利用“數形結合”思想優化解決問題方法

馮俊瓊

“數形結合”思想，就是根據數與形之間的對應關系，把抽象的數與直觀的形聯系起來，通過相互轉化來解決數學問題的思想。小學數學教學中，主要表現在把抽象的數量關系與適當的幾何圖形相結合，從直觀圖形的特征去發現數量之間存在的聯系，以達到化抽象為具體、化隱為顯、化繁為簡，快捷地解決問題的目的。在現行小學數學教材中，用“數形結合”思想方法解決問題的例子非常普遍。本文結合教學實踐談談“數形結合”思想在“解決問題”教學中的應用。

一、“數形結合”幫助學生理解題意

從低年級起我就十分重視“數形結合”思想方法的滲透，深入挖掘教材中隱藏的“數形結合”思想方法，培養學生良好的解題習慣和意識。鼓勵學生遇到不易解決的問題時，不急于向教師或家長求助；而是耐心地多讀幾遍題目，聯系實際想想題目意思、動手擺擺學具、畫畫實物圖、線段圖、數形圖、集合圖等，以研究者的心態來學習，逐步理解已知條件、問題的含義，及時發現它們之間的聯系，從而正確迅速地解決問題。

比如，教學“某城市向地震災區捐玉米和水稻一共重10噸，玉米的質量是水稻的4倍，玉米、水稻各重多少噸？”本題對于初學倍概念的小學三年級學生來說，理解題意特別是已知條件之間的聯系有一定困難。此時，啟發學生用圖形分別表示出玉米的質量、水稻的質量并觀察它們之間的聯系。學生紛紛行動起來。有的畫“○”表示，有的畫線段圖表示。

結合直觀圖學生立即明白：玉米的質量是水稻的4倍，玉米和水稻一共重10噸，這兩個條件隱含著水稻質量的5倍剛好是10噸這一關鍵信息。于是，問題迎刃而解。

二、“數形結合”引導學生探索解題途徑

1.以“形”助“數”

由于小學生具體形象思維占優勢的特點，解決問題時，有必要借助圖形將抽象問題具體化，讓數量信息反映在圖形上，直觀地表示數量間的關系，從而獲得解題思路。尤其在解較復雜的問題時，恰當借助于“形”，能促進學生迅速找到解題途徑。

例如，有兩箱貨物，甲箱比乙箱多18噸，如果從乙箱取出12噸放入甲箱，則甲箱貨物是乙箱的2倍，甲箱原有貨物多少噸？

本題數量間的關系比較復雜，僅通過文字去理解題意，尋找解題途徑，對三年級的小學生而言有一定的難度，借助線段圖來分析，數量關系就會呼之即出，解題思路也一目了然。

由圖可知甲箱貨物為（12+18+12）的兩倍少12噸，列式為：（12+18+12）€？-12=72（噸）。

2.以“數”解“形”

雖然“形”具有直觀形象的優勢，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達的劣勢。只有以簡潔的數學語言描述、概括性的數學模型表達“形”的特性，才能更好地體現數學高度抽象化的魅力，使兒童更準確地把握“形”。教學中常常需要用代數的方法研究幾何圖形的特征，研究其周長、面積、體積的計算公式等，使學生對形體直觀知覺進一步深化。

比如，教學“長方形的面積計算”時，先觀察、憑直覺比較兩個大小相近的長方形面積，發現比不出結果，再用數方格的方法比，如果用面積單位去拼長方形，要準備許多小正方形，不太方便，并且學生剪得不規則也影響觀察效果，經過測量發現小楷本紙上每個方格的面積正好是1平方厘米，于是，引導學生在小楷本紙的格子上畫出一些長寬不同的長方形。通過觀察和思考，學生發現了所畫長方形的面積與長、寬的關系，并概括出面積計算公式。

三、“數形結合”啟迪學生提升思維層次

解決問題是促進學生綜合應用知識，發展思維能力的重要手段。“數形結合”使問題更形象、直觀，易于解決，為啟迪學生智慧，培養學生思維能力創造了更加有利的條件。解題結束后，引導學生概括解題思路，總結解題策略，反思解題過程中的經驗、感受和體會，是提升思維層次、提高學習能力的關鍵。

例如，教學“一塊長200米、寬100米的長方形土地，如果寬不變，長增加100米后，面積增加了多少公頃？”

按常規思路，學生先算原來長方形的面積200€？00=20000（平方米）=2公頃，再算寬不變，長增加100米后得到的長方形的面積100€？00=30000（平方米）=3公頃，用3-2=1（公頃）求出增加的面積。此時，教師不滿足于這一結果。提示學生結合“形”思考或畫出簡圖思考：

學生驚喜地發現：增加部分的面就是一個邊長100米的正方形，列式為：100€？00=10000（平方米）=1公頃。解完本題后，讓學生說說通過解答本題你有什么感受？學生爭相著說：“以后解決問題要多畫畫簡圖，結合圖形來思考，問題會變得更加簡單。”“數形結合”探究問題，不但提高了探究學習的效率，學生的思維水平也得到了有效的提升。