三道解析幾何模擬試題的源與流

安 徽 阮 飛黑龍江 盧 軍

三道解析幾何模擬試題的源與流

安 徽 阮 飛黑龍江 盧 軍

高三一學年同學們做了大量的試卷，可是常常感覺雖然做了很多試題，只要題目一變卻又不會做了，所以經常出現“解幾導數兩茫茫，看分數，淚千行”的結果．如何做到觸類旁通呢？筆者結合近期模擬試卷中的三道解析幾何試題談談自己的看法，供大家參考．

一、問題的提出

解答一道題，首先要站在考生的角度，思考每一步是如何想到的；還要站在閱卷人考慮如何給分的角度，做到解答規范、書寫美觀．

（1）求橢圓C的方程；

【解析】（1）依題意可知

所以kOP、kOQ是方程的兩個不相等實根，

【評注】用直線OP與直線OQ位置的對等性得出兩形式完全相同的兩個方程是本題解答的關鍵．

比較圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系來判斷直線與圓的位置關系：d＜r相交；d＝r相切；d＞r相離．

請讀者思考第（2）問能否根據直線和圓的方程組的解判斷直線和圓相切呢？

（1）若圓M與x軸相切于橢圓C的左焦點，求圓M的方程；

①求證：k1·k2為定值；

②求｜OP｜·｜OQ｜的最大值．

【解析】（1）橢圓C的左焦點是，

【評注】聯立直線方程和圓方程，消去y（或x）所得方程的判別式等于零時，方程組有一組解，圓和直線相切．此問能使用題目1第（2）問的解法嗎？請讀者思考．

②由直線OP、OQ的斜率都存在知它們不落在坐標軸上，設P（x1，y1），Q（x2，y2），

思路1：先證｜OP｜2＋｜OQ｜2＝20．

方法1：（此法使用了整體代換）

思路2：若未發現｜OP｜2＋｜OQ｜2＝20，由證明該結論的方法2可得：

（1）若M點在第一象限，且直線OP，OQ互相垂直，求圓M的方程；

（2）若直線OP，OQ的斜率存在，分別記為k1，k2，求k1·k2的值；

（3）試問｜OP｜2＋｜OQ｜2是否為定值？若是求出該定值；若不是，說明理由．

②當直線OP，OQ落在坐標軸上時，顯然有OP2＋OQ2＝36．綜上，OP2＋OQ2＝36．

二、問題的源與流

解題后，首先要站在命題人的角度思考本題要考什么？背景是什么？還要站在教師的角度考慮這類題的一般解法有哪些？每種方法的適用條件是什么？解題由第一階段的一題多解升華到多題一解，找到通性通法．

當且僅當時取等號，即M點在y軸上時取等號，

著名天文學家、數學家開普勒說過：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中，它應該是最不容易忽視的．”將一個問題類比到與它相似的另一個問題中，進行兩者有意識的結合，進而能揭示出某類數學問題更一般的規律．

（作者單位：安徽省太和縣太和中學，黑龍江省綏化市第九中學）