絕對值不等式的求解策略

河北 陳星萌

絕對值不等式的求解策略

河北 陳星萌

解絕對值不等式是高考的熱點和重點，而解含絕對值的不等式的關鍵是去掉絕對值的符號，其基本思想是把含絕對值的不等式轉為不含絕對值的不等式．

解含有絕對值不等式時，去掉絕對值符號的方法主要有：公式法、分段討論法、平方法、幾何法等．這幾種方法應用時各有利弊，在解只含有一個絕對值的不等式時，用公式法較為簡便；但是若不等式含有多個絕對值時，則應采用分段討論法；應用平方法時，要注意只有在不等式兩邊均為正的情況下才能運用．

一般的，含絕對值不等式的常用解法主要有如下幾種方法，我們分別討論．

一、基本性質法

二、幾何意義法

根據絕對值的幾何意義，｜x｜是指數軸上點x到原點的距離；｜x1－x2｜是指數軸上x1、x2兩點間的距離；而｜xa｜＋｜x－b｜的幾何意義則是在數軸上設與實數x、a、b對應的點分別為P、A、B，上式的幾何意義為｜PA｜＋｜PB｜．因此，我們完全能夠利用絕對值的幾何意義簡便求解以下類型的不等式：｜ax＋b｜≤c；｜ax＋b｜≥c；｜x－a｜＋｜x－b｜≥c；｜x－a｜＋｜x－b｜≤c．

【例2】解下列不等式：

（1）｜x－1｜＋｜x＋2｜≥5；

（2）｜x＋1｜＋｜x－1｜≥3．

【解析】（1）｜x－1｜＋｜x＋2｜≥5的幾何意義是數軸上的點到1與－2的距離之和大于等于5的實數，所以不等式的解為x≤－3或x≥2，即不等式的解集為（－∞，－3］∪［2，＋∞）．

（2）如下圖，設數軸上與－1、1對應的點分別為A、B，那么A、B兩點的距離和為2，因此區間［－1，1］上的數都不是不等式的解．

設在A點左側有一點A1到A、B兩點的距離和為3，A1對應數軸上的x．

同理設B點右側有一點B1到A，B兩點距離和為3，B1對應數軸上的x，

從數軸上可看到，點A1、B1之間的點到A，B的距離之和都小于3；點A1的左邊或點B1的右邊的任何點到A、B的距離之和都大于3．

三、定義法（或叫零點分區間法）

含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區間法脫去絕對值符號，將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式（組）求解．

用零點分段法解絕對值不等式的步驟：①求零點；②劃區間，去掉絕對值符號；③分別解去掉絕對值的不等式；④取每個結果的并集，注意在分段時不要遺漏區間的端點值．

【例3】解不等式：｜x－2｜＋x｜x＋2｜＞2．

【解析】當x≤－2時，不等式化為（2－x）＋x（－x－2）＞2，解得－3＜x≤－2；

當－2＜x＜2時，不等式化為（2－x）＋x（x＋2）＞2，解得－2＜x＜－1或0＜x＜2；

當x≥2時，不等式化為（x－2）＋x（x＋2）＞2，解得x≥2；

所以原不等式的解集為｛x｜－3＜x＜－1或x＞0｝．

四、平方法

利用兩邊平方也可以去掉絕對值符號，這適應于兩邊都是正數的絕對值不等式．對于形如｜ax＋b｜≥｜cx＋d｜的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉化為二次不等式求解．

【例4】解下列不等式：

（1）｜2x－1｜＞｜2x－3｜；

（2）x2－｜x｜－2＜0．

【解析】（1）本題也可采取前面的方法：采取用零點分區間討論去掉絕對值，但是比較復雜．如果利用兩邊平方，即根據｜a｜＞｜b｜a2＞b2解之，則更顯得流暢簡潔．原不等式同解于（2x－1）2＞（2x－3）2，即4x2－4x＋1＞4x2－12x＋9，即8x＞8，得x＞1．所以原不等式的解集為｛x｜x＞1｝．

（2）不等式原不等式可化為｜x｜2－｜x｜－2＜0，解得－1＜｜x｜＜2．∵｜x｜≥0，∴0≤｜x｜＜2，∴－2＜x＜2．

∴原不等式的解集為｛x｜－2＜x＜2｝．

【變式】解不等式｜x－2｜＜｜x＋1｜．

五、數形結合法

對于｜x－a｜＋｜x－b｜≥c（c＞0）和｜x－a｜＋｜x－b｜≤c（c＞0）形式的不等式，可以直接去掉絕對值，轉化成分段函數，畫出分段函數的圖象，也可以作出不等式兩邊所對應的兩個函數和y1＝｜x－a｜＋｜x－b｜和y2＝c的圖象，然后結合圖象圖象求解．

【例5】解不等式｜2x－1｜＋｜x－3｜≤4．

其圖象如圖所示，與直線y＝4相交于點A（0，4）和B（2，4），∴該不等式的解集為｛x｜0≤x≤2｝．

【變式】已知函數f（x）＝｜x＋1｜－｜2x－3｜，求不等式｜f（x）｜＞1的解集．

【答案】f（x）＝｜x＋1｜－｜2x－3｜

故y＝f（x）的圖象如圖所示．

六、含參數的絕對值不等式

的取值范圍是_______．

【解析】通過討論x的范圍結合二次函數的性質得到Δ≥0，求出a的范圍即可．

若存在x∈R使g（x）≥f（x），

即x2＋｜x－a｜＋a－4≤0有解，

x≥a時，x2＋x－4≤0，顯然有解，

x＜a時，x2－x＋2a－4≤0，

解含有參數的絕對值不等式時，除按絕對值不等式來解外，還必須對參數進行分類討論，在討論時，要注意“不重不漏”的原則．同時，解含有參數的絕對值不等式時，常常由于忽略了對參數的正負討論而出現錯誤，應該注意避免．

形如｜f（x）｜＞g（x）的不等式可借助｜ax＋b｜＞c的解法，轉化為f（x）＜－g（x）或f（x）＞g（x）（g（x）＞0），當然｜f（x）｜＜g（x）－g（x）＜f（x）＜g（x）．如果f（x）的正負能確定的話，也可以直接去掉絕對值符號．

【例7】設a＞0，b＞0，解關于x的不等式：｜ax－2｜≥bx．

【解析】原不等式可化為ax－2≥bx或ax－2≤－bx，即

【答案】原不等式可化為｜x－1｜＜｜x＋a｜．

兩邊平方得x2－2x＋1＜x2＋2ax＋a2，

即2（a＋1）x＞1－a2，當a＋1＞0，即a＞－1時，

當a＋1＝0，即a＝－1時，∴此時原不等式無解．

當a＋1＜0，即a＜－1時，

縱觀近年各地高考數學試題，在對不等式的考查中，絕對值不等式的解法是高考的熱點和重點問題，可謂每年必考、每卷必考，題目難度一般為中、低檔，著重考查利用數形結合的能力以及化歸與轉化思想．高考對這部分要求不是太高，高考中有選擇題和填空的形式，而新課標等則以選做題的形式考查．可以預計2017年高考絕對值不等式仍將是考試的重點，應引起我們的高度重視．

（作者單位：河北省衡水市第一中學）