憶感器文氏電橋振蕩器?

許碧榮 王光義

1)(杭州電子科技大學,現代電路與智能信息研究所,杭州 310018)

2)(武夷學院機電工程學院,武夷山 354300)

憶感器文氏電橋振蕩器?

許碧榮1)2)王光義1)?

1)(杭州電子科技大學,現代電路與智能信息研究所,杭州 310018)

2)(武夷學院機電工程學院,武夷山 354300)

(2016年7月29日收到;2016年11月5日收到修改稿)

為了探索新型憶感器的特性,提出了一種新的憶感器模型,該模型考慮了內部變量的影響,更符合未來實際憶感器的性能.建立了其等效電路,分析了其特性.利用該憶感器模型,設計了一種憶感器文氏電橋混沌振蕩器,分析了系統的穩定性和動力學行為.研究發現,此系統不僅存在周期、擬周期和混沌等多種狀態,還發現了一些重要的動力學現象,如恒Lyapunov指數譜、非線性調幅、共存分岔模式和吸引子共存等復雜非線性現象,說明了這些特殊現象的基本機理和潛在應用.最后進行電路實驗驗證,驗證了該振蕩器的混沌特性.

憶感器,文氏電橋,混沌,吸引子共存

1 引 言

Chua(蔡少棠)在1971年提出憶阻器模型[1],2008年,HP實驗室實現了納米級憶阻器[2,3].由于憶阻器在存儲、神經網絡和電路設計等多方面具有潛在的應用價值,因此引起了學術界的廣泛興趣[4-9].2008年,Di Ventra等[10]將憶阻器概念進行拓展,提出了憶感器和憶容器.但是,相對于憶阻器而言,對憶感器和憶容器的研究相對較少,有必要開展憶感器和憶容器物理特性及其應用的預先研究.

憶容器和憶感器的概念最早出現在1978年的歐洲電路理論與設計會議(ECCTD)上,由Chua[11]在其特邀報告中作為兩種新型電路元件而提出,2003年Chua[12]正式定義了此兩種記憶元件,尤其給出了電路元件的(α,β)階分類,把憶阻器、憶感器和憶容器分別定義為(-1,-1)階、(-2,-1)階和 (-1,-2)階電路元件.2008年,Di Ventra等[10]在伯克利舉行的憶阻器研討會上正式提出了憶感器和憶容器的定義與電路符號.2009年Chua[13]在IEEE專家短訓班上的輔導報告可幫助讀者進一步理解憶感器的概念.

雖然還未報道物理實現的憶感器元件,但已經發現或預測了憶感現象的存在.可以設想,一個簡單的實際憶感器可用某種磁芯材料來實現,其憶感效應依賴于磁場的歷史[10].實際上已經發現某些絕緣材料具有憶感器效應[14],也出現了利用自旋霍爾磁電阻實現憶感器的報道[15].

憶感器建模是憶感器特性和應用研究的基礎.因此,自憶感器提出之后,出現了一些接地和浮地的憶感器模擬器[16-20]和SPICE模型[21,22],用以仿真憶感器的物理特性.文獻[15]提出了憶感器的一種物理實現的方法,文獻[19,23]分析了憶感器串并聯的規律.由于憶感器與憶阻器一樣也具有非線性記憶特性,也可利用它來設計混沌振蕩器,近來出現了少量對憶感器混沌振蕩器的研究[24,25].然而文獻[24,25]采用了較理想的憶感器模型,未考慮憶感器內部變量的影響,其憶感器振蕩器基于Chua電路來設計,含有線性電感元件,體積大難以集成化,難以產生低頻信號,且其實驗電路為基于數學模型的等效運算電路,而非基于實際元件建立的實際電路.而文氏電橋混沌振蕩器[26,27]具有振蕩穩定、波形良好和振蕩頻率寬等優點.然而,到目前為止未出現任何形式的憶感器文氏電橋混沌振蕩器,因此,有必要開展這方面的研究,探索憶感器文氏電橋振蕩器的特性.

本文將憶感器模型進行拓展,提出了一種新的模型,該模型考慮了憶感器內部變量的影響,建立其等效電路,分析其特性,并在此基礎上,設計了一種基于憶感器的文氏電橋混沌振蕩器,分析了其動力學特性,并進行電路實驗驗證.與文獻[24]等相比,該振蕩器還出現了一些重要的特殊現象,如恒定Lyapuno指數與恒定混沌振蕩、非線性調幅、共存吸引子和共存分岔等.

2 憶感器模型及其等效電路

文獻[10]提出了憶感器的一般概念與一般模型,時不變憶感器可定義為

式中L-1是電感的倒數,iM是流過憶感器的電流,φ是憶感器的磁通量,ρ是憶感器的內部狀態量.

從(1)式看出,一般情況下狀態變量的變化率dρ/dt與磁通和該變量自身相關.但為了簡便,對憶阻器、憶容器和憶感器的建模大都采用一種特例下的簡化模型,即忽略內部變量ρ對dρ/dt的影響.如在HP憶阻器中僅考慮電荷的影響[3], 即 dρ/dt=f(ρ,q)=aq, 其中a為系數;在憶感器模型中僅考慮磁通φ的影響[10],即dρ/dt=f(ρ,φ)=Aφ,其中A為系數,這些模型可認為是理想模型.

而實際器件的內部情況要復雜得多,往往要考慮內部狀態變量ρ對其導數的影響(這個導數可能是粒子的漂移速率,如HP憶阻器;或是磁性材料中引起電感變化的磁性材料某種參數的變化率).例如,文獻[3]在提出憶阻器簡化的理想模型之后,為考慮實際器件內部變量的影響,在內部變量w的導數dw/dt中增加了一個關于變量w函數的乘積項;從已實現的憶阻器看,許多憶阻器并不是理想的憶阻器模型,而是廣義的憶阻器模型或憶阻系統[2,3,28,29].憶感器較憶阻器難以實現,但從文獻[15]利用自旋霍爾磁電阻實現的一種憶感器看,其模型并不是理想模型.因此,從一般意義考慮并著眼于未來可實現的實際憶感器,其內部狀態量ρ對時間t的導數,一般情況下會受內部狀態量自身的影響.考慮了這個因素后,本文提出如下憶感器模型：

其中A,B,C,D為系數,ρ為憶感器內部狀態變量(對應(1)式的x)f(ρ,φ)=Aφ-Bρ中的第一項Aφ為磁通對dρ/dt的貢獻,第二項Bρ反映了憶感器內部狀態變量對其變化率的影響.(2)式與(1)式相比,憶感倒數為L-1(ρ,φ)=Cρ/φ-Dρφ.該憶感倒數反映了在一個實際的憶感器中,其憶感值(或憶感倒數值)一方面與磁通量φ有關,另一方面還與其內部變量ρ有關,兩者交互影響.例如,一個簡單的實際憶感器可用某種磁芯材料來實現,其憶感效應依賴于磁場的歷史,即與磁通有關[10];除此之外還依賴于這種材料的某個參數,如磁場變化率、磁化率等.再如某些絕緣材料也有憶感器的效應[14].另外憶感效應還可通過改變電感的匝數和形狀來實現,如文獻[30]引入了一個類似滑動變阻器的憶感器模型,此模型中憶感器的中間滑動頭到任一端的距離即是一個內部狀態變量,顯然其憶感或憶感倒數值與這個變量相關.

圖1 憶感器的等效電路Fig.1.Equivalent circuit of the meminductor.

為了進一步研究此憶感器,利用Multisim軟件建立了如圖1所示的等效電路.若輸入端AB接輸入電壓v,由等效電路可得：

由于電路中的R7=R9,R12=R13,則(3)式簡化為

圖2 電路的電壓、電流、磁通量、狀態變量測試結果 (a)v(t)和φ(t)的波形;(b)v-φ特性曲線;(c)φ(t)和ρ(t)的波形;(d)φ-ρ特性曲線;(e)v(t)和ρ(t)的波形;(f)v-ρ特性曲線;(g)φ(t)和i(t)的波形;(h)φ-i特性曲線;(i)v(t)和i(t)的波形;(j)v-i特性曲線;(k)ρ(t)和i(t)的波形;(l)ρ-i特性曲線Fig.2.Test results of voltage,current,magnetic flux and state variable of the circuit：(a)Time-domain waveforms ofv(t)andφ(t);(b)characteristic curve ofv-φ;(c)time-domain waveforms ofφ(t)andρ(t);(d)characteristic curve ofφ-ρ;(e)time-domain waveforms ofv(t)andρ(t);(f)characteristic curve ofv-ρ;(g)time-domain waveforms ofφ(t)andi(t);(h)characteristic curve ofφ-i;(i)time-domain waveforms ofv(t)andi(t);(j)characteristic curve ofv-i;(k)time-domain waveforms ofρ(t)andi(t);(l)characteristic curve ofρ-i.

圖3 憶感器的φ-i特性圖 (a)f=500 Hz;(b)f=600 Hz;(c)f=700 Hz;(d)f=800 HzFig.3.φ-ihysteresis loop of the meminductor in conditions of(a)f=500 Hz;(b)f=600 Hz;(c)f=700 Hz;(d)f=800 Hz.

3 憶感器文氏電橋混沌系統

3.1 憶感器文氏電橋混沌系統模型

下面利用(2)式所述的憶感器,建立如圖4所示的憶感器文氏電橋混沌振蕩器.根據基爾霍夫定律、電橋特性和元件特性關系,可得如下的電路的動態方程：

則方程(5)可變換為：

圖4 憶感器文氏電橋混沌系統模型Fig.4. Model of the meminductive Wein-bridge chaotic system.

圖5 憶感器文氏電橋混沌系統的時域波形Fig.5.Time-domain waveforms of the meminductive Wein-bridge chaotic system.

圖6 憶感器文氏電橋混沌系統的混沌吸引子 (a)x-y平面相圖;(b)y-z平面相圖;(c)z-u平面相圖;(d)u-x平面相圖Fig.6.Chaotic attractors of the meminductive Wein-bridge chaotic system：(a)x-yphase diagram;(b)y-zphase diagram;(c)z-uphase diagram;(d)u-xphase diagram.

當參數選擇為a=1.55,b=1,c=0.25,d=0.05,e=1,f=1,g=0.5時,在初始條件為(1,0,0.5,-0.5)的情況下,通過計算,可得Lyapunov指數為LE1=0.066,LE2=0,LE3=-0.531,LE4=-0.737,Lyapunov維數為DL=2.124,說明了系統處于混沌狀態.此時,系統的時域波形如圖5所示,系統的相平面上的投影如圖6所示,在z=0截面上做的Poincaré映射如圖7所示,這些結果可進一步說明此時系統的動力學行為是混沌的.

圖7 憶感器文氏電橋混沌系統在z=0截面上的Poincaré 映射Fig.7.Poincaré mapping of the meminductive Weinbridge chaotic system onz=0 section.

3.2 系統的特性分析

3.2.1 平衡特性

若系統(6)是混沌系統,必須滿足

因此,系統(6)在滿足xy＜(1+b-e)/2df的條件下為混沌系統.

由于系統(6)滿足在(x,y,z,u)→(-x,-y,-z,-u)的變換下保持不變,因此,系統關于原點對稱.

由(6)式的左邊為零,可得

將參數a=1.55,b=1,c=0.25,d=0.05,e=1,f=1,g=0.5,代入(9)式,求得平衡點S0處的特征值為λ1,2=0.044±j0.851,λ3,4=-0.794±j0.414,故平衡點S0是不穩定的焦點.兩個對稱非零平衡點S±處的特征值為λ1=4.182,λ2=-1.252,λ3,4=0.665±j0.883,故平衡點S±是不穩定的鞍焦點.

3.2.2 系統參數對系統動力學的影響分析

隨著系統參數的改變,系統的平衡點會發生變化,系統的穩定性將會發生變化,系統的狀態也會發生變化.在初始條件(1,0,0.5,-0.5)下,固定參數b=1,c=0.25,d=0.05,e=1,f=1,g=0.5,改變a.當a在[1.52,1.5549]范圍內變化時,系統Lyapunov的指數譜和分岔圖如圖8所示,為了更好地觀察,圖中將最小的Lyapunov指數忽略(下面的Lyapunov指數譜也進行同樣處理).由圖8可見,系統的Lyapunov指數譜與分岔圖基本一致.系統的分岔形式為倍周期分岔,系統剛開始LE1=0,處于周期態或擬周期態,隨著a的增大,系統的狀態發生了變化,當LE1＞0,系統的狀態為混沌態,但是在混沌態的區域又有周期窗,系統狀態呈現了復雜的變化過程.

同樣,參數b也會影響系統狀態.在同樣的初始條件下,讓參數a=1.55,c=0.25,d=0.05,e=1,f=1,g=0.5不變,讓b在[0.998,1.02]范圍內變化,得到的Lyapunov指數的系統Lyapunov指數譜和分岔圖如圖9(a)和圖9(b)所示,兩者基本符合.從圖9可以看到,系統參數b變化過程中也存在周期、倍周期分岔、混沌和周期窗等復雜的非線性變化過程.

為了進一步認識參數a,b同時對系統狀態影響的情況,讓a在[1.535,1.558]范圍和b在[0.995,1.008]范圍內變化,繪制出如圖10所示的動力學地圖,圖中黃色區域表示系統處于周期或準周期狀態;藍色區域表示系統處于混沌狀態,褐色區域表示系統發散.由圖10可見,隨著a的增加和b的減少,系統的狀態由周期態轉變為混沌態,最后為發散狀態.

圖8 (網刊彩色)參數a變化的Lyapunov指數譜和分岔圖 (a)參數a變化的Lyapunov指數譜;(b)參數a變化的分岔圖Fig.8.(color online)Lyapunov spectrum and bifurcation diagram with respect toa：(a)Lyapunov spectrum;(b)bifurcation diagram.

圖9 (網刊彩色)參數b變化的Lyapunov指數譜和分岔圖 (a)參數b變化的Lyapunov指數譜;(b)參數b變化的分岔圖Fig.9.(color online)Lyapunov spectrum and bifurcation diagram with respect tob：(a)Lyapunov spectrum and(b)bifurcation diagram.

圖10 (網刊彩色)參數a和b的動力學地圖Fig.10.(color online)Dynamical map withaandb.

3.2.3 恒Lyapunov指數譜特性

在初始條件(1,0,0.5,-0.5)下,固定參數a=1.55,b=1,c=0.25,e=1,f=1,g=0.5,改變d.當d在[0.005,0.1372]范圍內變化時,系統Lyapunov指數譜和分岔圖如圖11所示.

在此區間系統處于恒定混沌狀態,且呈現恒定Lyapunov指數現象.與其他憶阻器或憶感器振蕩器相比,這是該憶感器文氏電橋振蕩器非常重要的一種特性.適合作為秘鑰進行信息加密的混沌系統應是魯棒混沌或至少是結構穩定的混沌,該憶感器系統在參數擾動下具有恒定混沌與恒定Lyapunov指數特性,意味著其具有強魯棒性和結構穩定性,因而適合于作為隨機信號源,產生性能良好的偽隨機序列.其他混沌系統一般在其混沌區間都存在周期窗口,當系統參數存在擾動驅使系統運動到周期軌道時,擾動下的映射與原混沌映射不是拓撲等價的,因而不是魯棒的混沌映射.而該憶感器系統在其混沌參數區間無論參數d如何變化,始終維持恒定Lyapunov指數的恒定混沌振蕩,這說明系統不因參數d的擾動或微小變化而使其由原來的混沌態進入到非拓撲等價的周期態.

圖11 (網刊彩色)參數d變化的Lyapunov指數譜和分岔圖 (a)參數d變化的Lyapunov指數譜;(b)Xmax-d分岔圖Fig.11.(color online)Lyapunov spectrum and bifurcation diagram with respect tod：(a)Lyapunov spectrum;(b)bifurcation diagram.

全局非線性調幅是該憶感器文氏電橋振蕩器的另一重要特性.從圖11(b)看出,隨著參數d的增加,混沌振蕩信號x(或y,z,u)的幅值隨參數d非線性變化,即幅值是參數的非線性函數.這種特性對混沌密碼設計的最大優勢在于大大提高了依據混沌振蕩幅度預測系統參數從而重構混沌系統的安全性.一些著名的混沌系統如Logistic映射,在其混沌區間不但存在眾多周期窗口,且其迭代幅值隨參數線性變化,這大大降低了其作為密碼的魯棒性和安全性.

3.2.4 共存分岔模式

對于系統(6),在a=0.48,b=1,d=4,e=1,f=2.7,g=0.2不變的情況下,讓參數c從1.45變化到1.66,對于不同初值(0.03,0,0.01,-0.01)和(-0.01,0.02,0.01,0.01),得到的Lyapunov指數譜和分岔圖如圖12所示,其中圖12(a)和圖12(b)是初值為(0.03,0,0.01,-0.01)的Lyapunov指數譜和分岔圖,而圖12(c)和圖12(d)是初值為(-0.01,0.02,0.01,0.01)的Lyapunov指數譜和分岔圖,圖12(e)是兩個不同初值的分岔圖.由圖12(a)-圖12(d)可以看到,在相同初值情況下Lyapunov指數譜和分岔圖一致.但是,從圖12(a)和圖12(c)看到,不同初值的情況下,系統的Lyapunov指數譜不完全一致,參數c∈[0.1601,0.1602]期間,初值為(0.03,0,0.01,-0.01)情況下LE1＞0,而初值為(-0.01,0.02,0.01,0.01)情況下LE1＜0.

同樣地,在不同初值的情況下,系統的分岔圖不一致,從圖12(b)和圖12(d)看到,初值為(0.03,0,0.01,-0.01)情況下的分岔圖有一次跳躍,而初值為(-0.01,0.02,0.01,0.01)情況下的分岔圖有兩次跳躍.從圖12(e)清楚地看到,存在共存分岔模式現象,隨著參數c的增加,從一個穩定的周期軌道演變成上下兩條穩定的周期軌道;經一次倍周期后,兩者合在一起進行二次倍周期、多次倍周期分岔道路進入混沌軌道,共存分岔模式現象第一次消失;這之后,又分開為兩條獨立的混沌帶;然后,隨著混沌帶的擴展,合并成一個大的混沌帶,共存分岔模式現象最終徹底消失,在這個大的混沌帶里存在著多個大小不一的多個周期窗.

3.2.5 吸引子的共存與重合

系統在取a=0.48,b=1,d=4,e=1,f=2.7,g=0.2,初值為(0.03,0,0.01,-0.01)和(-0.01,0.02,0.01,0.01)時,讓c從0.145到0.166之間變化,會出現吸引子共存的現象.為了便于觀察,初值為(0.03,0,0.01,-0.01)和(-0.01,0.02,0.01,0.01)的吸引子分別用紅色和藍色表示.當c在[0.1491,0.1592]區間內,出現了吸引子共存,吸引子為周期或擬周期的吸引子;在c=0.15時,共存的擬周期吸引子如圖13(b)所示;在c=0.158時,共存的周期吸引子如圖13(d)所示;并且,隨著c的變化,兩個吸引子的距離會發生變化.在c取值在[0.1608,0.1612]區間,出現了混沌吸引子共存,在c=0.1608時,共存的混沌吸引子如圖13(e)所示.c為其他值時,吸引子共存現象消失,當c=0.146時,一般的周期吸引子如圖13(a)所示;在c=0.16時,一般的擬周期吸引子如圖13(d)所示;在c=0.164時,一般的混沌吸引子如圖13(f)所示.當c≥0.1662時,系統發生發散現象.若將吸引子共存視為兩個吸引子分開,吸引子共存消失視為兩個吸引子重合,實際上,此期間是兩個吸引子重合、分開、重合、分開、重合的過程.并且,吸引子的共存與重合與圖12的共存分岔相符合.

圖12 (網刊彩色)不同初值下的參數c的Lyapunov指數譜和分岔圖 (a)初值為(0.03,0,0.01,-0.01)的Lyapunov指數譜;(b)初值為(0.03,0,0.01,-0.01)的分岔圖;(c)初值為(-0.01,0.02,0.01,0.01)的Lyapunov指數譜;(d)初值為(-0.01,0.02,0.01,0.01)的分岔圖;(e)兩個不同初值的分岔圖Fig.12.(color online)Bifurcation diagram and Lyapunov spectrum with respect tocunder different initial conditions：(a)Lyapunov spectrum and(b)bifurcation diagram under the initial conditions of(0.03,0,0.01,-0.01);(c)Lyapunov spectrum and(d)bifurcation diagram under the initial conditions of(-0.01,0.02,0.01,0.01);(e)bifurcation diagram of two different initial conditions.

通過以上共存分岔和共存吸引子的分析,可得如下結論.

1)所謂共存分岔或共存吸引子,實際是一種共存振蕩,是指系統參數不變而僅初值變化時所引起的不同振蕩狀態變化的特性.即系統參數恒定時,初值變化可使其轉換到不同的運動狀態,可從一混沌吸引子轉換到另一拓撲結構不同的混沌吸引子,即多個混沌吸引子共存.類似可有周期吸引子共存、混沌-周期吸引子共存等.

2)共存振蕩反映了系統更高的初值敏感性.一般的混沌初值敏感性是指混沌運動軌跡(或混沌振蕩信號)對不同的初值具有高度敏感性,即系統參數不變時,不同的初值產生完全不同的混沌軌跡.此時盡管混沌軌跡不同,但大都存在于一個相同拓撲結構的混沌吸引子之中,或運動軌跡隨初值在同一吸引子之中跳躍.而在共存振蕩中,不但運動軌跡在同一結構的混沌吸引子之中對初值敏感,對不同結構的混沌吸引子,不同結構的周期吸引子也極其敏感.即初值變化時,其運動軌跡不但在同一吸引子中跳躍,可從一個混沌吸引子跳躍到另一混沌吸引子,還可從周期吸引子跳躍到混沌吸引子,也可從一周期吸引子跳到另一周期吸引子.

3)共存振蕩現象可存在多種實際應用.例如,根據共存混沌吸引子現象,可以把一個混沌系統設計為多個偽隨機信號源,每個信號源對應于一個不同初值的混沌吸引子;再如,根據混沌-周期吸引子共存或周期-混沌吸引子共存現象進行混沌控制與反控制,混沌控制可以消除系統的混沌振蕩,使其工作于非混沌狀態,而混沌反控制可使系統由周期轉換為混沌.

圖13 (網刊彩色)共存吸引子與常規吸引子 (a)c=0.146;(b)c=0.1495;(c)c=0.158;(d)c=0.16;(e)c=0.1608;(f)c=0.164Fig.13.(color online)Coexisting attractor or conventional attractor of the system when(a)c=0.146;(b)c=0.1495;(c)c=0.158;(d)c=0.16;(e)c=0.1608;(f)c=0.164.

4 電路設計與實驗驗證

混沌系統可由電路來物理實現,電路實現時需要考慮時間常數的選擇.時間常數會影響混沌信號在時域變化的快慢以及混沌信號頻譜的分布范圍,常被稱為時間尺度變化因子,為了便于觀察,選擇合適的時間尺度變換因子尤為重要.因此,對(6)式引入時間尺度變換因子K,若取a=1.55,b=1,c=0.25,d=0.05,e=1,f=1,g=0.5,則(6)式改寫為：

若用等效電路替代圖4中的憶感器,將時間尺度變換因子取為K=10000,所有電容取為10 nF,根據(10)式便可建立如圖14所示的憶感器文氏電橋混沌系統的電路,電路中的乘法器A1和A2由集成電路AD633來實現,其他元件的取值如圖14所示.電路的實驗結果如圖15所示,其結果與圖6中數值仿真的結果基本一致,證實了理論分析的正確性.

圖14 憶感器文氏電橋混沌系統實現的電路原理圖Fig.14.The circuit schematic of realizing the meminductive Wein-bridge chaotic system.

圖15 實驗中由示波器測量得到的混沌吸引子 (a)x-y平面相圖;(b)y-z平面相圖;(c)z-u平面相圖;(d)u-x平面相圖Fig.15.Experiment results of chaotic oscillator：(a)xyphase diagram;(b)y-zphase diagram;(c)z-uphase diagram;(d)u-xphase diagram.

5 結 論

本文針對目前憶感器內部狀態量對時間的導數是磁通量的情況,拓展其物理概念,提出了一種新的憶感器數學模型,建立了等效電路,檢測了電路的電壓、電流、磁通量、狀態變量的關系,分析其φ-i特性,發現與常見的憶感器模型一樣,呈現緊致的滯回曲線.在此憶感器模型基礎上,構造了憶感器文氏電橋混沌系統,并分析其非線性特性,分析發現此系統與其他混沌系統相比,不僅具有體現很好魯棒性的恒Lyapunov指數譜、全局非線性調幅,還有極強初值敏感性的共存分岔模式和吸引子共存等復雜的非線性現象,這是少見的現象.文獻[26,31]中混沌系統雖然出現了共存分岔模式和吸引子共存,但沒出現恒Lyapunov指數譜、全局非線性調幅;文獻[32,33]中混沌系統雖然出現了恒Lyapunov指數譜、全局非線性調幅,但沒出現共存分岔模式和吸引子共存現象.電路實驗驗證了混沌現象的存在,證實了理論分析的正確性.由于此文氏電橋憶感器混沌系統不含電感元件,便于集成,并且兼具恒Lyapunov指數、全局非線性調幅、共存分岔模式和吸引子共存等現象,因此該系統具有良好的潛在應用價值,可作為多碼源偽隨數發生器,同時產生多路強魯棒性的偽隨機序列而應用于混沌密碼和保密通信之中.

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PACS:05.45.-a,05.45.Jn,05.45.Pq DOI:10.7498/aps.66.020502

Meminductive Wein-bridge chaotic oscillator?

Xu Bi-Rong1)2)Wang Guang-Yi1)?

1)(Institute of Modern Circuits and Intelligent Information,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou 310018,China)
2)(School of Mechanical and Electrical Engineering,Wuyi University,Wuyishan 354300,China)

29 July 2016;revised manuscript

5 November 2016)

A meminductor is a new type of memory device.It is of importance to study meminductor model and its application in nonlinear circuit prospectively.For this purpose,we present a novel mathematical model of meminductor,which considers the effects of internal state variable and therefore will be more consistent with future actual meminductor device.By using several operational amplifiers,multipliers,capacitors and resistors,the equivalent circuit of the model is designed for exploring its characteristics.This equivalent circuit can be employed to design meminductor-based application circuits as a meminductor emulator.By employing simulation experiment,we investigate the characteristics of this meminductor driven by sinusoidal excitation.The characteristic curves of current-flux(i-φ),voltage-flux(v-φ),v-ρ(internal variable of meminductor)andφ-ρfor the meminductor model are given by theoretical analyses and simulations.The curve of current-flux(i-φ)is a pinched hysteretic loop passing through the origin.The area bounding each sub-loop deforms as the frequency varies,and with the increase of frequency,the shape of the pinched hysteretic loop tends to be a straight line,indicating a dependence on frequency for the meminductor.Based on the meminductor model,a meminductive Wien-bridge chaotic oscillator is designed and analyzed.Some dynamical properties,including equilibrium points and the stability,bifurcation and Lyapunov exponent of the oscillator,are investigated in detail by theoretical analyses and simulations.By utilizing Lyapunov spectrum,bifurcation diagram and dynamical map,it is found that the system has periodic,quasi-periodic and chaotic states.Furthermore,there exist some complicated nonlinear phenomena for the system,such as constant Lyapunov exponent spectrum and nonlinear amplitude modulation of chaotic signals.Moreover,we also find the nonlinear phenomena of coexisting bifurcation and coexisting attractors,including coexistence of two different chaotic attractors and coexistence of two different periodic attractors.The phenomenon shows that the state of this oscilator is highly sensitive to its initial valuse,not only for chaotic state but also for periodic state,which is called coexistent oscillation in this paper.The basic mechanism and potential applications of the existing attractors are illustrated,which can be used to generate robust pseudo random sequence,or multiplexed pseudo random sequence.Finally,by using the equivalent circuit of the proposed meminducive model,we realize an analog electronic circuit of the meminductive Wien-bridge chaotic system.The results of circuit experiment are displayed by the oscilloscope,which can verify the chaotic characteristics of the oscillator.The oscillator,as a pseudo random signal source,can be used to generate chaotic signals for the applications in chaotic cryptography and secret communications.

meminductor,Wien bridge,chaos,coexisting attractor

:05.45.-a,05.45.Jn,05.45.Pq

10.7498/aps.66.020502

?國家自然科學基金 (批準號：61271064,60971046,61401134)、浙江省自然科學基金 (批準號：LZ12F01001,LQ14F010008)、福建省自然科學基金(批準號：2016J01761)和浙江省重點科技創新團隊(批準號：2010R50010)資助的課題.

?通信作者.E-mail：wanggyi@163.com

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.61271064,60971046,61401134),the Natural Science Foundations of Zhejiang Province,China(Grant Nos.LZ12F01001,LQ14F010008),the Natural Science Foundations of Fujian Province,China(Grant No.2016J01761),and the Program for Zhejiang Leading Team of S&T Innovation,China(Grant No.2010R50010).

?Corresponding author.E-mail：wanggyi@163.com