坐標(biāo)系與參數(shù)方程的命題特點(diǎn)及解法

寧夏 張 興 李雪琴

坐標(biāo)系與參數(shù)方程的命題特點(diǎn)及解法

寧夏 張 興 李雪琴

坐標(biāo)法思想是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的開(kāi)端，坐標(biāo)系是用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的基本工具．參數(shù)方程是以參變量為中介表示曲線(xiàn)方程的又一種形式，是解決曲線(xiàn)方程的一種思路和方式，所以坐標(biāo)系與參數(shù)方程的學(xué)習(xí)，是提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力，提升學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑，因此成為高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，下面就該部分高考試題的命題特點(diǎn)及其解答方法進(jìn)行探究．

一、高考試題的命題特點(diǎn)

從2007年到2016年新課標(biāo)高考共15套數(shù)學(xué)試題，其中關(guān)于極坐標(biāo)與參數(shù)方程的有15道考題．它們的相同之處都涉及坐標(biāo)變換，即直角坐標(biāo)系方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程之間的互相轉(zhuǎn)化．它們的不同之處，按已知曲線(xiàn)化分：第一類(lèi)，直線(xiàn)和圓位置關(guān)系的有10道．其中包括直線(xiàn)和圓相離時(shí)的點(diǎn)線(xiàn)距離問(wèn)題，直線(xiàn)和圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，直線(xiàn)和圓相切時(shí)的切點(diǎn)問(wèn)題．第二類(lèi)，直線(xiàn)與橢圓共2道．第三類(lèi)，圓及橢圓位置關(guān)系共3道．從統(tǒng)計(jì)數(shù)字上看以直線(xiàn)和圓位置關(guān)系為主．按所求問(wèn)題劃分：第一類(lèi)，有關(guān)交點(diǎn)坐標(biāo)、線(xiàn)段長(zhǎng)度和圖形面積，共5道．第二類(lèi)，有關(guān)距離、范圍或最值問(wèn)題，共8道．第三類(lèi)，有關(guān)點(diǎn)的軌跡、曲線(xiàn)方程，共2道．從統(tǒng)計(jì)數(shù)字上看以有關(guān)距離、范圍或最值計(jì)算問(wèn)題為主．

二、高考試題的題型解析

高考試題按解答方法劃分：第一類(lèi)，極坐標(biāo)中的運(yùn)算．第二類(lèi)，參數(shù)方程中任意點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題．第三類(lèi)，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題．第四類(lèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)、線(xiàn)段長(zhǎng)度、圖形面積、軌跡方程等的計(jì)算．

1．極坐標(biāo)中的運(yùn)算

【例1】（2015·新課標(biāo)Ⅰ理·23）直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)C1：x＝－2，圓C2：（x－1）2＋（y－2）2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求C1、C2的極坐標(biāo)方程．

（1）說(shuō)明C1是何種曲線(xiàn)，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）直線(xiàn)C3的極坐標(biāo)方程為θ＝θ0，其中θ0滿(mǎn)足tanθ0＝2，若曲線(xiàn)C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a．

【評(píng)析】上面例1、例2的第一問(wèn)均為極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化．解答這個(gè)問(wèn)題時(shí)需要注意：（1）將點(diǎn)的直角坐標(biāo)（x，y）化為極坐標(biāo)（ρ，θ）時(shí)，運(yùn)用公式，tanθ＝．在［0，2π）范圍內(nèi)，由）求θ時(shí)，要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號(hào)特征判斷出點(diǎn)所在的象限．如果允許θ∈R，再根據(jù)終邊相同的角的意義，表示為θ＋2kπ（k∈Z）即可．（2）將極坐標(biāo)點(diǎn)（ρ，θ）化為直角坐標(biāo)點(diǎn)（x，y），直接運(yùn)用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ計(jì)算．（3）直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程時(shí)，直接運(yùn)用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代換并化簡(jiǎn)．（4）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，常用方法有代入法、平方法等，還經(jīng)常會(huì)用到同乘（或除以）ρ等技巧．第二問(wèn)為極坐標(biāo)系中的有關(guān)運(yùn)算．解答方法一結(jié)合圖像進(jìn)行計(jì)算，如例1．解答方法二化為直角坐標(biāo)再運(yùn)算，如例2．

2．任意點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)用參數(shù)方程

（1）化C1，C2為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線(xiàn)；

【解析】（1）消去參數(shù)，已知方程可化為：

其中C1為圓心是（－4，3），半徑是1的圓．

C2為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓．

【評(píng)析】上面例3的第一問(wèn)為參數(shù)方程化為普通方程．解答這類(lèi)題需注意：（1）要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定x和y的取值范圍．（2）消去參數(shù)通常有代入消元法、加減消元法、平方消元法、乘除消元法和三角消元法等．第二問(wèn)為求最值或取值范圍．解答這類(lèi)題需要把曲線(xiàn)方程化為參數(shù)形式，以參數(shù)方程形式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，既可以減少約束條件而簡(jiǎn)化運(yùn)算，又能利用特殊的三角變換進(jìn)行計(jì)算．

3．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題

【例4】（2016·新課標(biāo)Ⅱ理·23）在直線(xiàn)坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x＋6）2＋y2＝25．

（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；

【解析】（1）化簡(jiǎn)、整理圓的方程得x2＋y2＋12＋11＝0，

【解析】（1）ρ＝2cosθ等價(jià)于ρ2＝2ρcosθ．①

將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①，

即得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0．②

則由參數(shù)t的幾何意義即知，｜MA｜·｜MB｜＝｜t1t2｜＝18．

4．求點(diǎn)坐標(biāo)、線(xiàn)段長(zhǎng)度、圖形面積、軌跡方程等的計(jì)算．

（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O做C1的垂線(xiàn)，垂足為A，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線(xiàn)．

（2）C1的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0．A點(diǎn)坐標(biāo)為（sin2α－cosαsinα），

（α為參數(shù)）M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿(mǎn)足，P點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)C2．

（1）求C2的方程；

（2）曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sinθ．

【評(píng)析】上面例6為求點(diǎn)的坐標(biāo)和軌跡方程，例7為求線(xiàn)段長(zhǎng)度和軌跡方程．2015年新課標(biāo)Ⅰ卷23題為求面積．這類(lèi)問(wèn)題雖然差別很大，但其解答的基本方法依然是幾種坐標(biāo)的互化，再結(jié)合圖象進(jìn)行計(jì)算．

綜上所述，坐標(biāo)系與參數(shù)方程的命題，以直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為主，突出極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)非常和參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)為四大趨勢(shì)，即極坐標(biāo)中的運(yùn)算，參數(shù)方程中任意點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題，交點(diǎn)坐標(biāo)、線(xiàn)段長(zhǎng)度、圖形面積、軌跡方程等基本數(shù)學(xué)問(wèn)題．通過(guò)解題理解坐標(biāo)系的作用，掌握幾種坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的能力．體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，更重要的是提升學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

（作者單位：寧夏回族自治區(qū)固原市第二中學(xué)，寧夏回族自治區(qū)固原市回民中學(xué)）