Birkhoff動力學函數成為約束系統第一積分的判別方法?

崔金超 廖翠萃 劉世興 梅鳳翔

1)(江南大學理學院,無錫 214122)

2)(遼寧大學物理學院,沈陽 110036)

3)(北京理工大學宇航學院,北京 100018)

Birkhoff動力學函數成為約束系統第一積分的判別方法?

崔金超1)廖翠萃1)劉世興2)梅鳳翔3)?

1)(江南大學理學院,無錫 214122)

2)(遼寧大學物理學院,沈陽 110036)

3)(北京理工大學宇航學院,北京 100018)

(2016年9月6日收到;2016年11月18日收到修改稿)

基于Birkhoff動力學函數包含系統全部運動信息的觀點,借鑒Hamilton系統導出第一積分的思路,結合自治、半自治Birkhoff方程的定義和Birkhoff張量反對稱性的特點,研究判別給定Birkhoff動力學函數是否是系統第一積分的方法.主要結論包括：證明自治系統的Birkhoff函數必是系統的第一積分,而半自治系統的Birkhoff函數一定不是系統的第一積分;針對非自治Birkhoff系統,導出循環積分、類循環積分以及Hojman積分,并討論積分之間的關系.最后,通過兩個例子來說明結論的具體應用.

約束力學系統,Birkhoff方程,Birkhoff動力學函數,第一積分

1 引 言

約束力學系統按照所受約束在Frobenius定理意義下是否可積,分為完整系統和非完整系統[1-3].完整保守系統的運動規律,可以用Lagrange方程或Hamilton方程來描述.這兩類方程都是自伴隨的,并且Hamilton方程還具有變分原理與辛結構共棲的特性,其中自伴隨性質保證了系統的運動方程可由某種變分原理導出,因而是系統演化曲線極值特性的反映,同時它還是系統對稱性的體現.辛結構是Hamilton系統相空間的幾何特征,也是構造辛算法的基礎.當力學系統擴展到完整非保守系統時,人們自然希望描述系統運動規律的微分方程,仍然保持完整保守系統那樣的自伴隨性質和幾何結構.對這一問題的研究使得Lagrange逆問題、Hamilton逆問題向Birkhoff逆問題推廣[4-8].在Birkhoff逆問題框架下,完整系統(保守的或非保守)實現了普適的自伴隨表示,即Birkhoff方程形式,同時還表現出一般辛結構的幾何特征.然而,Birkhoff系統的偶數維特性使其不能涵蓋一般的非完整系統.事實上要實現非完整系統普適的自伴隨表示,需要尋求更為一般的動力學形式.文獻[9]研究了這一問題,得到了描述非完整系統普適的、自伴隨的、具有預辛幾何結構的廣義Birkhoff方程形式.

分析力學從Lagrange系統到廣義Birkhoff系統的不斷發展,最終實現了約束力學系統的自伴隨表示,但隨之而來的問題是如何求解系統的動力學方程[10-15].不論是Birkhoff方程還是廣義Birkhoff方程,其積分理論都是現階段要研究的基本問題[16-21].但Birkhoff方程的偏微分方程特征使其通解難以求得,這時如果能找到某些第一積分,對于我們了解系統的演化規律將是有益的.如果給定系統的Birkhoff動力學函數,就能寫出對應的Birkhoff方程,因此Birkhoff動力學函數實際上包含了系統全部的運動信息,這些信息當然也包括第一積分在內.這提示我們若對Birkhoff動力學函數做適當的分析,就可能從中找到系統的第一積分.本文研究這一問題,主要利用與Birkhoff方程有關的運算技巧,結合Birkhoff張量的反對稱性,研究判別Birkhoff動力學函數成為系統第一積分的方法,推導過程和結論也適用于廣義Birkhoff方程的情形.

在第2部分,介紹完整系統的一階標準形式及其Birkhoff表示;在第3部分,具體研究Birkhoff方程的第一積分,得到系統的類能量積分、類循環積分、循環積分以及Hojman積分;在第4部分,通過兩個例子說明本文結論的具體應用;在第5部分,總結全文并對結果進行討論.

2 完整約束系統的Birkhoff方程

完整約束系統在位形空間中的運動可用如下基本形式描述

其中qi(i=1,2,···,n)是廣義坐標,i是廣義速度.這里及以下采用愛因斯坦求和約定.

一般來說,完整系統在方程(1)的形式下不是自伴隨的,其自伴隨化問題需要在變分逆問題框架下研究.在Lagrange逆問題框架下,存在一些完整系統,其運動微分方程(1)由于無法滿足Helmholtz條件,而沒有等價的Lagrange方程形式.此類系統被稱為本質非自伴隨系統.雖然本質非自伴隨系統可以先通過降為一階方程組,然后利用自伴隨因子Hamilton化,但此時的Hamilton函數不再具有明顯的物理意義,相空間的變量也失去了實驗室可觀測性質.這種為了形式上實現Hamitlon表示,而放棄系統動力學變量、動力學函數物理意義的策略,與分析力學一貫以實際物理系統為研究對象的傳統模式相悖.于是,要堅持分析力學的傳統模式,就要放棄Hamilton方程簡單辛結構的限制,代之以一般辛結構,從而在Birkhoff逆問題框架下實現完整系統普適的自伴隨表示.

具體到完整系統位形空間的運動方程(1),其Birkhoff化需要先通過變量替換化為如下一階標準形式[22]：

然后以方程(2)為出發點,再依據下述定理實現完整系統的自伴隨表示.

定理1[22]任何局域、解析、正規、完整的一階力學系統(2),在其正規點的星形鄰域上,總能實現自伴隨的、保持動力學函數和變量物理意義的Birkhoff方程形式,即

其中B(t,a)稱為Birkhoff函數,2n個函數Rμ(t,a)稱為Birkhoff函數組.

為方便起見,本文將2n+1個函數(B,Rμ)統稱為Birkhoff動力學函數.若引入Birkhoff張量

則方程(3)可寫為

若上式中函數B和Rμ都不顯含時間t,則(5)式成為自治Birkhoff方程形式,即

又若函數Rμ不顯含時間t,而函數B顯含時間t,則(5)式成為半自治Birkhoff方程形式,即

3 Birkhoff方程的第一積分

現在,我們考察自治和半自治Birkhoff系統的動力學函數與第一積分之間的關系.

3.1 類能量積分

定理2自治Birkhoff方程(6)的Birkhoff函數B(a)一定是系統的第一積分,而半自治Birkhoff方程(7)的Birkhoff函數B(t,a),一定不是系統的第一積分.

證明首先,將半自治方程(7)兩端同乘μ,即

注意到Birkhoff張量Ωμν的反對稱性,易得

其次,求函數B(t,a)的全導數,并將上式代入得

于是：1)對于自治Birkhoff方程,因函數B不顯含t,故

即B=const是系統的第一積分.

與Hamilton系統的能量積分相對應,我們將自治Birkhoff系統的第一積分(11)稱為類能量積分.

3.2 類循環積分

定理3若Birkhoff動力學函數B和Rμ滿足

則非自治Birkhoff方程(3)有類循環積分

對定理3中的條件做進一步限定,可得如下推論.

推論1若Birkhoff動力學函數B和Rν滿足

則Birkhoff方程有類循環積分(13).

為導出系統的循環積分,我們先給出循環坐標的定義.

定義1 若Birkhoff動力學函數B和Rμ都不顯含變量ak,即

則稱ak為循環坐標.

利用循環坐標的定義1和定理3,可得如下推論.

推論2 若ak為循環坐標,則Birkhoff方程有循環積分(13).

顯然,循環積分一定是類循環積分,反之亦然.此外,推論1,2中的條件都只是系統有類循環積分的充分條件,而不是必要條件,只有定理3的條件(12)才是充分必要的.

3.3 Hojman積分

若已知完整系統(2)全部獨立的第一積分Iα(t,a)(α=1,2,···,2n),則Birkhoff動力學函數可由下式確定：

其中函數Gα=Gα(I(a))要滿足正規性條件

這種構造Birkhoff動力學函數的方法稱為Hojman方法[5].

可以驗證,由Hojman方法構造的B和Rμ總滿足如下關系：

將這一關系與完整系統的一階標準形(2)式相結合,我們得到如下定理.

定理4若完整系統的一階標準形式μ=Ξμ(t,a)不顯含ak,且Birkhoff動力學函數B和Rμ滿足關系(22),則Birkhoff系統有Hojman積分

證明將關系式B=Rμμ代入Birkhoff方程的第k個方程(14),得

下面我們討論Hojman積分與類循環積分的關系.

定理5當時,Hojman積分(23)成為類循環積分(13).

4 算 例

例1 給定系統的Birkhoff動力學函數為[23]

試判斷其中的第一積分.

1)類能量積分：容易看出,(31)式決定的Birkhoff方程是自治的.于是由定理2知

是系統的類能量積分.

2)循環積分：注意到(μ=1,2,3,4),由定義1知a1是循環坐標,再由推論2知

是系統的循環積分.

最后,可以驗證當k=2,4時,定理3的條件(12)成立,因此R2=0,R4=0可以看作是系統的平凡類循環積分.

在文章引言部分我們指出,本文的方法和結論也適用于非完整系統廣義Birkhoff方程第一積分的求解,舉例如下.

例2 考慮非完整的Appell-Hamel椅子輪系統,其Lagrange函數為

所受非線性非完整約束為

此系統的一組廣義Birkhoff動力學函數為[24]

試判斷其中的第一積分.

1)循環積分：由(36)式可以看出,函數B和RI(I=1,2,3,4,5)均不含變量a1,a2,故a1,a2為循環坐標.由推論1知,系統有如下循環積分：

注意到R5=0是系統的平凡積分,這表明ak為循環坐標的確僅是Rk為循環積分的充分條件,而不是必要條件.

成立,于是由推論1知,R5=0是系統的平凡類循環積分.

3)Hojman積分：將(36)式給出的函數B和RI代入(3)式,可得系統的Birkhoff方程,由Birkhoff方程又可導出系統的一階標準形式

5 結 論

Brikhoff系統是一類更具一般意義的基礎動力學系統,Brikhoff系統動力學的理論與方法已被用于強子物理、量子物理、相對論、轉動相對論以及分數階動力學系統[19,22,25-27].值得關注的是對于一個給定的動力學系統,如何判別其Brikhoff函數是否是系統的第一積分,以及如何尋找非自治Brikhoff系統的第一積分,都是重要而基本的動力學問題.

本文借鑒Hamilton方程推導能量積分、循環積分的思路,運用分析技巧找到了Birkhoff動力學函數和第一積分之間的聯系,并以定理和推論的形式給出了函數B和Rμ成為系統的類能量積分、類循環積分以及Hojman積分的判別條件,并討論了類循環積分和Hojman積分之間的關系.在第4部分,我們通過兩個例子說明結論的應用.例1是完整系統自治Birkhoff方程的情形,此時的Birkhoff函數一定是系統的第一積分,這一點可以通過寫出系統的一階標準形式加以驗證;例2是非完整系統Birkhoff方程的情形,詳細給出了文中提到的各類積分的求解過程,同時也說明本文的方法和結論適用于廣義Birkhoff系統.

應該看到,本文的方法對于判斷給定的函數B和Rμ是否是系統的第一積分是有效的,但不能給出更多新的積分.彌補這一不足的可能方法是利用合痕變換得到多組等價的Birkhoff動力學函數,然后利用本文的結論加以判斷.除此以外,我們也希望在后續研究中發展出更為直接的方法來求解Birkhoff方程的第一積分.

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PACS:02.30.Jr,45.20.—d,45.30.+s DOI:10.7498/aps.66.040201

A method of judging a Birkhoffian to be a first integral of constrained mechanical system?

Cui Jin-Chao1)Liao Cui-Cui1)Liu Shi-Xing2)Mei Feng-Xiang3)?
1)(School of Science,Jiangnan University,Wuxi 214122,China)
2)(College of Physics,Liaoning University,Shenyang 110036,China)
3)(School of Aerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100018,China)

6 September 2016;revised manuscript

18 November 2016)

As is well known,the development of analysis mechanics from Lagrangian systems to Birkhoffian systems,achieved the self-adjointness representations of the constrained mechanical systems.Based on the Cauchy-Kovalevsky theorem of the integrability conditions for partial differential equations and the converse of the Poincaré lemma,it can be proved that there exists a direct universality of Birkhoff’s equations for local Newtonian system by reducing Newton’s equations into a first-order form,which means that all local,analytic,regular,finite-dimensional,unconstrained or holonomic,conservative or non-conservative forms always admit,in a star-shaped neighborhood of a regular point of their variables,a representation in terms of first-order Birkhoff’s equations in the coordinate and time variables of the experiment.The systems whose equations of motion are represented by the first-order Birkhoff’s equations on a symplectic or a contact manifold spanned by the physical variables,are called Birkhoffian systems.The theory and method of Birkhoffian dynamics are used in hadron physics,quantum physics,relativity,rotational relativity,and fractional-order dynamics.

At present,for a given dynamical system,it is important and essential to determine whether a Birkhoffian function is the first integral of the system.Although the numerical approximation is an important method of solving the differential equations,the direct theoretical analysis is more helpful for refining the general integral method,and more consistent with the usual way of solving problems of analysis mechanics.In this paper,we study how to judge whether a given Birkhoffian dynamical function to be a first integral of Birkhoff’s equations,based on the point of Birkhoffian dynamical functions carrying all the informationabout motion of the system,and use the thought of deriving the first integrals of Hamiltonian systems.In Section 2,the normal first-order form and the Birkhoff’s equations of the equations of motion of holonomic systems are introduced.In Section 3,we prove that the Birkhoffian function of an autonomous Birkhoffian system must be a first integral,and the Birkhoffian function of a semi-autonomous system must not be a first integral.Moreover,the energy integral,cyclic integral and Hojman integral of the non-autonomous Birkhoffian systems are given.In Section 4,two examples are given to illustrate the applications of the results.In Section 5,the full text is summarized and the results are discussed.It is necessary to point out that the judging method is effective to determine whether a given Birkhoffian functions can be identified to be a first integral of Birkhoff’s equations,but other new first integral cannot be found with this method.One possible method of covering the shortage is to obtain other equivalent Birkhoffian functions in terms of isotopic transformations of Birkhoff’s equations,and then use our results to seek the new first integral.In addition,we also hope to develop a more direct method of obtaining the first integrals of Birkhoff’s equations in the next study.

constrained mechanical systems,Birkhoff’s equations,Birkhoffian dynamical functions,first integrals

:02.30.Jr,45.20.—d,45.30.+s

10.7498/aps.66.040201

?國家自然科學基金(批準號：11472124,11401259,11272050)和江南大學自主科研計劃(批準號：JUSRP11530)資助的課題.

?通信作者.E-mail：meifx@bit.edu.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11472124,11401259,11272050)and the Self-determined Research Program of Jiangnan University,China(Grant No.JUSRP11530).

?Corresponding author.E-mail：meifx@bit.edu.cn