，組間對比，你們發現了什么？

生眾：完全重合。

師：（操作幾何畫板。）請看大屏幕，改變三角形的邊或角，按兩邊夾一角分別相等所作的三角形依然與已知三角形全等。

（課前教師在畫板工具中作好△ABC，并顯示AB、BC的長度與∠B的角度。拖動點A、C，改變△ABC的邊或角，AB、BC的長度與∠B的角度也隨之改變；停止拖動，利用畫板工具作DE= AB、∠E=∠B、EF=BC，連接DF獲得△DEF，平移△DEF，使之與△ABC重合。）

師：這說明了什么？

生22：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。

4.講解新知，語言互譯。

（學生口述，教師板書上述結論。）

師：這是人們長期實踐獲得的用來判定兩個三角形全等的一個基本事實。可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”。（教師板書。）幾何中的每一個知識點都對應三種語言，文字語言、圖形語言、符號語言。通常我們先將抽象的文字語言譯成更加直觀的圖形語言，如圖16，△ABC與△DEF的兩邊及其夾角分別相等，你選哪兩邊及其夾角分別相等？

圖16

3位學生分別進行了不同選擇。

師：你們選的都可以，你（學生23）是第一個回答的，我選你說的來標注（如圖17）。現在我們再將圖形語言譯成簡潔明了的符號語言，哪位同學試試看？

圖17

（生26口述，教師板書，過程略。）

師：符號語言你用得很規范，平時解幾何題時，我們經常會將這三種語言進行互譯，如果你能將它們緊密結合，你會發現幾何中定理與性質其實很簡單。友情提醒一下，在寫判定的條件時，我們要注意順序，按照“邊角邊”的順序來寫，而且第一個三角形中的邊與角通常要寫在左邊。

5.拓展應用，生活數學。

題目如下，講解略。

（1）找出圖18中的全等三角形，并說明理由。

圖18

（2）已知，如圖19，AB=AD，∠BAC=∠DAC。先求證△ABC≌△ADC。再想想，BC＝DC嗎？CA平分∠DCB

圖19

（3）為了測量開山修隧道的長度，測量員的設計如圖20所示，O為AD的中點，B、C、O在同一條直線上，且OC=OB，已知CE=30m，DF=60m,只要測出AB的長，就可得隧道EF的長,為什么？當AB=250m時，求隧道EF的長。

圖20

6.課堂小結，分享收獲。

師：還記得這節課探索了什么嗎？（投影圖21。）哪些不一定成立？一定成立的是什么？哪些還沒有探索？這就留給你課后去探討了。

圖21

二、教后反思

本課設計遵循的理念就是努力把學習的主動權交給學生，尊重學生、信任學生。教師需要做好的是幫助學生在學習的每一個階段和每一個具體活動中都表現出明確的目的性，并且始終圍繞學習目的開展學習活動，從而保證學習的方向性和有效性。

透明紙、彩色磁力條、幾何畫板軟件的使用不僅省時，更為重要的是為學生提供了直觀體驗，有助于理解、記憶抽象的數學結論并發展抽象思維。數學教學是數學思維活動的教學，教學中對文字語言、圖形語言和符號語言進行了轉換，即“換一種說法”，可以更好地啟迪學生思維，提高學生數學思維的深刻性和靈活性。

本課遺憾的是，如果時間充足，就可以將三角形全等的條件全部探索出來，這樣學生的知識結構就更加完整。如果彩色磁力條有縮小版的，每人一份，那么探索活動將更加有效。

（作者為江蘇省連云港市新海實驗中學蒼梧校區教師）