探究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的策略

廣西 包日勇

探究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的策略

廣西 包日勇

圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，一直以來都是高考命題的熱點(diǎn)．在近年的高考試題中，圓錐曲線解答題側(cè)重考查利用方程和方程組理論來研究相關(guān)幾何問題的思想和方法，即用代數(shù)方法來研究幾何問題．這一內(nèi)容要求靈活掌握直線與圓錐曲線的關(guān)系的分析方法，但也不是毫無規(guī)律可言，只要我們深入分析，把握這類題目解題的精髓，就能立于不敗之地．

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目，基本的解決方法是：設(shè)出直線方程，把直線方程和圓錐曲線方程組成方程組．聯(lián)立方程組之后，先轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，將與根有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為兩根和、兩根積的形式，從而解決問題．

但問題的關(guān)鍵在于兩個方面：直線應(yīng)當(dāng)如何選取？又如何將已知條件和要分析的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化并和韋達(dá)定理建立聯(lián)系？這兩個問題解決好了，直線與圓錐曲線的關(guān)系的研究也就迎刃而解了．

一、直線的選取探究

【例1】在拋物線y2＝4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍．

【分析】分析兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題，通常利用：中點(diǎn)在直線上，斜率相乘為－1．既然“中點(diǎn)在直線上”，那求中點(diǎn)就需要B、C的坐標(biāo)，并不需要A、D的坐標(biāo)，那韋達(dá)定理中要體現(xiàn)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)的話，勢必以直線BC與橢圓組成方程組．再者“斜率相乘為－1”，也涉及直線BC的斜率．由此可見直線BC才是解題的關(guān)鍵所在．因為直線BC的斜率可能不存在，但絕不會為0，利用與已知直線y＝kx＋3垂直，則可設(shè)直線BC：x＝－ky＋m，由B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋3對稱可得m與k的關(guān)系式，而直線BC與拋物線有兩交點(diǎn)，∴Δ＞0，即可求得k的范圍．

【解】設(shè)B、C關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，直線BC的方程為x＝－ky＋m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m＝0，設(shè)B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中點(diǎn)M（x0，y0），

【點(diǎn)評】對稱問題是高考的熱點(diǎn)之一，在通法求解時，直線BC的選取成為解題的關(guān)鍵，若錯選直線y＝kx＋3組成方程組，則將無法用上對稱這個條件，題目自然無法求解．另外，因為本題為中點(diǎn)弦問題，當(dāng)然也可采用點(diǎn)差法求解．

（1）求橢圓的方程；

【解】（1）因為b＝2，△F1MF2是等腰直角三角形，所以c＝2，所以，故橢圓的方程為．

（2）證明：①若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，A點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，y1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，y2），

消去y，得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

②若直線AB的斜率不存在，設(shè)直線AB的方程為x＝x0，A（x0，y0），B（x0，－y0），

【點(diǎn)評】直線的合理選取是本題的關(guān)鍵，這個題目中，研究的是直線AB是否過定點(diǎn)，那關(guān)心的就是直線AB，盡可能多地圍繞直線AB進(jìn)行求解，這樣AB的選取也就很自然了．

直線的選取策略：

在解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，要選取哪條直線與曲線組成方程組，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）題目中涉及弦長｜AB｜或與直線與曲線交點(diǎn)A、B有關(guān)的線段或向量的計算時，當(dāng)然選取直線AB與曲線組成方程組．

（2）對曲線上存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)這類問題，應(yīng)選取過對稱點(diǎn)的直線與曲線組成方程組．

（3）在某些條件下，研究運(yùn)動直線過定點(diǎn)或具有某些性質(zhì)（如斜率或某截距為定值）時，可以選取運(yùn)動直線與曲線組成方程組，最終通過直線系解決．

（4）當(dāng)前題目中要研究的問題主要通過哪條直線體現(xiàn)或與哪兩點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，就應(yīng)選取這條直線或過這兩點(diǎn)的直線與曲線組成方程組．

題目中出現(xiàn)的已知條件“過圓上點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PM和PN與圓交于點(diǎn)M，N”，相切這個條件當(dāng)然是通過切線體現(xiàn)，因此可先設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)（x0，y0），此時由點(diǎn)斜式寫出切線方程，和橢圓方程組成方程組，由Δ＝0結(jié)合韋達(dá)定理，就得出兩條切線PM和PN 的斜率的關(guān)系（kPM·kPN＝－1），從而得出MN為圓的直徑．后續(xù)的問題也就容易得出了．若一開始就設(shè)直線MN與橢圓組成方程組來研究，則PM、PN與橢圓相切這個條件就難以轉(zhuǎn)化，題目也就半途而廢了．

二、如何將已知條件和要分析的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，建立起與韋達(dá)定理的聯(lián)系

因此，在大部分的解析幾何大題中，把已知條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，化簡直到能用上韋達(dá)定理，也是致勝的策略．

（1）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（2）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)λ，使得｜PT｜2＝λ｜PA｜·｜PB｜，并求λ的值．

【解】（1）由已知，a2＋a2＝（2c）2，即，所以b，則橢圓E的方程為．

得3x2－12x＋（18－2b2）＝0．①

方程①的判別式為Δ＝24（b2－3），由Δ＝0，得b2＝3，

此時方程①的解為x＝2，

【評析】本題中涉及直線上的線段長度問題，必須將｜PT｜2＝λ｜PA｜·｜PB｜這個條件中的線段長轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，跟韋達(dá)定理建立聯(lián)系，才能快速求解．

轉(zhuǎn)化的策略：

在對已知條件和要分析的問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，從而建立起和韋達(dá)定理的聯(lián)系時，要注意以下幾點(diǎn)：

（1）熟練掌握幾個轉(zhuǎn)化的公式，這些公式直接提供線段長向坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化．

焦半徑公式r＝a±ex，焦點(diǎn)弦公式l＝2a±e（x1＋x2）（焦點(diǎn)在x軸上的橢圓）；

焦半徑公式r＝｜a±ex｜，焦點(diǎn)弦公式l＝｜2a±e（x1＋x2）｜（焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線）；

（2）涉及線段的長度比問題，可將線段投影到x軸或y軸上，完成向坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，同時還要多注意三角形相似的應(yīng)用．

（3）涉及向量的關(guān)系問題，可將向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，通過向量相等得出橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)關(guān)系（通常選取形式較為簡單的一個）．

（4）在對已知條件和要分析的問題化為坐標(biāo)表示時，要徹底化簡后再尋找與韋達(dá)定理的聯(lián)系．

（5）在應(yīng)用韋達(dá)定理時，注意一些常見形式的變形方法．

因此，要解決解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的這類題目，關(guān)鍵在于正確地選取直線，與曲線方程組成方程組；再學(xué)會把已知條件轉(zhuǎn)化為用坐標(biāo)表示，與韋達(dá)定理建立聯(lián)系．由此看來，解析幾何解答題萬變不離其宗，只要認(rèn)真學(xué)會分析，定能輕松駕馭．

（作者單位：廣西省合浦廉州中學(xué)）