何謂“地球表面附近”

汪 嫚 黃時中

(安徽師范大學物理與電子信息學院,安徽 蕪湖 241000)

何謂“地球表面附近”

汪 嫚 黃時中

(安徽師范大學物理與電子信息學院,安徽 蕪湖 241000)

筆者將重力與萬有引力、重力的功與萬有引力的功進行了細致的分析和比較,利用Mathematica軟件繪出兩者之間的相對誤差與高度之間的關系圖像,從而明確地回答了“何謂地球表面附近”這一問題。

地球表面附近;重力;萬有引力;相對誤差

1 引言

在現行高中物理教材中,重力的定義如下:(1) 地球附近一切物體都受到地球的吸引力,由于地球的吸引而使物體受到的力叫做重力[1]。(2) 物體在地面表面附近受到地球的吸引而產生的力叫做重力[2]。(3) 在地球表面附近的物體都會受到地球的吸引，這種由于地球的吸引而使物體受到的力,叫做重力[3]。在這些定義中,都有一個前提條件——在地球表面附近。那么,何謂“地球表面附近”呢?教材對此沒有做進一步說明。在教學中,教師通常是照本宣科,學生則是記住此說法。為了解決這一教學難點問題,筆者將重力與萬有引力、重力的功與萬有引力的功進行了細致的分析和比較,利用Mathematica軟件繪出兩者之間的相對誤差與高度之間的關系圖像,從而明確地回答了“何謂地球表面附近”這一問題。我們的結論是:“在地球表面附近到底是多近”取決于所研究的問題中所要求的精度,給定了具體問題的精度,就能確定物體離開地球表面的高度。這一工作對高中物理中重力概念的教學有一定參考作用。

2 重力與萬有引力比較

如圖1所示，地球表面附近的物體所受的重力,主要來源于地球的萬有引力F以及因地球自轉而存在的慣性力F1,即萬有引力和慣性力的共同作用形成重力P[4]。

圖1

在地球表面附近的物體,其所受的慣性力通常小于萬有引力,因而在一些精確度要求不太高的計算中,可以忽略地球自轉的影響(即忽略慣性力),近似地認為重力等于地球對物體的引力。

利用Mathematica繪出的ur-h圖像如圖2所示，其中圖2a中h的取值范圍是0～1×107m,圖2b中h的取值范圍是0～10000m。

圖2

由圖2可以看出隨著高度h的增加，其相對誤差也在逐漸增加，當h>R時其相對誤差非常大,所以在書中提到地球表面附近時都會指出h?R。由圖2a可以看出在一個較大的范圍內,隨著h的增加，相對誤差增加的速率也在增加,為了進一步了解“何謂地球表面附近”,將h的取值定為0～10000m繪出其對應相對誤差圖像如圖2b所示，就估算重力的大小而言,當誤差需小于0.01%時,其高度不得超過300m;當誤差需小于0.05%時,其高度不得超過1600m;當誤差需小于0.1%時,其高度不得超過3200m……

3 重力的功與萬有引力的功比較

圖3

下面進一步通過分析和比較重力的功與萬有引力的功,來闡明“何謂地球表面附近”這一問題。為簡便起見,我們采用如圖3所示的模型,考察一質量為m的物體從地面上升到距地面高度h處的過程中,地球引力對物體所做的功以及“物體所受的重力所做的功”。

圖4

利用Mathematica繪出的ur-h圖像如圖4所示。其中圖4a中h的取值范圍是0～1×107m,圖4b中h的取值范圍是0～10000m。由圖4可以看出:就估算重力的功的大小而言,當高度h取值不同時,相對誤差不同，且隨著h的增大,相對誤差在增大。從圖4a可以看出:當h>R時,其相對誤差非常大。從圖4b可以看出:就估算重力的功的大小而言,當誤差需小于0.01%時,高度不得超過600m;當誤差需小于0.05%時,高度不得超過3200m;當誤差需小于0.1%時,高度不得超過6400m……

4 結語

綜上所述,“何謂地球表面附近”取決于所研究的問題中所要求的精度。運用Mathematica可計算出不同高度處近似值與直接用萬有引力所得到的精確值的相對誤差,可以確定與所要求的精度相對應的高度。

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心．普通高中課程標準實驗教科書 物理必修1[M].北京:人民教育出版社,2004.

[2] 華東師范大學,浦東新區社會發展局.高級中學物理課本高中一年級第一學期(試用本)[M].上海:上?？萍汲霭嫔?2007.

[3] 陳熙謀，吳祖仁．普通高中課程標準實驗教科書 物理必修1[M].北京:教育科學出版社,2004.

[4] 黃時中,倪致祥.大學物理(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2014.

本文系安徽省自然科學基金項目(11040606M15)、國家自然科學基金專項基金項目(11047019)的階段性研究成果。