應用Kalman濾波算法計算供水管網漏失量

簡 彩，姚 芳，趙志領

(1.哈爾濱工業大學 市政環境工程學院，哈爾濱 150090；2.華僑大學 土木工程學院，福建 廈門 361021)

應用Kalman濾波算法計算供水管網漏失量

簡 彩1，姚 芳1，趙志領2

(1.哈爾濱工業大學 市政環境工程學院，哈爾濱 150090；2.華僑大學 土木工程學院，福建 廈門 361021)

目前，國際上對供水管網漏失量化理論研究較少，而常用的計算漏失量的方法也均存在一定不足.為此,基于信息控制領域常用的Kalman濾波分析算法，構建管網系統漏失模型的狀態方程與觀測方程，并遞推計算出管網的漏失量.進一步在實驗室進行漏失模擬實驗，利用Kalman濾波算法建立漏失模型并分析實驗數據，結果表明，應用基于Kalman濾波算法的漏失模型計算供水管網漏失量是可行且可靠的，可為供水行業制定有針對性的供水管理及技術措施、降低漏失量、提高管網控漏水平提供依據.

供水管網 ；漏失量計算； Kalman濾波； 數學模型；漏失實驗模擬

城市供水管網漏失不僅會造成寶貴水資源的浪費和嚴重的經濟損失，還會引發嚴重的社會問題，如道路、地基下沉[1]等，潛在危害極大.因此，研究供水管網漏失問題并最終找到控制解決辦法是極其重要且迫切的任務.管網漏失控制的一個重要前提是較準確地計算出管網漏失量[2].當前國際上常用的計算漏失量的方法包括夜間最小流量法、水平衡分析法和基于管網漏失量水力模型的分析法.夜間最小流量法[3]簡單易行，但是該方法過分依賴主觀經驗而缺乏理論支撐，導致判斷結果的精確度與可信度不高.水平衡分析法[4]通常包括依賴統計數據推算而得的表觀漏失水量和免費供水量，數據的準確性不足.基于管網漏失量水力模型的分析法，具有較強的漏失辨識能力，但是模型中參數的確定多是依賴經驗取值，導致模型內核存在一定缺陷.此外，李文博[5]將灰色關聯動態分析理論應用于供水管網的漏失量化研究中，該研究側重于管網漏失控制工作方面，并未提出量化漏失量的具體方法.高金良等[6]嘗試用盲源分離理論來研究管網漏失量，具有一定創新性，但也難以擺脫幅值不確定性的問題.

本研究利用Kalman濾波算法，構建并求解供水管網系統漏失數學模型，并在實驗室漏失模擬平臺上進行實驗，對比分析模型模擬計算的漏失量和實測的真實漏失量數據，驗證了該模型算法的可行性與可靠性，為控制漏失工作做好了準備.

1 Kalman濾波算法簡介

Kalman濾波[7]由匈牙利數學家卡爾曼(R.E.Kalman)于1960年正式提出，隨后被廣泛應用于各個領域，這是因為它具有其他濾波無法比擬的優勢：采用的算法具有實時遞推性，即最優化自回歸數據處理算法[8]；在分析隨機過程估計問題時，卡爾曼將狀態空間方法靈活地融入進時域中，提高了解決問題的效率.

Kalman濾波處理的對象是隨機信號[9].首先利用一定的先驗信息，以系統的觀測信號為輸入，以所求信號的估計值為輸出，將基本問題描述為一個函數，即觀測方程

x=f(s,v).

(1)

式中：x表示觀測信號向量；s表示源信號向量，也是擬估計的狀態參數；v表示系統過程噪聲.

然后以觀測方程為約束，以合適的估計準則為目標函數，求出待求狀態參數的最優值[10]，這就是Kalman濾波算法的應用思路.通常來講，我們所了解的先驗信息，是系統的內部特性和系統狀態量的變化規律，一般表達為系統的狀態方程.所以，建立合理的狀態方程和觀測方程是正確應用Kalman濾波算法的前提.Kalman濾波算法的工作原理如圖1所示.

圖1 Kalman濾波算法工作原理

2 應用Kalman濾波算法分析計算管網漏失量

在管網總供水量和用戶總用水量均已知時，兩者之差即為所求的管網漏失量.管網總供水量一般較容易計算，本研究利用Kalman濾波算法計算實際操作中難以準確測定的用戶總用水量.供水管網系統實際上是一個連續的隨機動態系統，必須先將其離散化才能使用Kalman濾波算法，本研究以穩定的運行狀態為判斷依據按照時間段將其分割離散.然后建立關于所求狀態參數的狀態方程與觀測方程，最后依據估計準則建立關于最優解的遞推公式，從而求出待求狀態參數的最優估計值，同時實現算法的遞推運算和自我收斂.

2.1 建立狀態方程

在供水管網系統中提取關于所求狀態參數的先驗信息，建立狀態方程：以所求的狀態量即當前時刻的用戶用水量估計值為因變量，以前一時刻的用戶用水量估計值為自變量，并引入系統的控制輸入量以及系統過程噪聲，建立系統的狀態方程

(2)

式中：X(k)表示k時刻管網中的用水量；U(k)表示k時刻對管網的控制輸入；Φ為狀態轉移矩陣，反映管網運行狀態的變化情況；B表示與控制輸入相關的矩陣；W(k)表示過程噪聲.

2.2 建立觀測方程

確定Kalman濾波算法的約束條件：以與用戶用水量相關的觀測信號為輸入，以所求用戶用水量的估計值為輸出，建立供水管網系統的觀測方程

(3)

式中：Z(k)表示k時刻與用戶用水量相關的觀測信號；X(k)表示k時刻管網中的用水量；H為測量矩陣，表示用戶用水量與觀測信號的內在關系；V(k)表示測量噪聲.

2.3 目標函數及最優解的計算

本研究擬采用管網用戶用水量的線性最小方差估計為估計準則，也是求解最優解的目標函數，確定Kalman濾波算法的求解過程如下

1)在管網上一運行狀態K-1的基礎上，結合管網系統的過程模型，對管網下一狀態K的用水量進行預測，計算公式為

(4)

(5)

).

(6)

4)估計準則為用戶用水量滿足線性最小方差估計，卡爾曼最優濾波增益計算公式如下

(7)

式中：Rk表示V(k)的正定方差矩陣，Hk表示k時刻的測量矩陣，HkT表示測量矩陣的轉置矩陣.

(8)

3 管網漏失模擬實驗驗證Kalman濾波算法

由于在現場難以準確測定不同工況下的用戶用水量和管網漏失量，采用在實驗室中進行模擬實驗，用不同的閥門開啟度和水表計量的方法來模擬管網用戶用水量和管網漏失量.通過水表計量的方式進行模擬，一部分水表模擬管網中用戶用水量，另一部分水表模擬管網中的漏失量.用人工調節水泵運行頻率的方法模擬管網的不同運行工況.在管網系統某一穩定運行的工況下，實驗模擬管網發生漏失時的情況，記錄各項參數，包括水泵出口流量、管網入口流量、管網總供水量、用戶總用水量、管網漏失量等，然后改變運行工況與實驗條件，記錄參數的變化情況，建立管網系統的狀態方程與參數方程，采用Kalman濾波算法并結合相關實驗數據，計算出管網中用戶用水量的變化情況，最后利用差值法求出管網漏失量.實驗平臺如圖2所示.

圖2 管網漏失模擬系統

3.1 基于Kalman濾波算法建立管網系統漏失數學模型

3.1.1 建立管網系統漏失數學模型前的相關假設

在建立準確的管網系統漏失數學模型的過程中，對于管網系統過程噪聲和觀測噪聲相關統計特性的收集往往存在較大困難，故需作如下假設：供水管網系統中的過程噪聲序列W(k)和觀測噪聲序列V(k)均為高斯白噪聲隨機序列，且均值為零；Qk為非負定方差矩陣；Rk為正定方差矩陣；W(k)和V(k)二者相互獨立，且均與管網初始運行狀態無關.

3.1.2 狀態方程的建立

狀態量為每一穩定工況下模擬的管網中用戶用水量及其隨時間變化的變化量，即

(9)

式中：Qk表示k時刻管網中用戶用水量，L/s；aQk表示管網中用水量隨時間的變化率，L/s2；n表示不同工況的數目.

(10)

若aQk為正值，表示管網中用水量增加；若aQk為負值，表示管網中用水量減少.在本研究中，管網系統沒有其他控制輸入量，即U(k)為零，則供水管網的狀態方程為

(11)

(12)

式中δkj為Kronecker-δ函數.

綜上知

(13)

3.1.3 觀測方程的建立

供水管網系統的觀測信號Zk=(Q1,Q2,Q3,...,Qk)，其中Qi(i=1,2,...,k)表示每一運行工況下的用水總量，計算公式為

Qi=Qzi-α0Hiβ0，i=1,2,3,...,n.

(14)

式中：Qzi表示i工況時的管網總水量(L/s)，可在實驗中測算出；Hi表示i工況時的管網供水壓力(m)，可用水泵出口壓力、最不利控制點壓力和管網中間某節點壓力三者的平均值進行計算；α0表示漏損系數；β0表示漏損指數；利用管網供水壓力最高值和最低值兩組數據，可計算出漏損系數α0和漏損指數β0,計算公式為

Qz=Qk+α0Hkβ0,k=1,2,3,...,n.

(15)

式中：Qz表示k時刻管網總水量(L/s),Qk表示k時刻管網總用水量(L/s),Hk表示k時刻管網供水壓力(m),α0表示漏損系數,β0表示漏損指數.

則管網系統的觀測方程為

(16)

3.2 漏失模型的求解

3.3 實驗數據分析整理

以單水源單漏點環狀管網為例，進行24種不同運行工況的模擬，利用SCADA在線數據監測設備記錄實驗數據(實際應用中也可以使用相同測量方法)，實測得到管網中6 426組流量與壓力觀測信號，并對其進行了預處理，結果如圖3、4所示.

圖3 預處理后壓力與流量觀測信號

圖4 每一工況下壓力與流量變化

Fig.4 Flow and pressure change trend chart under each working condition

表1 基于Kalman濾波算法計算的漏失量與實驗測得漏失量對比

Tab.1 Measured water leakage contrast to the estimate with Kalman filter algorithm

實驗工況算法求得漏失量/(L·s-1)實測漏失量/(L·s-1)漏失量差值/(L·s-1)相對誤差/%11.33841.21310.12539.3621.68771.83280.14518.6032.06311.99820.06493.1542.80502.80010.00490.1851.99042.01030.01991.0061.47871.45720.02151.4571.99211.99580.00370.1981.54471.56730.02261.4791.85231.82990.02241.21102.02642.01870.00770.38112.31442.29890.01550.67122.06372.01170.05202.52131.36041.33270.02772.04140.89240.93740.04505.04151.28621.28450.00170.13161.89371.88590.00780.41171.64271.63770.00500.31181.56691.57790.01100.70191.58581.61450.02871.81201.50161.48570.01591.06211.88051.82010.06043.21222.20572.21020.00450.20231.86471.86250.00220.12241.46101.47070.00970.66

3.4 實驗結果分析

由實驗結果可知，基于Kalman濾波分析模型算法模擬計算出的管網漏失量相對于實測的真實漏失量的誤差范圍為0.12%～9.36%，采用相關系數作為結果可靠性程度的評價指標，相關系數是衡量研究變量之間線性相關程度的量.兩個變量越滿足線性相關關系，相關系數越接近1.計算得出模擬計算的漏失量與實測的真實漏失量二者的相關系數為0.985，這表明模擬計算的漏失量與實測的漏失量具有非常好的線性相關關系，同時考慮到兩者之間的相對誤差范圍，說明利用Kalman濾波算法模型計算管網系統漏失量是可行且可靠的.

分析圖5可知，在管網系統實驗模擬的前幾個運行工況中，模擬計算的漏失量與實測漏失量二者的數據擬合程度較差，以前5個工況為例，模擬計算的漏失量與實測的真實漏失量相關系數僅為0.968，原因是在建立數學模型時，將管網中第一個觀測信號設定為管網的狀態隨機變量Xk的初值，但由于Kalman濾波具有實時遞推、自我收斂的特性，隨著算法的遞推進行，狀態量會逐漸收斂到最優值，并保持穩定狀態.以后10個工況為例，模擬計算的漏失量與實測的真實漏失量相關系數為0.995.這體現了Kalman濾波算法的實時遞推性和自回歸最優化的特點，也是Kalman濾波算法能夠用來計算供水管網漏失量的關鍵因素.

圖5 Kalman濾波算法計算的漏失量與實驗測得漏失量對比

Fig.5 Estimate water leakage with Kalman filter algorithm contrast to the measured water leakage

4 結 語

本研究建立了以Kalman濾波算法為基礎的供水管網系統漏失數學模型，充分發揮Kalman濾波算法自身的優勢，成功模擬計算出管網漏失量，并采用相對誤差和相關系數兩個指標來分析模擬計算出的數據和實測數據的吻合程度，結果證明，模擬計算出的數據與實測數據的吻合程度較高.這也證明了利用Kalman濾波算法研究計算管網漏失水量是完全可行可靠的，為下階段開展降漏工作提供了有力的數據支撐.

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(編輯 劉 彤)

Applying Kalman filtering algorithm to calculate leakage of water distribution system

JIAN Cai1, YAO Fang1， ZHAO Zhiling2

(1.School of Municipal and Environmental Engineering，Harbin Institute of Technology, Harbin 150090,China； 2.College of Civil Engineering, Huaqiao University, Xiamen 361021, Fujian, China)

Considering the insufficiency of the present international study on the quantification of water pipeline leakage, and the deficiencies of the existing common methods of leakage calculation, this study combines Kalman filtering algorithm commonly used in the area of information control to build state equation and observation equation of pipeline leakage model. The simulation experiment of pipeline leakage calculation based on Kalman filtering algorithm conducted in the laboratory proved the feasibility of the model. Our study provides a powerful basis for policy-makings of water supply network management, leakage reduction, and improvement of leakage control level.

water distribution system；leakage calculation； Kalman filtering；mathematical model； leakage experimental simulation

10.11918/j.issn.0367-6234.201605097

2016-05-20

國家自然科學基金(51278148;51278206)；國家水體污染控制與治理科技重大專項(2014ZX07405002);廣東省教育部產學研結合項目(2011A090200040)

簡 彩(1993—)，女，碩士研究生

簡 彩，jiancheer@163.com

TU991

A

0367-6234(2017)08-0060-05