由一道“走街”題 說一類組合問題

湖北 高豐平

由一道“走街”題 說一類組合問題

湖北 高豐平

解答排列組合問題的方法和技巧很多，但最主要的還是要掌握好基本概念，處理問題要有一些基本的程序（如先取后排等），對一些常見的問題，要注意總結解法，并能夠掌握一些常見的模型．下面由一道“走街”題及其引申，談談這方面的問題．

【引例】（2016·新課標Ⅱ理·5）如圖1，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為 （ ）

A．24 B．18

C．12 D．9

“走街”模型：某市街道呈棋盤形，南北向大街m（m≥2，m∈N）條，東西向大街n（n≥2，n∈N）條，一人想從西南角走到東北角，路程最短的走法有幾種？

【評注】本例的解決有的同學不明就里，或利用列舉法來處理，結果不勝其煩，錯誤百出．從解答的過程來看，走的方向只能是兩個方向，即不能往回走，與組合的定義相符．從中可以看出基本定義與概念在解題中的作用．

【例1】在圖1中，從上往下連接“構建和諧社會，創美好未來”（不能跳躍），共有多少種不同的連法．

【解】如圖2，連接的方式只能是沿圖中的直線的方向，按照“左下”或“右下”的這個方向，由組合的定義，結合“走街”模型中的討論，其方法數為種．

【評注】這樣的問題是用組合的定義來解決的，所謂“難者不會，會者不難”，答案的提供往往很簡單，多數是一個數字，而不少的同學通過列舉卻是百思不得其解，其實本題就是一個“走街”模型的簡單應用．

【例2】將“你能HOLD住嗎”8個漢字及英文字母填入5×4的方格內，其中“你”字填入左上角，“嗎”字填入右下角，將其余6個漢字及英文字母依次填入方格，要求只能橫讀或豎讀成一句原話，如圖所示為一種填法，則共有多少種不同的填法．（用數字作答）．

【評注】這也是“走街”模型的一個變式，雖然呈現的方式不同，但實質卻是一樣的．

【例3】數列｛an｝共有12項，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且｜ak＋1－ak｜＝1，k＝1，2，3，…，11，求滿足這種條件的不同數列的個數．

【解】由題意，各可能值如下：a1＝0；a2＝±1；a3＝2，0；a4＝3，1；a5＝2；a6＝3，1；a7＝4，2，0；a8＝5，3，1；a9＝6，4，2；a10＝7，5，3；a11＝6，4；a12＝5．如圖3所示：

【評注】本題看似是一個數列問題，其實質是一個有關組合的問題，設問比較巧妙，相對來說也比較抽象，但只要掌握了組合的定義，對“走街”模型比較熟悉的話，稍加觀察，即可得到正確結果．

在數學的學習中，要注意回歸教材、回歸定義，解題時要有模型的觀念，注意解剖麻雀，提倡利用通性通法解題，對于一些分類整合的問題，也要盡量避免分類或是延遲分類，以減少思維量和計算量．

（作者單位：湖北省孝昌縣第二高級中學）