基于焦散線方法的自加速光束設計?

聞遠輝陳鈺杰?余思遠2)

1)(中山大學電子與信息工程學院,光電材料與技術國家重點實驗室,廣州 510275)

2)(布里斯托大學電氣與電子工程系,布里斯托BS81TR,英國)

基于焦散線方法的自加速光束設計?

聞遠輝1)陳鈺杰1)?余思遠1)2)

1)(中山大學電子與信息工程學院,光電材料與技術國家重點實驗室,廣州 510275)

2)(布里斯托大學電氣與電子工程系,布里斯托BS81TR,英國)

(2017年6月16日收到;2017年7月17日收到修改稿)

以艾里光束為代表的自加速光束是一類在自由空間中具有彎曲傳播特性的新型特殊光束.這類光束因其具有無衍射、自加速和自修復等奇異特性引起了人們的廣泛關注,有望應用于光學微粒操控、激光微加工、全光路由和超分辨成像等諸多領域.由于艾里光束只能沿著拋物線的軌跡傳播,限制了其在實際應用中的靈活性,因而設計出能夠沿著不同軌跡傳播的自加速光束是這一研究領域的關鍵問題,而基于焦散線方法的自加速光束設計是解決該問題的有效途徑之一.這一方法是將設計的傳播軌跡與光學焦散線聯系起來,通過分析形成該焦散線所需的光線簇構造出對應的初始場分布.基于該原理并經過不斷發展,不同類型的自加速光束相繼得以實現,并且借助維格納函數還可以同時實現實空間和傅里葉空間的自加速光束設計,為自加速光束的應用提供了更多的可能性.本文對基于焦散線方法的自加速光束設計原理和進展進行全面介紹.

物理光學,自加速光束,焦散線,維格納函數

1 引 言

一般宏觀情況下,光在自由空間中是沿著直線傳播的,然而近些年來由于艾里光束的發現,在自由空間中具有彎曲傳播特性的新型光束(即自加速光束)引起了人們的極大興趣和廣泛關注.艾里光束是由美國中弗羅里達大學的Siviloglou等[1]于2007年率先在實驗上實現的.這一類光束除了與貝塞爾光束一樣具有無衍射和自修復等特性外,其最吸引人的地方在于沒有任何外界作用的情況下光束能夠沿著拋物線的軌跡彎曲傳播,而不像貝塞爾光束等絕大多數光束一樣沿直線傳播.正是由于具備這些奇異特性,基于艾里光束的各種潛在應用相繼被提出并在實驗上進行了演示,包括光學微粒操控[2,3]、彎曲等離子通道的產生[4]、光子彈[5,6]、激光微加工[7]、全光路由[8]、超分辨成像[9,10],和激光誘導放電[11]等.此外,由于艾里波包只是波動方程的解,并不局限于光學領域,對于表面等離子體波[12-15]、物質波[16,17]、聲波[18,19]、水波[20]等各種波動系統也同樣適用,因而極大地拓展了艾里波包研究的適用領域.關于以艾里光束為代表的自加速光束這一研究領域的更詳細介紹可以參見南開大學Chen課題組[21]和蘇州大學Cai課題組[22]近期的綜述文章.

本文主要聚焦討論自加速光束的設計這一問題.由于艾里光束只能沿著拋物線的軌跡彎曲傳播,這在實際應用中缺乏足夠的靈活性,因而設計其他不同軌跡傳播的自加速光束一直以來是這一研究領域的一個關鍵問題.其中一個解決思路是繼續尋找波動方程中對應艾里光束以外的其他解析解.在這一思路指導下,在非傍軸情況下沿著圓形、橢圓形和拋物線軌跡傳播的半貝塞爾光束[23]、馬修光束和韋伯光束[24]以及在三維空間中沿著球體、橢球體傳播的亥姆霍茲型光束[25]相繼被發現.然而要想繼續尋找到沿著其他軌跡傳播的自加速光束則變得愈加困難.相比之下,另一個更為有效的解決思路則是基于光學焦散線的方法.這種方法是將設計的光束傳播軌跡與光學焦散線[26,27](即光線簇形成的包絡)聯系起來,它最早是由Green field等[28]提出,在傍軸近似下可以構造出沿著任意二維凸軌跡傳播的自加速光束.隨后不久,Froehly等[29]將這一方法拓展到非傍軸情況下,從而可以實現大角度的彎曲傳播,但還是僅限于二維凸軌跡的情況.在此之后,基于焦散線方法設計的自加速光束類型不斷得到拓展,包括從凸軌跡拓展到非凸軌跡[30]、從二維軌跡拓展到三維軌跡[30,31]、從單一主瓣拓展到多個主瓣[32]等.本文對基于焦散線方法設計自加速光束的理念及實現進行討論.

2 基于焦散線的自加速光束設計原理

2.1 傅里葉空間設計自加速光束

在自由空間中,對于線偏振光,光場的傳播滿足亥姆霍茲方程,其通解可以表示為沿不同方向傳播的平面波疊加的角譜衍射積分形式：

其中A(kx,ky)≡P(kx,ky)exp[i·Φ(kx,ky)]是初始場分布的空間頻譜,光場的傳播完全由這一傅里葉空間的角譜決定.為了簡化起見,下面主要討論二維情況,即光場不隨Y方向變化的情況(三維情況的討論將在3.3節中給出),此時角譜衍射積分可以簡化為

其中E(X,Z)為二維平面(X,Z)的場分布,P(kx)和Φ(kx)為則為初始角譜的振幅和相位分布.如果相位部分exp[i·Ψ(kx)]振蕩足夠快而振幅P(kx)變化相對比較緩慢,衍射積分的主要貢獻將來源于相位函數的駐相點附近對應相位變化較為緩慢的地方,而其他點的貢獻則由于相位的快速振蕩傾向于相互抵消,即所謂的駐相近似[33](這里稱為一階駐相近似),其中駐相點對應于相位函數的一階導為零：

對于固定的空間頻率kx,方程(3)是關于空間坐標X和Z的直線方程,對應于幾何光學里的一根光線,因而在一階駐相近似下,光場可以近似用光線簇進行描述,如圖1(a1)所示.進一步地,如果令相位函數的二階導也為零,

將對應二階駐相近似.通過聯立(3)式和(4)式可以得到空間坐標X和Z之間的關系,即確定出二維平面內的一條曲線X=f(Z),并且該曲線滿足：

即曲線上每一點都與光線相切,表明該曲線實際上是光線簇所成的包絡,如圖1(a2)所示.如果進一步要求Ψ′′′(kx)=0,則可以確定出空間內的一點(X,Z)=(Xf,Zf),此時所有光線都將經過這一點,對應于光束聚焦的情況,如圖1(a3)所示.通過對比可以看到,圖1(a2)實際上是光場沒有完全聚焦到一點上,而是由于散焦聚焦到一條線上的情況,這樣一條曲線稱為焦散線.由于在焦散線上相位函數的一階導和二階導均為0,因此可以保證在焦散線附近的光強具有極大值.如果將自加速光束的彎曲軌跡與焦散線聯系起來,通過焦散線的設計就能得到光束主瓣沿著不同彎曲軌跡傳播的自加速光束,這就是基于焦散線方法設計自加速光束的基本思路.從(4)式和(5)式可以看到,給定自加速光束的彎曲軌跡X=f(Z),對應所需的初始角譜的相位函數Φ(kx)即可得到.進而通過對入射光束調制上這一相位分布并由透鏡做傅里葉變換即可產生出設計的自加速光束.

圖1 (a1)—(a3)空間光場在不同階駐相近似下的光線描述;(b1)—(b3)對于點光源、平面波和自加速光束的光線描述和對應相空間的維格納函數Fig.1.(a1)–(a3)Light-ray description of the light field under the stationary phase approximation in di ff erent orders;(b1)–(b3)light-ray description and the corresponding form of the WDF in phase space for a point source,a plane wave,and a self-accelerating beam.

2.2 相空間設計自加速光束

以上基于焦散線方法設計自加速光束是從傅里葉空間的角譜衍射積分出發進行分析的,類似地也可以從實空間的菲涅耳衍射積分出發進行分析[28].在傅里葉空間和實空間構造自加速光束原則上是等價的,但對于實際產生自加速光束則各有優點.基于傅里葉空間的構造方法是在傅里葉平面對光場進行調制,然后再經過一個透鏡做傅里葉變換產生出自加速光束,由于產生自加速光束的平面是光場調制平面的遠場,因而實際中調制平面的離散化以及相位調制的細微偏差對光束質量的影響較小,光束主瓣在傳播過程中的強度變化也相對均勻.而基于實空間的構造方法則是直接在實空間對光場進行調制,由于調制平面即是自加速光束傳播的初始平面,經過調制平面后直接就產生出自加速光束,因而光路相對緊湊,有利于進一步的集成.而最近的研究發現[31],這兩種在實空間和傅里葉空間設計自加速光束的方法可以統一到在相空間構造維格納函數的方法中去.這一方法的設計思路是通過類比點光源和平面波的情況,根據焦散線確定出構造自加速光束所需的光線簇,其中每一根光線具有特定的初始坐標x和方向kx,對應于相空間內的一點(x,kx),如圖1(b)所示,由此可以構造出相應的維格納函數：

其中Zmax是設計的彎曲傳播軌跡的最遠距離, F1(Z)=f(Z)-Z·f′(Z),F2(Z)=k·f′(Z).利用維格納函數的性質即可得到所需的初始場分布E(x)=ρ(x)exp[i·φ(x)]和角譜A(kx)= P(kx)exp[i·Φ(kx)].

3 不同類型的自加速光束設計

3.1 二維情況下沿凸軌跡傳播的自加速光束

利用焦散線方法最先實現的是沿著任意凸軌跡傳播的自加速光束[28],其中典型的代表則是沿著冪律軌跡X=f(Z)=anZn(an＞0,n＞0且 /=1)傳播的情況.根據前面的理論分析可以推導出其在實空間和傅里葉空間對應的初始場分布也為相應的冪函數：

其中An,Bn,Cn,Dn為特定系數.圖2所示為其中n=3,2和3/2的三個例子,虛線對應的是相應冪函數的焦散線.可以看到,光束的主瓣是沿著這一設計的軌跡彎曲傳播的.值得注意的是,在傅里葉空間設計的n=2的情況實際上對應的就是艾里光束.

圖2 沿著冪律軌跡傳播的自加速光束的光強分布圖,其中指數n取3,2和3/2作為示例,這里自加速光束分別通過(a1)—(a3)實空間的初始場分布和(b1)—(b3)傅里葉空間的角譜構造得到,其中設計的傳播軌跡在圖中用虛線表示Fig.2.Intensity distribution of accelerating beams propagating along power-law trajectories with power n chosen to be 3,2,and 3/2 for demonstration.Accelerating beams are constructed in(a1)–(a3)real space and(b1)–(b3)Fourier space based on the initial field distribution and the angular spectrum,respectively.The predesigned trajectories are depicted by dashed curves.

3.2 二維情況下沿非凸軌跡傳播的自加速光束

從(5)式可以看到,只有對于凸軌跡情況,其一階導才是單值函數,與空間頻率kx才能一一對應,從而求解出對應的初始場分布和角譜.因此,先前的研究利用這種基于焦散線方法設計自加速光束僅僅局限于二維凸軌跡的情況,表現為自加速光束只能朝著一個方向彎曲而不能像“S”型曲線那樣多次彎曲,如圖3(a)所示.而我們在最近的研究[30]中提出的疊加焦散線的方法則可以實現這種沿非凸軌跡傳播的自加速光束,其設計的思路是將非凸軌跡在所有拐點處斷開成若干段凸軌跡,每一段凸軌跡可以利用前面的焦散線方法得到對應所需的初始場分布或角譜,然后把這些初始場分布或角譜疊加起來：

從而實現完整的非凸軌跡傳播.值得注意的是,在疊加過程中每段凸軌跡之間的連接處存在π/2的相位差,原因是在一階駐相近似后得到的光線在經過焦散線后會有π/2的相位改變,進一步的分析詳見文獻[27].基于這種疊加焦散線方法設計的一種沿著正弦軌跡傳播的自加速光束的仿真和實驗結果對比如圖3(b)和圖3(c)所示,可以看到二者符合得非常好,光束主瓣沿著預設的正弦軌跡傳播.值得一提的是,圖3中自加速光束的產生是基于集成光子技術通過制備微結構對光場波前調控實現的,其中相位調制是通過刻蝕不同深度的臺階得到不同的相位延遲;而振幅調制則是通過蒸鍍不同占空比的金屬得到不同的透過率,以此獲得設計的初始光場分布.相比于傳統的基于空間光調制器產生自加速光束的方法,近年來通過光子微納結構實現精確的光場波前調控進而產生出各類新型光束已成為這一領域的重要發展趨勢[34-38],有望實現新型光束產生器件的小型化.

圖3 (a)從凸軌跡傳播的自加速光束拓展到非凸軌跡的示意圖;(b)構造的二維情況下的正弦型光束傳播過程中的光強分布的仿真和實驗結果對比;(c)光束主瓣傳播軌跡的定量分析,其中紅色圓點標記的是各個截面光強最大值所在的位置,而藍色曲線則是擬合出來的軌跡.具體實驗及擬合信息詳見文獻[30]Fig.3.(a)Schematic of the extension of accelerating beams from convex trajectories to nonconvex trajectories;(b)simulated and experimental intensity distribution for the sinusoidal beam propagating in 2D space;(c)quantitative analysis of the main lobe trajectory,here red dots mark the positions of the intensity maxima at the cross sections and the blue curves are the fi tted trajectories.Detailed information can be referred to Ref.[30].

圖4 三維空間中的自加速光束設計[30,31]基于二維情況下的Sine型光束合成三維空間中的(a1)Sine型光束和(a2)螺旋型光束;直接通過三維焦散線方法設計螺旋型光束,其中(b1)是光線表示,(b2)和(b3)則是螺旋型光束在傳播過程中的三維光場重構圖和切片的光強分布圖Fig.4.Design of accelerating beams in three-dimensional(3D)space[30,31]：Construction of the Sine beam(a1)and helical beam in 3D space based on the 2D Sine beam(a2);design of helical beams with 3D caustic methods,where(b1)is the light ray representation,while(b2)and(b3)are the 3D tomography and slices of the helical beams during propagation,respectively.

3.3 三維情況下的自加速光束

以上討論的是二維情況下的自加速光束,即光場分布在Y方向上保持不變,實際上,自加速光束的設計可以從二維情況推廣到三維情況.其中一種方法是利用在傍軸近似下的波動方程關于X和Y可分離變量這一性質,將三維情況下的自加速光束設計分解為X和Y兩個方向上獨立的二維自加速光束設計[30].以圖3設計的二維情況下的正弦型自加速光束為例,如果將三維情況下的X和Y方向都設計成正弦型傳播軌跡,最終在三維空間中則表現為沿著X軸和Y軸的對角線方向的正弦型軌跡傳播,如圖4(a1)所示;如果將X方向設計為正弦型軌跡,Y方向設計為余弦型軌跡,最終在三維空間中則是沿著螺旋型軌跡傳播,如圖4(a2)所示.因而X和Y兩個方向通過組合不同的二維自加速光束就可以構造出沿著三維不同軌跡傳播的自加速光束.

另一種方法是直接設計三維的焦散線[31,32],考慮一般三維曲線的參數方程：

其中t為參數,t0和a為待定參數,通過分析構造該焦散線所需的光線簇,可以構造出相應的維格納函數：

然后利用維格納函數的性質就能得到對應所需的初始場分布和角譜.基于這種方法設計的螺旋型光束如圖4(b)所示.值得一提的是,對于三維自加速光束的設計,除了基于焦散線的設計方法,還有一種基于類貝塞爾光束的設計思路,即將初始場平面分割成足夠細的圓周,不同圓周上發出的錐形光線會聚到空間中的不同點[3,39,40].對于貝塞爾光束這些會聚點連成一條直線,因而表現為光束主瓣沿直線傳播;而對于類貝塞爾光束則是通過將不同圓周錯開,從而得到一條彎曲的聚焦線,表現出光束主瓣沿著彎曲軌跡傳播.基于這一方案最早得到的是零階類貝塞爾螺旋光束[39],在局部保持貝塞爾光束的無衍射性和自修復性下實現了主瓣沿著螺旋軌跡傳播.值得注意的是,這一方案還可以進一步將光束的軌道角動量加載上去,實現貝塞爾光束、自加速光束和渦旋光束的結合[3].

3.4 多個主瓣的自加速光束

上述所討論的自加速光束設計思路中,都是只有一個能量最為集中的主瓣,而實際上主瓣的數目也是一個可供設計的自由度,可以從常見的一個拓展至其他所需的個數,這在一些特定的應用場景比如在光學微粒操控中同時操控不同大小或數量的微粒將非常有用.多主瓣自加速光束的設計可以在單主瓣自加速光束的基礎上通過空間上的平移旋轉等變換形成若干相互錯開的焦散線來實現,圖5所示的則是在前面單主瓣螺旋光束的基礎上通過這一方法設計出不同主瓣個數的情況[32].由于圖5展示的是在彎曲傳播的2個周期中沿著傳播方向等間距地截取9個截面來反映螺旋光束的傳播情況,因而可以看到相鄰截面之間螺旋光束主瓣逆時針旋轉90°,體現出多主瓣螺旋光束依然保持著很好的螺旋結構,不僅如此,從圖5(d)還可以更直觀地看到,不同截面的光束主瓣在彎曲傳播的同時還保持著高度的相似性,反映出光場主瓣附近具有局部的無衍射特性.

4 結 論

本文介紹了基于焦散線方法設計自加速光束的基本原理,包括從傅里葉空間和實空間的衍射積分出發進行分析以及統一到相空間構造維格納函數的方法.在此基礎上,二維情況下沿任意凸軌跡傳播的自加速光束首先得以實現,隨后通過不斷發展這一焦散線方法,設計得到的自加速光束類型得以不斷拓展,包括從凸軌跡拓展到非凸軌跡,從二維軌跡拓展到三維軌跡,從單一主瓣拓展到多個主瓣,為基于自加速光束的各種新應用提供了更多的可能.展望未來,最初基于艾里光束的各種研究和應用必將推廣到各類新型自加速光束中,借助自加速光束設計的靈活性,在這個過程中極有可能激發出更多新的應用場景,因而具有極大的發展潛力.

圖5 具有不同主瓣個數的螺旋型光束的傳播動力學特征[32]圖中所示的螺旋型光束包括：(a)1個主瓣,(b)2個主瓣, (c)3個主瓣,(d)4個主瓣;螺旋型傳播的周期分別為2018,1970,1917,2087μmFig.5.Propagation dynamics of helical beams with di ff erent numbers of main lobes[32].The helical beams presented include(a)one-lobe,(b)two-lobe,(c)three-lobe,and(d)four-lobe with slightly di ff erent periods of 2018,1970, 1917,and 2087μm,respectively.

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PACS:42.15.Dp,42.68.Ay,42.30.Lr,42.30.Kq DOI:10.7498/aps.66.144210

Design of accelerating beams based on caustic method?

Wen Yuan-Hui1)Chen Yu-Jie1)?Yu Si-Yuan1)2)
1)(State Key Laboratory of Optoelectronic Materials and Technologies,School of Electronics and Information Technology,Sun Yat-sen University,Guangzhou 510275,China)
2)(Photonics Group,Merchant Venturers School of Engineering,University of Bristol,Bristol BS8 1UB,United Kingdom)

16 June 2017;revised manuscript

17 July 2017)

Self-accelerating beam is a kind of light beam capable of self-bending in free space without any external potential,of which a typical one is the well-known Airy beam.Such a beam has gained great attention for its extraordinary properties, including nondi ff racting,self-accelerating and self-healing,which may have versatile applications in the delivery and guiding of energy,information and objects using light,such as particle manipulation,micro-machining,optical routing, super-resolution imaging,etc.However,since Airy beam can only propagate along parabolic trajectory,which reduces the fl exibility in practical applications,thus how to design accelerating beam’s propagating along arbitrary trajectory is still a crucial problem in this area.One scheme is to keep on fi nding other analytical solutions of the wave equation besides Airy beam,such as semi-Bessel accelerating beams,Mathius beams,and Weber beams,moving along circular, elliptical,or parabolic trajectories,but it becomes increasingly difficult to fi nd out any more solutions.A more e ff ective solution to this problem is based on the caustic method,which associates the predesigned trajectory with an optical caustics and then obtains the necessary initial field distribution by performing a light-ray analysis of the caustics.This method has been implemented in real space and Fourier space based on Fresnel di ff raction integral and angular-spectrum integral,respectively.It has been found recently that they can be uni fi ed by constructing Wigner distribution function in phase space.Based on the caustic method,accelerating beams were constructed to propagate along arbitrary convex trajectories in two-dimensional space at fi rst.With continuous development of this method,the types of accelerating beams available have been extending from convex trajectories to nonconvex trajectories,from two-dimensional trajectories to three-dimensional trajectories,and from one main lobe to multiple main lobes,which opens up more possibilities for emerging applications based on accelerating beams.In future,previous researches and applications based on Airy beams will certainly be generalized to all these new types of accelerating beams,and owing to the great fl exibility in designing accelerating beams,more application scenarios may emerge in this process with huge development potential.Thus in this paper,we review the principle and progress of the caustic method in designing accelerating beams.

physical optics,self-accelerating beams,caustic,Wigner distribution function

:42.15.Dp,42.68.Ay,42.30.Lr,42.30.Kq

10.7498/aps.66.144210

?國家重點基礎研究發展計劃(批準號：2014CB340000)、國家自然科學基金(批準號：11690031,61323001,61490715,51403244)、廣州市科技計劃科學研究一般項目(批準號：2018)和中山大學高?；究蒲袠I務費青年教師重點培育項目(批準號：17lgzd06, 16lgjc16,15lgpy04,15lgzs095,15lgjc25)資助的課題.

?通信作者.E-mail：chenyj69@mail.sysu.edu.cn

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Basic Research Program of China(Grant No.2014CB340000),the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11690031,61323001,61490715,51403244),the Science and Technology Program of Guangzhou,China(Grant No.2018),and Sun Yat-sen University Fundamental Research Funds for the Central Universities of China(Grant Nos.17lgzd06,16lgjc16,15lgpy04,15lgzs095,15lgjc25).

?Corresponding author.E-mail：chenyj69@mail.sysu.edu.cn