含三個憶阻器的六階混沌電路研究?

王偉 曾以成 孫睿婷

(湘潭大學物理與光電工程學院,湘潭 411105)

含三個憶阻器的六階混沌電路研究?

王偉 曾以成?孫睿婷

(湘潭大學物理與光電工程學院,湘潭 411105)

(2016年8月26日收到;2016年11月23日收到修改稿)

利用兩個磁控憶阻器和一個荷控憶阻器設計了一個六階混沌電路,并建立了相應電路狀態變量的非線性動力學方程.研究了系統的基本動力學特性,平衡點及其穩定性分析表明：該電路具有一個位于憶阻器內部狀態變量所構成三維平衡點集,平衡點的穩定性由電路參數和三個憶阻器的初始狀態決定.分岔圖、Lyapunov指數譜等表明該電路在參數變化情況下能產生Hopf分岔和反倍周期分岔兩種分岔行為,以及超混沌、暫態混沌、陣發周期現象等多種復雜的非線性動力學行為.將觀察混沌吸引子時關注的電壓、電流信號推廣到功率和能量信號,觀察到了蓮花型、疊加型吸引子等奇怪吸引子的產生.并研究了各憶阻器能量信號之間產生吸引子的情況,特別地,當取不同的初始值時,系統出現了共存混沌吸引子和周期極限環與混沌吸引子的共存現象.

憶阻器,六階混沌電路,浮地,動力學

1 引 言

2008年,美國HP實驗室[1,2]首次在物理上成功地實現了基于金屬和金屬氧化物的憶阻器,并建立其相應的數學模型,證實了1971年蔡少棠根據電路變量的完備性原理所做的預測[3].由于憶阻器的記憶性及其非線性等特性使其在神經網絡[4]、非易失性阻抗存儲器(RRAM)[5]、電路設計等[6,7]領域有著潛在的應用價值,也成為非線性科學領域的一個新的研究熱點[8-11].憶阻器構成的電路容易產生高頻混沌振蕩信號,因此在圖像加密[12]、保密通信等[13]領域將具有廣泛的應用前景.2008年,Itoh和Chua[14]采用一個磁控分段線性憶阻器來替換蔡氏電路中的二極管導出第一個基于憶阻器的混沌系統,接著針對含一個憶阻器的混沌電路有一系列工作[15-19].包伯成等[20]提出含兩個三次光滑模型磁控憶阻的五階混沌電路,得出了含兩個憶阻器的混沌電路其平衡點對應一個平面;Buscarino等[21]采用兩個相互并聯的磁控憶阻器替換蔡氏二極管得到新混沌電路;洪慶輝等[22]利用荷控和磁控兩種憶阻器模型設計了一個五階混沌電路,仿真分析表明含兩個憶阻器的混沌振蕩電路具有更加復雜的拓撲結構并擁有更豐富的混沌動力學行為.

由于含三個甚至更多個憶阻器的混沌電路研究較少,現有的憶阻混沌電路都為四階和五階這樣的低階混沌電路,且多為針對如類蔡氏系統這樣的特定系統,這樣對高階復雜混沌電路的研究自然就有了較大的價值.而現有的六階甚至更高階混沌電路主要是基于蔡氏電路電容耦合或者耦合兩個低階混沌電路的方法構造而成,其研究的目的都只是為了研究混沌控制與同步.那么是否能通過多個憶阻器來實現高階混沌系統呢?如果構建含三個憶阻器的六階混沌電路,它將具有一個更為復雜的位于三個憶阻器內部狀態變量所構成三維立體空間上的平衡點集,再加上高階電路擁有更加豐富的電路參數和更復雜的動力學行為,其應用于混沌保密通信中將更加難以破譯.為此,本文利用兩個磁控憶阻器和一個荷控憶阻器設計含三個憶阻器的新型六階混沌電路,電路接法上結合憶阻器與電感串聯、電容并聯以及浮地型三種形式,這樣將更加符合電路的一般化設計.利用理論推導研究它的平衡點集,結合相圖、分岔圖、Lyapunov指數譜等非線性分析手段分析系統的動力學特性.通常觀察混沌吸引子時都是關注的電壓、電流以及磁通之間的特性,而沒有報道過與功率和能量信號之間的特性,本文從功率和能量信號去探索其吸引子的產生,并詳細研究各憶阻器能量信號之間的關系,最后,將通過改變初始狀態去探索該系統能否產生共存吸引子.

2 憶阻器模型

作為一個無源二端口元件,憶阻器的磁通φ與累積的電荷量q之間的關系可以用φ-q或q-φ平面上的一條曲線來確定,憶阻器分為磁控型和荷控型兩種[1-3].荷控憶阻器磁通隨電荷量的變化率為：M(q)=dφ(q)/dq,流過的電流與兩端的電壓之間的伏安特性的表達式為v=M(q)i,其中M(q)稱為憶阻;磁控憶阻器電荷隨磁通的變化率為W(φ)=dq(φ)/dφ,流過的電流與兩端的電壓之間的伏安特性的表達式為i=W(φ)v,其中W(φ)稱為憶導. 這里的M(q)和W(φ)均是取決于憶阻器內部狀態變量φ或q的非線性函數.

常用的憶阻器模型有分段線性型(PWL)、二次或三次光滑型,本文均采用三次光滑憶阻器模型.即荷控憶阻器模型為

可得其憶阻為

其中a,b為常量.磁控型憶阻器模型及其憶導分別為

其中c,d為常量.

3 基于三個憶阻器設計的混沌電路

一個新型六階憶阻混沌電路如圖1所示,該電路主要由三個部分組成：一個磁控憶阻器與電容并聯,一個荷控憶阻器與電感串聯,另一個磁控憶阻器單獨且浮地.電路由2個磁控憶阻器、1個荷控憶阻器、2個電容和1個電感這六個動態元件構成,其對應的六個狀態變量分別為：φ1,φ2,q,v1,v2和iL,其中φ1,φ2和q是三個憶阻器的內部狀態變量.

運用基爾霍夫定律(KVL及KCL)以及元器件的伏安特性分析圖1所示電路,可以得到如下六個聯立的一階微分方程組：

為了便于進行數值分析,將方程組(5)進行變量代換,設x=v1,y=v2,z=iL,u=φ1,v=φ2,ω=q,δ=1/C1,β=1/C2,γ=1/L.方程組可以重寫為

式中：M(ω)=a+3bω2,W(u)=c+3du2,W(v)=e+3fv2;其中a,b,c,d,e,f為常量.選擇電路參數δ=9,β=1,γ=12;憶阻器參數a=0.01,b=0.03,c=-1.2,d=1,e=0.9,f=0.9,初始狀態取值為(0.1,0,0.1,0,0,0).利用六維龍格-庫塔算法,仿真得到系統的相空間或相平面的投影如圖2所示,可以看到系統生成了一個雙渦卷吸引子.采用Jacobi方法計算Lyapunov指數譜得LE1=0.2777,LE2=0.0069,LE3=-0.0023,LE4=-0.0008,LE5=-0.0004,LE6=-6.3380.系統(6)的Lyapunov維數DL=5.0444.由系統的相軌跡、Lyapunov指數、Lyapunov維數可知系統是混沌振蕩的.選取不同變量的Poincaré截面如圖3所示,可以看到Poincaré截面上有較為明顯的分形結構密集點并且吸引子的輪廓清晰可見,進一步說明此系統是混沌振蕩的.

圖2 典型的混沌吸引子相圖 (a)x-y-z平面;(b)x-z平面;(c)u-x平面;(d)u-y平面Fig.2.Phase portraits of typical chaotic attractor：(a)Onx-y-zplane;(b)onx-zplane;(c)onu-xplane;(d)onu-yplane.

圖3 Poincaré截面 (a)Poincaré映射在x-z上的投影;(b)Poincaré映射在u-y上的投影Fig.3.Section of Poincaré：(a)Poincaré projection onx-z;(b)Poincaré projection onu-y.

4 系統的基本動力學特性

4.1 系統平衡點及其穩定性分析

令(6)式各微分方程右邊為零,可得系統平衡點集為

即六維空間中u-v-ω三維子空間的任一點都是該系統的平衡點,(7)式中k1,k2,k3為實常數.當取電路參數δ=9,β=1,γ=12;憶阻器參數a=0.01,b=0.03,c=-1.2,d=1,e=0.9,f=0.9,選擇k1,k2和k3作為可調參數,將新系統在平衡點處線性化可求得Jacobi矩陣,然后根據平衡點集S對應的特征根方程可知系統(6)含有6個特征根：3個非零特征根和3個零特征根.最后,依據Routh-Hurwitz穩定條件,計算可得：

當k2=0,k3=0,則在k1-k2-k3構成三維立體的k1坐標軸上對應不穩定的范圍是

當k1=0,k3=0,則在k1-k2-k3構成三維立體的k2坐標軸上對應不穩定的范圍是

當k1=0,k2=0,則在k1-k2-k3構成三維立體的k3坐標軸上對應不穩定的范圍是

選取初始狀態值(0.1,0,0.1,u(0),v(0),ω(0))中的u(0),v(0)和ω(0)作為三個可變參數.當v(0)=0,ω(0)=0時,系統(6)隨初始值u(0)=k1變化的Lyapunov指數譜如圖4(a)所示.同理,隨初始值v(0)=k2,ω(0)=k3變化的Lyapunov指數譜分別如圖4(b)和圖4(c)所示.圖4中考慮到圖片的清晰度,故舍去了第5根Lyapunov指數曲線的部分和第6根Lyapunov指數曲線.

圖4 隨初始狀態變化的Lyapunov指數譜 (a)隨k1變化的Lyapunov指數譜;(b)隨k2變化的Lyapunov指數譜;(c)隨k3變化的Lyapunov指數譜Fig.4.The Lyapunov exponent spectra changing with initial state：(a)The Lyapunov exponent spectra changing withk1;(b)the Lyapunov exponent spectra changing withk2;(c)the Lyapunov exponent spectra changing withk3.

不同于一般的憶阻混沌系統,系統(6)的平衡點由磁控和荷控兩種憶阻器的初值狀態決定,從不同區域出發的運行軌線將有著不同的動力學行為.該系統的穩定性不僅受平衡點集S的三個非零特征根影響,而且其另外三個零特征根在一定的電路參數取值下也會對其動力學特性產生影響.對比圖4所示的Lyapunov指數譜和上述理論分析結果不難發現,在區間-0.249＜k2＜-0.105,0.105＜k2＜0.249,-0.556＜k3＜-0.2以及0.18＜k3＜0.556不同,在這幾個區間內系統為穩定的匯,主因是受平衡點集S三個零特征根的影響.還有一個值得指出的現象是,圖4(a),圖4(b)和圖4(c)中分別有區間0＜k1＜0.2,-0.1＜k2＜0.1,-0.1＜k3＜0.2中存在兩個大于的Lyapunov指數,該六階混沌電路出現了超混沌現象,即隨著初始狀態的改變,系統存在著從普通混沌到超混沌的轉變過程.

4.2 隨電路參數變化的動力學分析

系統參數的改變將會改變平衡點的穩定性,這將引起系統狀態的變化.對于上述確定的參數條件下,選擇電路參數γ作為控制參數,利用Lyapunov指數譜結合分岔圖和不同具體參數下的相軌圖來分析電路參數對該混沌系統的影響.當電路參數γ在區間[10,15]變化時,系統的Lyapunov指數譜和分岔圖如圖5所示.為了更清晰地呈現非負Lyapunov指數,因此在繪圖5(a)時舍去了第5根的數值較小部分和第六根Lyapunov指數曲線.

對比圖5(a)和圖5(b)不難看出,圖中各自運行軌線所體現系統穩定與不穩定狀態區域相互符合.系統是失穩突然進入混沌的,即通向混沌的道路為Hopf分岔[23],然后又經反倍周期分岔逐步退出混沌最終成為一個有界點.由圖5(b)可知,γ=10.5為Hopf分岔臨界點.當γ＜10.5時,系統相軌道為極限環,當γ＞10.5系統進入混沌態.當10.5≤γ＜14.25時,系統出現兩個大于的Lyapunov指數,即發生了超混沌行為.當14.25≤γ≤ 15時,系統歷經周期4、周期2、周期1極限環最終進入穩態.系統(6)產生的周期軌和混沌軌在u-y平面的投影如圖6所示.圖6(a)與圖6(b)反映了系統Hopf分岔通向混沌行為;圖6(b)和圖6(c)分別出現單渦卷與雙渦卷超混沌吸引子,與圖5(a)中呈現的最大Lyapunov指數為正的區間相對應;圖6(d),圖6(e)與圖6(f)印證了分岔圖中系統反倍周期分岔走出超混沌的過程.表1中列出了電路參數γ在各個變化區間所對應的不同動力學行為.

圖5 隨電路參數γ變化時的Lyapunov指數譜和分岔圖 (a)Lyapunov指數譜;(b)分岔圖Fig.5.The Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagram changing with the circuit parameterγ：(a)Lyapunov exponent spectra;(b)bifurcation diagram.

表1 電路參數γ在區間[10,15]的系統動力學行為Table 1.system dynamic behavior of circuit parameterγin interval[10,15].

圖6 隨電路參數γ變化時在u-y平面上的相圖 (a)γ=10.35(周期1);(b)γ=10.6(雙渦卷超混沌吸引子);(c)γ=13.9(單渦卷超混沌吸引子);(d)γ=14.35(周期4);(e)γ=14.4(周期2);(f)γ=14.8(周期1)Fig.6.Phase portraits onu-yplane with the change of circuit parameterγ：(a)γ=10.35(period-1);(b)γ=10.6(double scroll hyperchaotic attractor);(c)γ=13.9(single scroll hyperchaotic attractor);(d)γ=14.35(period-4);(e)γ=14.4(period-2);(f)γ=14.8(period-1).

4.3 暫態混沌與陣發周期現象

在上述分析改變電路參數的動力學參數條件下,當γ=10.51時,系統在有限時間尺度內出現混沌,即暫態混沌現象.從圖7(b)可以看出,在最初演化的t=1.5×104內系統的狀態是混沌的,對應圖7(a)中間部分的雙渦卷混沌吸引子,但隨著時間的推移,當t＞1.5×104時,y的波形幅度呈現擬周期態,對應圖7(a)中軌跡由中間的雙渦卷混沌吸引子逐步向外擴展達到外延的軌跡邊界.整個過程是隨著時間的演化,系統由混沌態逐漸轉化為擬周期態,此為暫態混沌現象.其產生原因是由于隨著控制參數的變化,相空間中混沌吸引子與其吸引盆之間的邊界距離不斷減小,直到在一個臨界值彼此相遇.此時該混沌吸引子觸及到一個不穩定的周期軌道而導致了邊界危機的發生.

當γ=13.89時,系統出現了穩態混沌伴隨陣發周期行為的奇異現象.圖8顯示了不同平面的伴隨陣發周期5的穩態混沌吸引子,即在混沌中共存一個周期5陣發周期軌道.經過大量的數值仿真,結果表明,此現象的出現不僅依賴于電路參數,同時對系統的初始條件也是極端敏感的.

圖7 暫態混沌現象 (a)u-y平面;(b)y的時域波形圖Fig.7.Transient chaos phenomenon：(a)Onu-yplane;(b)time domain waveform ofy.

圖8 伴隨陣發周期的穩態混沌行為 (a)u-x平面;(b)u-y平面Fig.8.With the period of intermittent steady chaotic behavior：(a)Onu-xplane;(b)onu-yplane.

4.4 隨憶阻器初始狀態變化的動力學分析

通常情況下,憶阻混沌系統對初始條件具有敏感依賴性[24],在含有三個憶阻器的混沌系統中,選擇系統初始狀態值(0.1,0,0.1,0,0,ω(0))中的ω(0)=k作為整個系統的控制參數,其在區間[0,0.25]變化的Lyapunov指數譜與分岔圖如圖9所示.圖9(a)從圖片清晰度考慮,舍去了第5根的數值較小部分和第6根Lyapunov指數曲線,可以觀察到Lyapunov指數譜和分岔圖是基本符合的.如圖9所示,當0≤k≤0.17時,系統Lyapunov指數形式為(+,+,0,0,0,-),表明系統在此區間發生了超混沌行為,能產生混沌吸引子.當0.17＜k≤0.22,此時系統處于周期狀態,而當k＞0.22,此時系統進入穩態.

圖9 隨初始狀態時的Lyapunov指數譜和分岔圖 (a)Lyapunov指數譜;(b)分岔圖Fig.9.The Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagram changing with initial state：(a)Lyapunov exponent spectra;(b)bifurcation diagram.

5 探索吸引子

5.1 奇怪吸引子與疊加型吸引子

通常觀察混沌吸引子時都是關注的電容的電壓、電感的電流以及憶阻器的磁通之間的特性,如果將其推廣到功率和能量信號將會產生什么現象呢?如圖10所示,取功率和類能量信號作為獨立信號,圖10(a)反映的是q與電感L的功率特性圖,其相圖為一個四渦卷混沌吸引子;圖10(b)和圖10(c)呈現的分別是v2,iL與憶阻器W(φ2)的能量間的特性,其中相圖10(b)為蓮花型吸引子;圖10(d)體現iL與荷控憶阻器M(q)的能量特性,其產生的吸引子為一個像四翼的蝴蝶型吸引子.

固定原系統參數不變,改變電路參數δ,對比參數分別取δ=7.65與δ=9.05時產生v2與電感L的功率特性圖.如圖11所示,兩個吸引子的不同之處在于,圖11(b)中的吸引子為圖11(a)中的吸引子的疊加而成,本文將其稱為疊加型吸引子.

圖10 奇怪吸引子 (a)q-P(L);(b)v2-W(W(φ2));(c)iL-W(W(φ2));(d)iL-W(M(q))Fig.10.Strange attractor：(a)q-q-P(L);(b)v2-W(W(φ2));(c)iL-W(W(φ2));(d)iL-W(M(q)).

圖11 疊加型吸引子 (a)疊加前相圖;(b)疊加后相圖Fig.11.Superposition type attractor：(a)Superimposed front phase diagram;(b)superimposed phase diagram.

圖12 刻畫憶阻器能量信號間的相軌圖 (a)i-v;(b)W(W(φ1))-W(W(φ2));(c)W(W(φ1))-W(M(q));(d)W(W(φ2))-W(M(q))Fig.12.Phase portraits for depicting between the memristor energy：(a)i-v;(b)W(W(φ1))-W(W(φ2));(c)W(W(φ1))-W(M(q));(d)W(W(φ2))-W(M(q)).

圖13 共存現象 (a)共存混沌吸引子;(b)混沌吸引子與周期2極限環共存;(c)周期2極限環與周期1極限環共存;(d)共存周期1極限環Fig.13.Phenomenon of coexistence：(a)Coexisting chaotic attractor;(b)coexistence of chaotic attractor and limit cycle with period-2;(c)coexistence of limit cycle with period-2 and period-1;(d)coexisting limit cycle with period-1.

5.2 探索各憶阻器間的能量信號

取各憶阻器的能量信號作為獨立信號,探索各憶阻器能量信號間的關系,如圖12所示.圖12(a)反映的是憶阻器W(φ2)兩端的i-v特性圖,體現出了憶阻器斜“8”字的記憶特性.圖12(b)—(d)分別呈現了各憶阻器能量信號之間產生的吸引子,從圖中可以看出,兩憶阻器的能量信號之間都能產生奇怪吸引子.其吸引子的形狀有點像憶阻器斜“8”字的記憶特性圖,產生該現象的原因與憶阻器本身的記憶特性有關.

5.3 共存吸引子

固定原系統δ,γ的值,初始值分別取(0.1,-0.1,-0.1,0,0,0)和(-0.1,-0.1,-0.1,0,0,0),當β取合適參數,能夠觀察到φ1與憶阻器W(φ1)的能量信號間產生共存吸引子現象,如圖13(a)所示.當β=3.06時,系統出現了共存混沌吸引子現象,且兩吸引子相互對稱即對稱吸引子.當β=3.25時,產生了混沌吸引子與周期2極限環共存現象,其對應圖13(b).而當β分別取3.6和4.0時,系統能分別產生周期2極限環與周期1極限環共存和共存周期1極限環現象,如圖13(c)和圖13(d)所示.該結果表明,在相空間中有著相互獨立的混沌吸引盆和準周期吸引盆.在憶阻混沌系統中共存現象有過少數報道,但還未在能量信號中研究其共存吸引子的產生.

6 總 結

利用具有光滑特性曲線的磁控和荷控兩種憶阻器模型,結合憶阻器與電容并聯、電感串聯和浮地型三種電路接法構造了一個六階混沌電路,使用常規動力學研究方法對其特性進行了相應的理論分析.研究表明,含三個憶阻器的混沌電路具有一個位于憶阻器內部狀態變量所構成三維空間上的平衡點集,并定性分析了該平衡點集的穩定性空間分布,采用相軌圖、Lyapunov指數譜以及分岔圖等動力學分析手段驗證了理論分析的正確性.將觀察混沌吸引子時關注的電壓、電流以及磁通之間的特性推廣到了功率和能量信號,觀察到了蓮花型、疊加型吸引子等奇怪吸引子的產生,并研究了三個憶阻器的能量信號之間產生的吸引子相圖.特別地,當初始狀態不同時,系統在能量信號關系中出現了共存混沌吸引子或周期極限環與混沌吸引子的共存現象.盡管該系統產生的超混沌、暫態混沌、陣發周期等復雜動力學行為在已有文獻報道,但這些現象都出現在了同一個憶阻混沌系統中尚不多見.本文提出的憶阻混沌電路豐富了憶阻器在高階混沌電路中的應用,對其進行深入研究具有重要的理論意義和工程應用價值.由于在一定的電路參數下,該電路的穩定性同時受平衡點集的三個非零特征根和三個零特征根影響,并對電路參數和系統初始值具有很強的敏感性,較其他混沌系統具有更多的電路參數和更加復雜的拓撲結構,擁有更豐富的混沌動力學行為,提高了混沌系統的復雜度及其產生信號的隨機性.因此應用于混沌保密通信中加密的信息更難破譯,將擁有更好的保密性能和安全性能.

[1]Strukov D B,Snider G S,Stewart D R,Williams R S 2008Nature453 80

[2]Tour J M,He T 2008Nature453 42

[3]Chua L O 1971IEEE Trans.Circ.Theory18 507

[4]Wu A L,Zeng Z G 2012Neural Networks36 1

[5]Duan S K,Hu X F,Wang L D,Li C D 2012Sci.China:Inf.Sci.55 1446

[6]Li Q D,Zeng H Z,Li J 2015Nonlinear Dyn.79 2295

[7]Hong Q H,Li Z J,Zeng J F,Zeng Y C 2014Acta Phys.Sin.63 180502(in Chinese)[洪慶輝,李志軍,曾金芳,曾以成2014物理學報63 180502]

[8]Chua L O 2011Appl.Phys.A102 765

[9]Wang L,Yang C H,Wen J,Gai S 2015J.Mater.Sci.26 4618

[10]Yuan F,Wang G Y,Wang X W 2016Chaos26 073107

[11]Chua L O 2015Radioengin24 319

[12]Lin Z,Wang H 2010IETE Tech.Rev.27 318

[13]Min G Q,Wang L D,Duan S K 2015Acta Phys.Sin.64 210507(in Chinese)[閔國旗,王麗丹,段書凱 2015物理學報64 210507]

[14]Itoh M,Chua L O 2008Int.J.Bifurc.Chaos18 3183

[15]Muthuswamy B,Kokate P P 2009IETE Tech.Rev.26 417

[16]Muthuswamy B,Chua L O 2010Int.J.Bifurc.Chaos20 1567

[17]Bao B C,Liu Z,Xu J P 2010Chin.Phys.B19 030510

[18]Li Z J,Zeng Y C 2013Chin.Phys.B22 040502

[19]Bao B C,Hu F W,Liu Z,Xu J P 2014Chin.Phys.B23 070503

[20]Bao B C,Shi G D,Xu J P,Pan S H 2011Sci.China:Tech.Sci.41 1135(in Chinese)[包伯成,史國棟,許建平,劉中,潘賽虎2011中國科學：技術科學41 1135]

[21]Buscarino A,Fortuna L,Frasca M,Valentina G L 2012Int.J.Non.Sci.22 023136

[22]Hong Q H,Zeng Y C,Li Z J 2013Acta Phys.Sin.62 230502(in Chinese)[洪慶輝,曾以成,李志軍2013物理學報62 230502]

[23]Benhabib J,Nishimura K 1979J.Econ.Theory21 421

[24]Bao B C,Xu J P,Liu Z 2010Chin.Phys.Lett.27 070504

PACS:05.45.—a DOI:10.7498/aps.66.040502

Research on a six-order chaotic circuit with three memristors?

Wang WeiZeng Yi-Cheng?Sun Rui-Ting

(School of Physics and Optoelectronic Engineering,Xiangtan University,Xiangtan 411105,China)

26 August 2016;revised manuscript

23 November 2016)

A memristor is a nonlinear nanoscale-sized element with memory function,and it has an italic type “8” voltagecurrent relation curve that looks like a pinched hysteresis loop characteristic.The memristor is utilized to construct chaotic circuit,which has attracted the attention of the researchers.At present,most of studies focus on applying one or two memristors to the chaotic circuit.In order to study the multi memristor chaotic circuit,in this work we propose a sixorder chaotic circuit with two flux-controlled memristors and a charge-controlled memristor.A corresponding six-order nonlinear dynamic differential equation of the circuit state variables is established.The dynamic properties of the circuit are demonstrated in detail.The analyses of equilibria and equilibrium stability show that the circuit has an equilibrium located in the three-dimensional space which is constituted by memristor internal state variables,and it is found that the equilibrium stability is determined by the circuit parameters and the initial states of three memristors.The Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagrams of the circuit imply that it can produce two bifurcation behaviors by adjusting its parameters,which are Hopf bifurcation and anti-period doubling bifurcation.The hyperchaos,transient chaos and intermittency cycle phenomena are found in the same system.The dynamical behavior of this circuit is dependent on the initial state of memristor,showing different orbits such as chaotic oscillation,periodic oscillation and stable sink under different initial states.Finally,the simulation results indicate that some strange attractors like lotus type and superposition type are observed when voltage and electricity signal in observing chaotic attractors are generalized to power and energy signal,respectively.And the attractor production between the energy signals of the memristors are studied.Specially,when different initial conditions of three memristors are used to simulate the circuit,we can find the coexistence phenomenon of chaotic attractors with different topological structures or quasi-periodic limit cycle and chaotic attractor.

The six-order chaotic oscillating circuit is mainly composed of three parts:the parallel connection between aflux-controlled memristor and capacitor,the serial connection between a charge-controlled memristor and inductor,and another flux-controlled memristor that is alone and floating,which enriches the application of memristor in highorder chaotic circuit.Compared with most of other chaotic systems,it has many circuit parameters and very complex topological structure,which enhances the complexity of chaotic system and the randomness of the generated signal.It is more difficult to decipher the encrypted information in chaotic secure communication,and thus it has better security performance and safety performance.

memristor,six-order chaotic circuit,floating,dynamics

:05.45.—a

10.7498/aps.66.040502

?國家自然科學基金(批準號：61471310)資助的課題.

?通信作者.E-mail：yichengz@xtu.edu.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.61471310).

?Corresponding author.E-mail：yichengz@xtu.edu.cn