分層有耗手征介質(zhì)中斜入射電磁波的傳播矩陣?

王飛1)2) 魏兵1)2)

1)(西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,西安 710071)

2)(西安電子科技大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,西安 710071)

(2016年9月28日收到;2016年11月11日收到修改稿)

分層有耗手征介質(zhì)中斜入射電磁波的傳播矩陣?

王飛1)2)?魏兵1)2)

1)(西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,西安 710071)

2)(西安電子科技大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,西安 710071)

(2016年9月28日收到;2016年11月11日收到修改稿)

根據(jù)相位匹配條件,推導(dǎo)了平面電磁波斜入射情形下分層有耗手征介質(zhì)中本征波復(fù)數(shù)波矢量的實部和虛部,二者方向不同使得在介質(zhì)中傳播的本征波為非均勻平面波.然后通過波矢量實部確定了介質(zhì)中本征波的折射角.最后根據(jù)邊界條件和本征波場方程給出了分層有耗手征介質(zhì)中斜入射電磁波的傳播矩陣,該傳播矩陣可用于解析分析任意入射角情形下分層手征介質(zhì)的反射透射和電波傳播特性.

分層有耗手征介質(zhì),斜入射,傳播矩陣

1 引 言

在電波傳播、微波遙感和光學(xué)等多個領(lǐng)域,分層介質(zhì)中電磁波的傳播特性研究一直引人關(guān)注且具有普遍實用價值.而最近幾年,手征超材料(chiralmetamaterials,CMM)的興起再次引起了人們對電磁波與手征介質(zhì)的相互作用問題的濃厚興趣.手征介質(zhì)具有的手征性(chirality)是指平移和旋轉(zhuǎn)都不能使一個物體和其鏡像完全重合的性質(zhì),除人工CMM外,自然界中的螺旋結(jié)構(gòu)高分子化合物及DNA螺旋結(jié)構(gòu)等都具有手征性.不同于一般介質(zhì),手征介質(zhì)中的電場和磁場是耦合的,其中傳播的本征電磁波是右、左旋圓極化波,這使得通過其中的電磁波極化面發(fā)生旋轉(zhuǎn)[1?3],這一特性使其在微波天線陣列、天線罩、微帶線基片和波導(dǎo)等方面有著廣泛的應(yīng)用.分層手征介質(zhì)中電波傳播特性的解析分析方法研究,對于手征介質(zhì)天線設(shè)計、CMM設(shè)計、手征參數(shù)反演等都具有重要意義. 1988年,Basiri等[4]解析分析了手征介質(zhì)界面對平面電磁波的反、透射并給出了手征介質(zhì)中的本征波場表達(dá)式;隨后,很多國外學(xué)者先后將矢量電路[5], Wentzel-K ramers-Brillouin近似[6]、譜域并矢格林函數(shù)[7]、矢量傳輸線[8],4×4矩陣[9]、并矢格林函數(shù)[10]、調(diào)和格林函數(shù)[11],Mueller矩陣[12]等解析分析方法推廣應(yīng)用于層狀手征介質(zhì);國內(nèi)學(xué)者利用傳播矩陣[13]、傳輸線理論[14]、不對稱傳輸線模型[15]分析了電磁波正入射分層手征介質(zhì)問題;張援農(nóng)等[16]用傳播矩陣分析了無耗分層手征介質(zhì)的光子帶隙特性.

Engheta等[17]和Lindell等[1]的研究表明,手征介質(zhì)都具有頻率色散特性,其電磁參數(shù)一般為頻率的復(fù)數(shù)函數(shù).這使得在手征介質(zhì)中傳播的右、左旋圓極化本征波的波矢量和波數(shù)一般為復(fù)數(shù),即手征介質(zhì)一般是有耗的.因此,當(dāng)平面電磁波從空氣斜入射到手征介質(zhì)中時,由于相位匹配,手征介質(zhì)中波矢量的實部和虛部方向不同.波矢量實部方向為相位傳播方向,而虛部方向為振幅傳播方向,二者不同使得這時在手征介質(zhì)中傳播的本征波為非均勻平面波.本文首先根據(jù)相位匹配條件,推導(dǎo)了平面電磁波斜入射分層有耗手征介質(zhì)時介質(zhì)中本征波復(fù)數(shù)波矢量的實部和虛部,并依此計算出本征波的折射角;然后根據(jù)邊界條件和本征波場方程推導(dǎo)了分層有耗手征介質(zhì)中斜入射電磁波的傳播矩陣,該傳播矩陣可用于解析分析任意入射角情形下分層手征介質(zhì)的反射透射和電波傳播特性.

2 手征介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系和本構(gòu)參數(shù)

手征介質(zhì)(Paster介質(zhì))的本構(gòu)關(guān)系可寫為[1]

其中ε0和μ0分別是真空介電系數(shù)和磁導(dǎo)率,εr和μr分別是手征介質(zhì)的相對介電系數(shù)和相對磁導(dǎo)率,κ是手征參數(shù).(1)式稱為手征介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系的EH表述.1990年,Engheta和Zablocky[17]為了確定手征介質(zhì)的瞬態(tài)響應(yīng)而研究手征介質(zhì)的K ramers-K ronig關(guān)系時,將手征介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系寫為

(2)式稱為手征介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系的EB表述,其中ξc稱為手征導(dǎo)納.根據(jù)(1)和(2)式可得兩種表述中本構(gòu)參數(shù)的關(guān)系為

Engheta和Zablocky[17]證明手征導(dǎo)納ξc為頻率的復(fù)函數(shù),因此根據(jù)(3)式可知手征參數(shù)κ也是頻率的復(fù)函數(shù),其實部和虛部分別代表了手征介質(zhì)的旋光色散(optical rotatory dispersion,ORD)和圓二色性(circular dichroism,CD).Lindell等[1]進(jìn)一步研究證明相對介電系數(shù)εr和相對磁導(dǎo)率μr也必是頻率的復(fù)函數(shù).因此對手征介質(zhì),不論是EH表述下的本構(gòu)參數(shù)εr,μr,κ,還是EB表述下的本構(gòu)參數(shù)εc,μc,ξc,都是頻率的復(fù)函數(shù),即介質(zhì)各個參數(shù)皆為復(fù)數(shù).

3 分層手征介質(zhì)

考慮由n層不同參數(shù)手征介質(zhì)構(gòu)成的分層結(jié)構(gòu)置于真空(或空氣)中的情況,如圖1所示.設(shè)介質(zhì)層各分界面垂直于z軸(平行于xoy平面),沿z軸正方向分別為第1層到第n層,分別設(shè)為介質(zhì)1到介質(zhì)n,介質(zhì)層左側(cè)和右側(cè)的真空區(qū)域分別設(shè)為介質(zhì)0和介質(zhì)t.第1層(介質(zhì)1)與真空(介質(zhì)0)分界面坐標(biāo)為z=d0=0;往后各分界面坐標(biāo)為z=d1,d2,···,dn;z=dn為最后一層(介質(zhì)n)與真空(介質(zhì)t)分界面坐標(biāo).設(shè)各層手征介質(zhì)的電磁參數(shù)分別為εrl,μrl,κl(l=1,2,···,n).

設(shè)平面電磁波從介質(zhì)0區(qū)域(真空)斜入射到該手征介質(zhì)層,入射面為xoz平面,這時介質(zhì)0區(qū)域為入射波和反射波區(qū)域,介質(zhì)層另一側(cè)的介質(zhì)t區(qū)域為透射波區(qū)域,如圖1所示.入射角、反射角、透射角分別設(shè)為θi,θr,θt.此時,在介質(zhì)層中的各個區(qū)域內(nèi)都同時存在前向行波(右行波)和后向行波(左行波),另外由于介質(zhì)的手征特性,各行波都包含兩個本征波:I型本征波即右旋波和II型本征波即左旋波.設(shè)各個區(qū)域中前行波的兩個本征波傳播方向與z軸的夾角分別為θl1和θl2,即為兩個本征波的折射角.

圖1 層狀手征介質(zhì)Fig.1.Stratified chiralm ed ia.

3.1 各介質(zhì)區(qū)域內(nèi)的波矢量

由于介質(zhì)0和介質(zhì)t為真空,波數(shù)k0=為實數(shù).所以入射波、反射波、透射波的波矢量分別為

根據(jù)相位匹配原理[18],各層波矢量的x分量相等,記為kx,則由(4)式可知

在介質(zhì)1到n各個區(qū)域為手征介質(zhì),其波數(shù)為[1]

其中kl1和kl2分別表示介質(zhì)l中I型和II型波波數(shù), I型波取+號,II型波取?號.由于手征介質(zhì)參數(shù)為復(fù)數(shù),所以其中的波數(shù)和波矢量一般亦為復(fù)數(shù).設(shè)介質(zhì)l中前行的I型和II型本征波波矢量分別為kl1和kl2,并寫為

上標(biāo)R,I分別表示實部和虛部.由于各層波矢量的x分量相等,因此有

所以在手征介質(zhì)層中,波矢量的虛部x分量為0,只有z分量,波矢量可寫為

由(9)式可得

又根據(jù)(6)式有

3.2 各介質(zhì)層中本征波的折射角和波阻抗

由于各介質(zhì)層中波矢量的虛部只有z分量,所以波的等振幅面垂直于z軸.波矢量的實部既有z分量又有x分量,不同介質(zhì)層中波矢量實部的x分量相等.波矢量實部的方向為相位傳播方向,由前面給出的波矢量實部z和x分量可以得到各介質(zhì)層中本征波的折射角的余弦為

介質(zhì)0和介質(zhì)t區(qū)域為真空,波阻抗Z0=Zt=為實數(shù).在介質(zhì)1到n各個區(qū)域為手征介質(zhì),其波阻抗為復(fù)數(shù)[1]

定義l層和l+1層的相對復(fù)數(shù)波阻抗為

4 分層手征介質(zhì)傳播矩陣

4.1 介質(zhì)層中各層內(nèi)部的傳播矩陣

一般地,第l(l=1,2,···,n)層手征介質(zhì)中前向和后向傳播的電磁波為[4](簡單起見,略去時諧因子exp(?jωt),下同)

圖2 平面波斜入射層狀手征介質(zhì)Fig.2.Oblique incidence on stratified chiralm edia.

其中

下標(biāo)1,2表示I型(右旋)波和II型(左旋)波,上標(biāo)±表示前向和后向行波.

根據(jù)(18)式可知,I,II型波的前向和后向行波電場在Nl和Ml點(圖2)處的關(guān)系為

其中

4.2 介質(zhì)層中各分界面兩側(cè)的傳播矩陣

如圖2所示,Ml+1和Nl分別為第l和l+1層分界面(z=dl)前側(cè)和后側(cè)的觀察點,根據(jù)邊界條件[18],兩點處電、磁場切向連續(xù),則由(18)和(19)式可得

其中

為l和l+1層分界面z=dl兩側(cè)從Ml+1點到Nl點的后向傳播矩陣.

4.3 入射界面處的后向傳播矩陣

在入射區(qū)(介質(zhì)0)存在入射波和反射波,入射波為前向行波,可表示為[4]

其中

反射波為后向行波,可表示為[4]

其中

根據(jù)邊界條件,在介質(zhì)0和介質(zhì)1分界面z=d0=0處,界面前側(cè)M1點處的場和界面后側(cè)N0點處(圖2)的場有如下關(guān)系:

其中

為介質(zhì)0和介質(zhì)1分界面z=d0=0處,界面兩側(cè)從M1點到N0點的后向傳播矩陣.

4.4 透射界面處的后向傳播矩陣

在透射區(qū)(t)只有透射波,為前向行波,無后向行波.透射波可表示為[4]

其中

根據(jù)邊界條件,在介質(zhì)n和介質(zhì)t分界面z=dn處,界面前側(cè)Mt點處的場和界面后側(cè)Nn點處(圖2)的場有如下關(guān)系:

為介質(zhì)n和介質(zhì)t分界面z=dn處,界面兩側(cè)從Mt點到Nn點的后向傳播矩陣.

4.5 后向傳播矩陣

綜合上述討論分析可得圖2中從Mt點到N0點的傳播用傳播矩陣表示為

其中

即為后向傳播矩陣.

5 線極化波入射時的反射透射系數(shù)計算

傳播矩陣M為4×4矩陣,設(shè)其元素為mij(i,j=1,2,3,4).根據(jù)(34)式可解得反射電場和透射電場用入射電場的表示,

其中反射矩陣R和透射矩陣T分別為

設(shè)入射線極化平面波波幅為E0,分別討論TE波入射和TM波入射時,分層手征介質(zhì)的同極化和交叉極化反射透射系數(shù)的計算.入射波為TE波時,入射電場平行分量為0;入射波為TM波時,入射電場垂直分量為0,即

將(38)式代入(36)式可得TE波、TM波同極化和交叉極化反射、透射系數(shù)分別為

6 算 例

6.1 色散手征介質(zhì)層的反射和透射系數(shù)

無限大色散手征介質(zhì)層厚度d=0.1 m,介電系數(shù)和磁導(dǎo)系數(shù)為Lorentz模型,手征參數(shù)為Condon模型

其中ε∞=2,εs=5,ωε=4π×109,ξε=0.5, μ∞=1.1,μs=1.8,ωμ=4π×109,ξμ=0.5, ωκ=4π×109,ξκ=0.3,τκ=0.5/ωκ.設(shè)線極化平面波垂直入射該色散手征介質(zhì)層,圖3中的劃線和實線分別表示利用本文傳播矩陣方法計算得到的反射系數(shù)Rco,Rcr和透射系數(shù)Tco,Tcr的幅值;同時我們又采用時域有限差分(FDTD)方法[19]計算該介質(zhì)層對入射脈沖的時域響應(yīng)并通過傅里葉變換得到頻域反射透射系數(shù),計算結(jié)果在圖3中用十字和叉表示,可見二者非常符合.

線極化波進(jìn)入手征介質(zhì)后分解為左、右旋兩個圓極化本征波,由于ORD特性,兩本征波的相速不同,使波的極化方向發(fā)生旋轉(zhuǎn),而CD又使兩本征波的衰減不同,因此線極化波進(jìn)入手征介質(zhì)后成為橢圓極化波,反射波和透射波的極化方向都發(fā)生變化,只有當(dāng)垂直入射時,由于手征介質(zhì)的互易性[12,20,21],反射波與入射波極化方向相同,交叉極化反射系數(shù)為0(如圖3(b)所示).

圖3 色散手征介質(zhì)層的反射透射系數(shù)幅值 (a)同極化反透射;(b)交叉極化反射透射Fig.3.The am p litudes of refl ection and transm ission coeffi cients for a d ispersive chiral layer:(a)The co-polarized refl ection and transm ission;(b)the cross-polarized refl ection and transm ission.

6.2 四重旋轉(zhuǎn)?單元結(jié)構(gòu)CM M平板的反射和透射系數(shù)

文獻(xiàn)[22]反演了一種四重旋轉(zhuǎn)?單元結(jié)構(gòu)CMM平板的本構(gòu)參數(shù),其表達(dá)式為

圖4 四重旋轉(zhuǎn)?單元結(jié)構(gòu)CMM平板的反射和透射系數(shù)幅值 (a)同極化反射;(b)交叉極化反射;(c)同極化透射;(d)交叉極化透射Fig.4.The am p litudes of refl ection and transm ission coeffi cients for the four-folded rotated-particle CMM slab:(a)The co-polarized refl ection;(b)the cross-polarized refl ection;(c)the co-polarized transm ission; (d)the cross-polarized transm ission.

其中ω0=1.8713 THz,γ=0.05463ω0,εb= 3.1736,μb=0.9798,?ε=0.156,?μ=0.0625,?κ=0.0993,板厚度為d=12μm.利用本文傳播矩陣方法計算了線極化平面波入射該手征介質(zhì)平板時的反射和透射系數(shù),如圖4所示,圖4(a)—(d)分別是同極化、交叉極化反射系數(shù)Rco,Rcr和透射系數(shù)Tco,Tcr的幅值,其中實線為垂直入射情形,劃線和點線表示TE波在30?和60?斜入射時情形,實心和空心圓圈表示TM波在30?和60?斜入射時情形.由圖可見,由于手征介質(zhì)的互易性[12,20,21],交叉極化反射、透射系數(shù)幅值與入射波極化狀態(tài)無關(guān),而且垂直入射時的交叉極化反射系數(shù)為0.同時,反射透射系數(shù)在頻率ω0=1.8713 THz處有較強(qiáng)振蕩.

6.3 周期分層手征介質(zhì)的反射和透射系數(shù)

一周期分層結(jié)構(gòu)位于空氣中,它由(εc1,μc1,ξc1)和(εc2,μc2,ξc2)兩種非磁性手征介質(zhì)交替排列而成,每層厚度相等為d=180 nm,介質(zhì)參數(shù)為μc1=μc2=μ0,εc1=(6.55?0.16j)ε0, εc2=(1.75?0.27j)ε0和ξc1=ξc2=1×10?3?j× 2×10?4(S),共22層.利用本文傳播矩陣方法計算了線極化平面波入射該分層結(jié)構(gòu)的反射和透射系數(shù),如圖5所示.圖5(a)—(d)分別是同極化、交叉極化反射系數(shù)Rco,Rcr和透射系數(shù)Tco,Tcr的幅值,其中實線為垂直入射的情形,劃線和點線表示TE波在30?和60?斜入射時的情形,實心和空心圓圈表示TM波在30?和60?斜入射時的情形.由圖可見,在紅外區(qū)域存在光子帶隙,且光子帶隙的位置和寬度與入射波的極化狀態(tài)和入射角都有關(guān)系,這使得對同一結(jié)構(gòu),可以通過控制入射極化狀態(tài)和入射角實現(xiàn)光子帶隙調(diào)節(jié).

圖5 周期分層手征介質(zhì)的反射和透射系數(shù)幅值 (a)同極化反射;(b)交叉極化反射;(c)同極化透射;(d)交叉極化透射Fig.5.The am p litudes of refl ection and transm ission coeffi cients for the period ic layered chiral m edia:(a)The co-polarized reflection;(b)the cross-polarized reflection;(c)the co-polarized transm ission;(d)the cross-polarized transm ission.

7 結(jié) 論

由于手征介質(zhì)的色散特性使其一般為有耗介質(zhì),因此當(dāng)平面電磁波斜入射層狀手征介質(zhì)時,介質(zhì)中傳播的平面本征波為非均勻波.本文首先利用相位匹配條件推導(dǎo)了層狀手征介質(zhì)中本征波復(fù)數(shù)波矢量的實部和虛部,并利用波矢量實部計算本征波折射角,然后根據(jù)邊界條件和本征波場方程給出計算層狀手征介質(zhì)中斜入射電磁波的的傳播矩陣,利用該傳播矩陣計算了單層和多層手征介質(zhì)的反射和透射系數(shù).該傳播矩陣可以用來解析分析斜入射、有耗等條件下電磁波在層狀手征介質(zhì)中的傳播特性,同時由于可以通過令手征參數(shù)κ=0將手征介質(zhì)退化為一般介質(zhì),所以該傳播矩陣同樣適用于一般的層狀介質(zhì)或一般介質(zhì)與手征介質(zhì)復(fù)合層狀結(jié)構(gòu).此外,除了計算反射透射這樣的正問題,可以進(jìn)一步研究利用傳播矩陣分析逆問題——通過實驗測量得到的反射和透射矩陣反演手征介質(zhì)參數(shù),這在CMM結(jié)構(gòu)設(shè)計和等效參數(shù)反演中將具有重要的實用價值和意義.

[1]Lindell IV,Sihvola A H,Tretyakov S A,V iitanen A J 1994 E lectrom agnetic W aves in Chira l and Bi-isotropic M edia(Boston:A rtech House)pp1–15

[2]W ang M Y,Li G P,Zhou M,W ang R,Zhong C L,Xu J,Zheng H 2014 Int.J.Num er.M odel.27 109

[3]Taup ier G,Boeglin A,Crégut O,M ager L,Barsella A, G?sior K,Rehsp ringer J L,Dorkenoo K D 2015 Opt. M ater.45 22

[4]Bassiri S,Papas C H,Engheta N 1988 J.Opt.Soc.Am. 5 1450

[5]Oksanen M I,Tretyakov S A,Lindell IV 1990 J.Electrom agnet.W aves Appl.4 613

[6]V iitanen A J,Lindell IV,Sihvola A H 1991 J.E lectrom agnet.W aves Appl.5 1105

[7]Sam iM A,Tarek M H,Kong J A 1992 J.Opt.Soc.Am. A 9 413

[8]Lindell IV,Tretyakov S A,Oksanen M I 1993 J.E lectrom agnet.Waves Appl.7 147

[9]Ivanov O V,Sem entsov D I 2000 Crysta llography Rep. 45 487

[10]Li L W,Yeap S B,Leong M S,Yeo T S,Kooi P S 2002 Prog.Electrom agnet.Res.35 53

[11]Pau l E C,Ezekiel B 2005 Canadian J.Phys.83 1265

[12]Bahar E 2007 J.Opt.Soc.Am.B 24 1610

[13]Y in W Y,W an W 1993 J.E lectron.15 287(in Chinese) [尹文言,萬偉1993電子科學(xué)學(xué)刊15 287]

[14]Liu Z S,Song L R,Fu G X 1999 J.M icrowaves 15 339 (in Chinese)[劉述章,宋俐榮,符果行1999微波學(xué)報 15 339]

[15]X iao Z Y,W ang Z H 2003 Chin.J.Radio Sci.18 687 (in Chinese)[肖中銀,王子華2003電波科學(xué)學(xué)報18 687]

[16]Zhang Y N,Zhao Z Y,Huang T C,Jiao P N 2004 Chin. J.Radio Sci.19 537(in Chinese)[張援農(nóng),趙正予,黃天錫,焦培南2004電波科學(xué)學(xué)報19 537]

[17]Engheta N,Zab locky P G 1990 E lectron.Lett.26 2132

[18]Kong J A 2002 Electrom agnetic Wave Theory(Beijing: H igher Education Press)pp23,103

[19]W ang F,W ei B,Li L Q,Cao L,Yang Q 2015 Proceedings of2015 Cross Strait Quad-Regional Radio W ireless Conference Xi’an,China,August 12–15,2015 p67

[20]Dem ir V,E lsherbeniA Z,Ercum ent A 2005 IEEE Trans. An tennas Propag.53 3374

[21]Zarifi D,Soleim aniM,Abdolali A 2013 IEEE Trans.Antennas Propag.61 5658

[22]Zhao R K,Koschny T,Soukou lis C M 2010 Opt.Express 18 14553

PACS:41.20.Jb,42.25.Bs,78.20.CiDOI:10.7498/aps.66.064101

P ropagation m atrix o f p lane w ave inciden t ob liquely on stratifi ed lossy ch iralm ed ium?

Wang Fei1)2)?Wei Bing1)2)

1)(School of Physics and Optoelectronic Engineering,X idian University,X i’an 710071,China)
2)(Collaborative Innovation Center of Inform ation Sensing and Understanding at X id ian University,X i’an 710071,China)
(Received 28 Sep tem ber 2016;revised m anuscrip t received 11 Novem ber 2016)

The real and im aginary parts of the eigen com p lex wave vector in a stratified lossy chiralm edium for the case of ob lique incidence are derived by using the phase-m atching condition.Due to the fact that the real and im aginary parts are nonparallel,the eigen wave propagating in the medium is inhomogeneous.Then the refraction angle of the eigen wave can be deduced via the real part of the wave vector.Finally the propagation m atrix of the obliquely incident wave in a stratified lossy chiralm edium is derived based on the boundary conditions and the field equations of eigen wave in each region.By using the p roposed method,the reflection,transm ission,and p ropagation characteristics of p lane wave w ith arbitrary incident angle in a stratified chiralmedium can be analyzed.

stratified lossy chiralmedia,oblique incidence,propagation matrix

10.7498/aps.66.064101

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:61401344,61571348)和中國國家留學(xué)基金(批準(zhǔn)號:201606965055)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:w fei79@163.com

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant Nos.61401344,61571348)and the State Scholarship Fund of China(G rant No.201606965055).

?Corresponding author.E-m ail:w fei79@163.com