“趙爽弦圖”的數學文化背景考題賞析

山東 鄒 龍

“趙爽弦圖”的數學文化背景考題賞析

山東 鄒 龍

1700多年前，趙爽繪制了極富創意的弦圖（后人稱之為“趙爽弦圖”，如圖1），采用“出入相補”原理使得勾股定理的成立不證自明．定理的證明體現出來的“形數統一”的思想方法，具有科學創新的重大意義．

重視挖掘“趙爽弦圖”所潛在的數學文化價值和應用功能，感受數學家的崇高品質及探究、解決數學問題的過程，進而體會中國古代數學的偉大貢獻，增強愛國主義情懷，顯得尤為必要．下面擷取幾道以“趙爽弦圖”為背景的高考題或模擬題，旨在拋磚引玉．

一、三角函數問題

【例1】2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖1）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值于________．

【分析】根據兩正方形的面積分別求出兩正方形的邊長，根據小正方形的邊長等于直角三角形的長直角邊減去短直角邊，利用三角函數的定義表示出5cosθ－5sinθ＝1，兩邊平方并利用同角三角函數間的基本關系及二倍角的正弦函數公式化簡可得sin2θ的值，然后根據θ的范圍求出2θ的范圍即可判斷出cos2θ的正負，利用同角三角函數間的基本關系由sin2θ即可求出cos2θ的值．

【點評】該考題取材2002年北京國際數學家大會（ICM2002）會標，題干大氣，設問自然，流露出深刻的文化內涵．既巧妙地考查了三角的相關知識，又豐富了弦圖的內涵．

【變式1】2002年8月在北京召開的國際數學家大會，會標是我國以古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖1）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，則sin2θ－cos2θ的值等于 （ ）

【解】由題意知，小正方形的邊長為2，大正方形的邊長為10．設直角三角形中較小邊長為x，

二、向量問題

【分析】首先求出cosθ，然后利用向量投影的定義求解．

【解】由題意知大正方形的邊長為1，小正方形的邊長為

【點評】本題以“趙爽弦圖”為背景考查了三角恒等變換和平面向量的投影的概念和求法．

三、數列問題

【分析】利用直角三角形兩條直角邊的差求出第一個正方形的邊長，依次求出第二個、第三個小正方形的邊長，歸納總結得到第n個小正方形的邊長，則第n個陰影正方形的面積可求．

【解】因為每四個全等直角三角形都組成1個大正方形和1個小正方形，把這樣的一個組合稱為一組．

接下來的每一組大正方形的邊長都會逐漸變小，但是成一定規律的．

【點評】本題將“趙爽弦圖”置入平面直角坐標系中，使“趙爽弦圖”與一次函數、數列的函數特性、數列和的求法相結合，構思新穎，設計巧妙，給人以美的享受．解答的關鍵在于通過求解前幾個小正方形的邊長，總結出小正方形邊長的關于n的函數表達式．本題對考生的要求較高，要正確解決本題，考生要有扎實的基礎知識，較強的分析問題、解決問題的能力和歸納推理能力，充分考查了考生的數學素養．

（作者單位：山東省泰安英雄山中學）