立體幾何中的球類模型問題

長春 林逸凡

立體幾何中的球類模型問題

長春 林逸凡

球與多面體的內接外切問題是立體幾何中一類常見的特殊題型，球類問題有著自身獨特的解題方法和數學思想．近年來，在各地的高考題與模擬題中，球類模型問題頻頻出現，越來越受到命題者的青睞．本文展示了球類模型問題的幾種常見題型，并歸納解決相應問題的常見解題思路與技巧．

一、截面法

【例1】半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于，M、N分別為AB、CD的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題：①弦AB、CD可能相交于點M；②弦AB、CD可能相交于點N；③MN的最大值為5；④MN的最小值為1．其中真命題的個數為 （ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【解析】當弦AB、CD相交時，則在一個截面圓上，由于AB＜CD，所以弦AB、CD可能相交于點M，弦AB、CD不可能相交于點N．故①是真命題；②是假命題；連接OM、ON，當OMN為三角形時，由于OM＋ON＞MN，OMON＜MN，所以，當MN共線且在球心O的不同側時，MN取得最大值5；當MN共線且在球心O的同側時，MN取得最小值1．故③④為真命題．

【點評】解決球類模型的截面問題時，通常策略是“化立體為平面”，確定截面所確定的圓面的半徑，將“截面與球”的問題轉化為“大圓與弦”的問題．

球心到截面的距離d與球半徑R及截面圓的半徑r有下面關系：．

【變式】已知過球面上三點A、B、C的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝1，則該球的半徑是 （ ）

【例2】在半徑為R的球內做內接圓柱，則內接圓柱全面積的最大值是 （ ）

【變式】一個高為16的圓錐內接于一個體積為972π的球，在圓錐內又有一個內切球．

求：（Ⅰ）圓錐的側面積；

（Ⅱ）圓錐的內切球的體積．

【解析】（Ⅰ）如圖所示，作軸截面，則等腰三角形CAB內接于⊙O，⊙O1內切于△CAB，

二、體積橋

【例3】設棱錐M－ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果△AMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑．

【解析】因為AB⊥AD，AB⊥AM，

所以AB⊥平面MAD．

所以平面MAD⊥平面ABCD，

設E是AD的中點，從而ME⊥AD．

所以ME⊥平面ABCD，ME⊥EF，

能夠放入這個棱錐的最大球為與平面MAD、平面ABCD、平面MBC相切的球，

不妨設O∈平面MEF，

于是O是△MEF的內心．設球O的半徑為r，

【變式】正四面體的棱長為3，則它的外接球的表面積等于 （ ）

三、射影法

【例4】一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為36π，那么這個正三棱柱的體積是 （ ）

【解析】球半徑為R＝3，正三棱柱的高即為2R＝6，將正三棱柱攔腰橫切一刀，球的截面為一個大圓，正三棱柱的截面為正三角形，大圓是正三角形的內切圓，故正三角形的邊長為，從而得正三棱柱的體積是．

【點評】射影法，作球心到其中一個面的射影，則相應的線段應與面垂直，而球心與頂點連線即為外接球半徑，設出未知數，列方程求解．正棱柱是上下底面都是正多邊形的直棱柱，故外接球心在底面的射影應為正多邊形的中心，對于多邊形的邊為偶數條的情況，如正四棱柱、正六棱柱，由對稱性，外接球心即為上下底面相對四個頂點連出的矩形的對角線長的一半；對于多邊形的邊為奇數條的情況，如正三棱柱、正五棱柱，可連接外接球心與底面中心，該線段長即為棱柱高的一半，再連接球心與一個頂點，該長度即為外接球的半徑，利用勾股定理列方程求解．

【變式2】一個正六棱柱的各個頂點都在一個球的表面上，這個六棱柱的側棱長是它的底面的邊長a的2倍，則該球的半徑為_______．

【解析】由對稱性，外接球心即為上下底面相對四個頂點連出的矩形的對角線長的一半，底外接圓的直徑為2a，側棱長2a，故該球的半徑是邊長為2a的正方形的對角線長的一半，即．

四、補形法

【例5】直三棱柱ABC－A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球的表面積等于_______．

【解析】因為AB＝AC，∠BAC＝120°，A，B，C可看作一個正六邊形的三個頂點，故可將這個直三棱柱ABCA1B1C1補形，裝回到一個正六棱柱中，二者的外接球是一樣的，轉化為求正六棱柱的外接球半徑．由對稱性，外接球心即為上下底面相對四個頂點連出的矩形的對角線長的一半，底外接圓的直徑為4，側棱長2，故矩形的對角線長為，外接球半徑為，表面積等于20π．

【點評】補形法，將多面體嵌入到形狀更對稱、且具有相同的外接球的長方體、正棱柱中去，再轉用第四種策略求解．

【變式】若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是_______．

【解析】法一（補形法）：裝回到邊長為的立方體中，易得立方體體對角線為3，從而外接球的半徑，從而表面積是9π．

五、以點代球

【例6】三個半徑為1的球，兩兩相切放置于水平桌面上，在三球中間上方再放上一個半徑為2的球，則其最高點距離桌面的距離為 （ ）

【點評】“擒賊先擒王”，解球抓球心，先抓住球心之間的位置關系，再轉為球與球、球與面之間的關系．球與球外切時，球心之間的線段的長度為兩球的半徑之和，當多個球相切時，則球心的連線可構成多面體．

【變式】半徑為R的球內部裝有4個半徑為r的小球，則小球半徑r的最大值是 （ ）

【解析】將4個小球的球心連接起來夠成一個正四面體，

O1在底面O2O3O4上的射影設為H，則大球的球心O顯然在O1H上，如圖所示．

（作者單位：吉林省長春市吉大附中實驗學校）