數(shù)學(xué)文化題組訓(xùn)練

陜西 韓紅軍

數(shù)學(xué)文化題組訓(xùn)練

陜西 韓紅軍

2017年高考大綱明確規(guī)定要考查數(shù)學(xué)文化，即將開始的新一輪課程改革也將數(shù)學(xué)文化作為課程中的一部分內(nèi)容，而數(shù)學(xué)文化可以與高中數(shù)學(xué)中的多個(gè)知識點(diǎn)交匯融合，形成背景新穎、構(gòu)思巧妙、考查面廣、綜合性強(qiáng)的試題．

一、與算法交匯的數(shù)學(xué)文化題

1．（2017·四川模擬）公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓的面積，由此創(chuàng)立了割圓術(shù)，利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面兩位的近似值3．14，這就是著名的徽率．如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出的n值為 （ ）

A．12 B．24 C．48 D．96

2．將“楊輝三角”中的數(shù)從左到右、從上到下排 成一數(shù)列，如左圖．如右圖所示程序框圖用來輸出此數(shù)列的前若干項(xiàng)并求其和，若輸入m＝4則相應(yīng)最后的輸出S的值是．

二、與概率交匯的數(shù)學(xué)文化題

3．（2017·吉林模擬）我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著《數(shù)學(xué)九章》中有“米谷粒分”問題：糧倉開倉收糧，糧農(nóng)送來米1512石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得216粒內(nèi)夾谷27粒，則這批米內(nèi)夾谷約 （ ）

A．164石 B．178石 C．189石 D．196石

三、與函數(shù)交匯的數(shù)學(xué)文化題

四、與三角函數(shù)交匯的數(shù)學(xué)文化題

5．（2016·肇慶模擬）《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)名著，其對扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的算法一致．如某一問題：現(xiàn)有扇形田，下周長（弧長）20步，徑長（兩段半徑的和）24步，則該扇形田的面積為________平方步．

五、與立體幾何交匯的數(shù)學(xué)文化題

7．（2017·黃石模擬）“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．其直觀圖如下左圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．其實(shí)際直觀圖中四邊形不存在，當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別可能是 （ ）

A．a(chǎn)，bB．a(chǎn)，cC．c，bD．b，d

8．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”，即V＝kD3，歐幾里得未給出k的值．17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式V＝kD3中的常數(shù)k稱為“立圓率”或“玉積率”．類似地，對于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）、正方體也可利用公式V＝kD3求體積（在等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，D表示棱長）．假設(shè)運(yùn)用此體積公式求得球（直徑為a）、等邊圓柱（底面圓的直徑為a）、正方體（棱長為a）的“玉積率”分別為k1、k2、k3，那么k1∶k2∶k3＝ （ ）

A．3 B．3．14 C．3．2 D．3．3

六、與數(shù)列交匯的數(shù)學(xué)文化題

11．《張丘建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有懶女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄，問織幾何．”其意思為：有個(gè)懶惰的女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織五尺，最后一天織一尺，三十天織完，問三十天共織布 （ ）

A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺

12．《九章算術(shù)》之后，人們學(xué)會了用等差數(shù)列的知識來解決問題，《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾（注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織5尺布，現(xiàn)一月（按30天計(jì)）共織390尺布”，則從第2天起每天比前一天多織（ ）尺布

13．如圖，在楊輝三角中，斜線l的上方從1按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個(gè)“鋸齒形”的數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，則這個(gè)數(shù)列的第21項(xiàng)的值為 （ ）

A．66 B．220 C．78 D．286

【參考答案與提示】

1．B 【解析】由程序框圖，n，S的值依次為：n＝6，S＝2．59808；n＝12，S＝3；n＝24，S＝3．10583，此時(shí)滿足S≥3．10，輸出n＝24，故選B．

(1)以中青年教師為主。獨(dú)立學(xué)院由于建校時(shí)間不長，自有引進(jìn)教師主要為應(yīng)屆畢業(yè)生，進(jìn)校時(shí)年齡普遍集中在 30 歲以下，而且所占比例一般都超過了50%以上。

j＝4，不滿足條件j≤i，則i＝4，不滿足條件i＜m，輸出S＝15；故填15．

【評注】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，這是一個(gè)嵌套式循環(huán)，解題的關(guān)鍵是逐一分析判斷框的條件，同時(shí)考查了組合數(shù)公式．

【評注】本題是秦九韶所著《數(shù)學(xué)九章》中有“米谷粒分”問題，實(shí)際考查抽樣方法中的簡單隨機(jī)抽樣．

【評注】此題考查的是函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的求法等知識．

【評注】本題以《九章算術(shù)》中“以徑乘周四而一”的算法為背景，考查了扇形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力．

【評注】本題以《九章算術(shù)》中《方田》章給出計(jì)算弧田面積為背景，考查扇形的面積公式，考查學(xué)生對題意的理解和計(jì)算能力．

7．A 【解析】正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，牟合方蓋相對的兩個(gè)曲面正對前方，正視圖為一個(gè)圓，而俯視圖為一個(gè)正方形，且有兩條實(shí)線的對角線，故選A．

【評注】本題是以劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體——牟合方蓋為背景，考查牟合方蓋的三視圖．

【評注】本題是以古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出的V＝kD3為背景，考查球、等邊圓柱、正方體的體積中常數(shù)k的比值．

【評注】本題是以《九章算術(shù)》卷五《商功》記載的圓堡瑽為背景，考查利用圓堡瑽的體積推圓周率π的值．

【評注】本題是以《九章算術(shù)》卷五《商功》記載的圓柱形谷倉為背景，考查利用圓柱形谷倉的體積計(jì)算圓柱底圓周長的值．

【評注】本題是以《張丘建算經(jīng)》中的一個(gè)問題為背景，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式．

【評注】本題是以《張丘建算經(jīng)》中的一個(gè)問題為背景，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用．

【評注】本題借助于楊輝三角對數(shù)列的綜合應(yīng)用進(jìn)行考查，關(guān)鍵是要找到規(guī)律．

（作者單位：陜西省麟游縣中學(xué)）