基于蒙特卡洛有限元算法的建筑節約用材研究?

申琳 李曉剛

（1.楊凌職業技術學院楊凌712100）（2.西安協鑫新能源管理有限公司西安733000）

基于蒙特卡洛有限元算法的建筑節約用材研究?

申琳1李曉剛2

（1.楊凌職業技術學院楊凌712100）（2.西安協鑫新能源管理有限公司西安733000）

針對建筑用材在現實生活中過度消耗的問題，該研究以建筑結構節約用材為切入點，深入分析結構荷載可靠性指標，通過攝動有限元算法結合隨機場效應在計算可靠性指標的基礎上，構建了解決建筑節約用料的蒙特卡洛有限元算法。利用Hasofer迭代和Orthogonal變換分別優化功能函數和隨機變量轉換，將標準正態變量空間與中心原點距離最小值的點作為算法的核心，給出了節約條件下建筑用材的結構可靠性求解。通過建筑過程中的梁可靠度進行分析，結果表明：該研究提出的算法在隨機參數較小的條件下，建筑結構強度仍具有可靠性，對減少建筑用材的需求具有參考性。

有限元算法；蒙特卡洛方法；建筑用料；結構可靠性；節約用材

Class NumberTP391.7

1 引言

隨著計算機技術的迅速發展，建筑節約用材及其帶動的數據分析量在不斷擴大。建筑材料是建筑業建設的物質基礎保障，并且眾多的原材料作為不可再生資源令我國耗材巨大。為了解決建筑節能設計，利用計算機技術與軟件信息對建筑設計起到了至關重要的輔助功能［1］。目前常用的建筑輔助軟件有建筑信息模型（BIM）［2］、計算機輔助建筑設計（CAAD）［3］和谷歌草圖大師（Google Sketchup）［4］等。同時，計算機技術處理建筑節約用材主要運用了DTAC算法［5］、遺傳算法［6］和粒子群算法［7］等。本研究以有限元算法為主線，利用建筑結構勢能泛函數、極限狀態分別分析了結構隨機參數、結構可靠性，將隨機場加入到模型中，結合攝動隨機有限元法和可靠指標共同建立蒙特卡洛有限元優化迭代算法求解建筑節約用材可靠指標。該算法重點分析了建筑節約用材后的可靠性，為集約化建筑用料提供改了計算參考意義。

2 蒙特卡洛有限元算法

2.1 攝動隨機有限元法

利用建立在隨機場的S(x，θ)，對滿負結構荷載以及充滿彈性參數的模量進行處理［8］，并通過采用空間離散的方法，對隨機場S(x，θ)內的隨機變量S=[S1，S2，…，SM]T實行轉化。利用變分法［9］，同時在構建結構勢能泛函數的開始就將結構隨機參數以隨機性的方式加入到模型之中，從而來構建隨機有限元法控制方程，構建的方程如下：

在上述方程中，K-，a-和P-分別表示隨機矩陣K，a和P在均值S-處的值，Ki，ai和Pi分別表示K，a和P對Si的一階偏導數在S-處之值。

2.2 結構可靠性

對結構的可靠性進行分析的過程中，我們能夠利用功能函數Z對結構的極限狀態進行描述［10］，這樣的情況下將會影響自變量，當結構工作中的基礎隨機變量成為自變量，Z可寫為

在上述的函數中，S表示在建筑結構中施工過程以及使用材料的過程中幾何參數、材料參數以及荷載參數等變量。關于建筑過程中的結構可將其定義為［11］

在上述的公式中，σz以及Z-分別表示功能函數Z的標準差和均值。

2.3 優化迭代算法

從優化迭代算法的角度來看，可以從幾何意義的角度出發來對結構可靠的指標進行求解。在標準的正態隨機變量空間中，隨機變量的幾何意義代表著極限狀態曲面到坐標原點之間距離的最小值。因此，在標準的正態隨機變量空間中［12］，獲得可靠指標的途徑，需要通過在功能函數面G(x)上找到與坐標原點之間距離最小值的點P*。而實際上，對于尋找的點P*是一個優化的問題：

在上述的公式中，x*=(x1*，x*2，…，x*n)代表著功能函數Z面上的隨機驗算點。通過Hasofer的優化迭代算法進行采用后［13］，還需要對式（4）進行求解。通過式（5）的方法，能夠得出驗算點x*的位置：

如上所示，x(k+1)表示第k+1次的優化迭代算法而計算得到的驗算點，‖gradG(x(k))‖和gradG(x(k))則分別代表著由第k次優化迭加而計算出的功能函數的范數以及梯度，而ξ則表明了迭代中驗算點移動的總體方向。

3 建筑節約用材可靠性指標

3.1 梯度函數求解

人們常用的RMCS方式主要是通過分析抽樣的方法來對一些可靠的指標數據進行獲取［14］，而本文選取的優化迭代算法是建立在攝動隨機有限元法求解的方法上對可靠指標進行獲取。本文選取的優化迭代算法之所以能夠實現與攝動隨機有限元法相結合，其最為關鍵的原因在于，根據前部分提出的式（5），在得知隨機有限元法控制方程的情況下很容易推算出式子中的梯度向量gradG(x(k))。一般情況下得到的信息僅僅限于一些僅能夠表現出變量結構的隨機變量S，而實際上并不能通過在非標準的空間下對處于非正態分布的隨機變量空間的隨機變量進行推算，因此能夠得出gradG(x(k))為

對于一般難以用隨機變量進行表達的功能函數g(S)，無法直接通過推理和計算的方式來對梯度gradg(S)進行求解。而在我們研究的對象轉為力學的時候，在力學特性的基礎上將可以對功能函數進行劃分，將其中的隨機變量劃分為結構抗力R以及隨機變量S等兩類與作用效應F有關類別。根據上述的描述，可以得到如下的功能函數的梯度為

式（7）中，gR，gF代表中間變量R，F的梯度向量，JR，JF分別表示R，F的Jacobi矩陣。對于無法解決S顯式表示的結構隨機響應F，我們能夠利用Jacobi矩陣來進行求解，但是在整體過程中，求解JF的過程非常繁雜。相對來說gF以及JR，gR都是比較容易求解得出的。這幫助了我們來確定下一步，即需要確定JF的第i行的轉置是隨機響應F的一階偏導數，因此取結點位移為{ai}時能夠得到下式

3.2 變量變換

對于一階偏導數?S/?x的確定，首先需要確定的就是隨機變量S如何進行處理的問題，首先將采取Orthogonal的變換［15］，在利用正交變換的方法得出非相關隨機變量Y：

上式中的A是通過正交規范化特征向量形成的矩陣，再將Y進行標準化處理，得出非相關性的標準正態隨機變量X：

上式中，Y-i，σYi代表著Yi的均值和標準差。

3.3 算法求解流程

將優化迭代算法以及攝動隨機有限元法的方法相結合，計算出標準正態變量空間與中心原點距離最小值的點，這種基于驗算點的迭代算法記為RPSFEM1。其具體的步驟如下：

Step1：首先需要將隨機場進行離散處理，離散成為隨機變量S，同時計算出S的協方差矩陣CS，此時還需要計算出CS的特征向量和特征值；

Step2：參照功能函數式F分別求出一階導數?g/?R和?g/?F；

Step3：將初始的迭代點設定為S(0)，一般情況下一般將均值點S-設立為初始迭代點，此時，β0=0；

Step4：在優化迭代算法開始時，再形成剛度矩陣S-以及荷載列陣P-，解剛度方程得a-，形成驗算點處的Ki，Pi，由式（1）求得ai；

Step5：通過計算建筑材料結構控制面撓度σ求解變量結構的隨機變量Si的一階偏導數，利用式（6）、（7）和（10）計算功能函數梯度的gradG(S)；

Step6：最后通過計算功能函數g(S)對迭代效果進行算法收斂判斷，若g(S)≤ε，則對尋找的點可靠性指標繼續進行判別：如Δβ＞ε，則算法轉至Step3，繼續進行迭代計算；若Δβ≤ε，則算法滿足收斂條件，停止迭代。

從上述的優化迭代算法的基本步驟中看到，在Step4時，當變異系數處于較低值的時候，能夠計算出驗算點位移的大小。還可以計算出在均值處a，ai，aij位移發生后，再利用a*i=Si*-Si-的公式來求出位移a*。這種基于均值點的迭代算法記為RPSFEM2。

4 實驗模擬

在實驗模擬的部分將分三種情況來考慮設定的隨機參數的隨機性。首先是對彈性模量進行的隨機性考察，在處理中將均布荷載當作已經確定的參數；再者需要對均布荷載的隨機性進行考察；最后還需要將前兩者的情況同時考察。在這三種不同的建筑情況下，可以分別利用RPSFEM1和RPS?FEM2對建筑過程中的梁可靠度進行分析，同時還需要將這些結果進行比較并且做出誤差分析，分析如圖1～圖3所示。

圖1建筑材料彈性模量隨機性

圖2建筑材料均布荷載隨機性

圖3建筑材料彈性模量和均布荷載隨機性

從圖1中不難發現，在彈性模量設定隨機的情況下，在變異系數低于0.10的情況下，采用RPS?FEM1以及RPSFEM2得出的演算結果未呈現出明顯的差異，同時通過RMCS的計算以及前者的計算均低于5%。在變異系數高于0.10時，與RPS?FEM1，RPSFEM2的計算方法相比，得出的結果與之前的計算方法得出的計算結果相對誤差較小。當隨機系數開始變大的時候，RPSFEM1以及RPS?FEM2得出的演算結果的誤差也在相應的增加，并且當變異系數高于0.10時，兩者之間的誤差較大，而在變異系數為0.15時，誤差高達7%。

從圖2中不難發現，當處于荷載隨機的狀態下，當得出的變異系數在逐步增加時，采用RPS?FEM1以及RPSFEM2得出的演算結果未呈現出明顯的差異。還發現，盡管采用RPSFEM1、RPSFEM2與RMCS方法得出的誤差和變異系數的增加呈現正相關，但是這樣的誤差并不超過1%。

從圖3中不難發現，在兩者同時隨機的情況下，當得出的變異系數在逐步增加時，采用RPS?FEM1以及RPSFEM2得出的演算結果未呈現出明顯的差異。但是與前者不同的在于，隨著變異系數的增大，它們的誤差也會增大。當計算出的變異系數低于0.10時，采用前者計算方法得出的結果與后者得出的計算結果誤差小于5%。當計算出的變異系數等于0.10時，采用前者計算方法得出的結果與后者得出的計算結果誤差都比較大。當計算出的變異系數高于0.10時，采用前者計算方法得出的結果與后者得出的計算結果誤差高達6.6%。通過對比，能夠得出的結論是，在荷載隨機影響的情況下，利用RPSFEM1和RPSFEM2得出的計算結果是吻合得相對較好的。通過將第一種情況與第三種情況相對比我們也不能發現，在彈性模量的隨機影響下，當變異系數高于0.15時，采用前者計算方法得出的結果與后者得出的計算結果誤差相對較高，高于5%，因此只能應用于隨機參數較小的可靠度分析。

5 結語

本文以建筑結構可靠性為出發點，重點分析了外荷載隨機性條件下的建筑材料彈性模量，旨在減少建筑用料。利用攝動有限元算法結合隨機場效應在計算可靠性指標，構建了蒙特卡洛有限元算法的結構可靠性求解，分別利用Hasofer迭代和Or?thogonal變換優化了算法的求解，并且通過建立基于驗算點和均值點的迭代算法給出了節約條件下建筑用材的結構可靠性。最后通過對建筑材料彈性模量的演算結果表明：利用細化后的兩種算法方式可為建筑節約用材條件下的可靠性進行計算，這為減少建筑用材提供了數據計算保證。

［1］王鵬飛.淺談計算機輔助建筑設計與綠色建筑設計的結合［J］.計算機光盤軟件與應用，2013（7）：40-41. WANG Pengfei.Discussion on the Combination of Comput?er Aided Architectural Design and Green Building Design［J］.Computer CD-ROM Software and Application，2013（7）：40-41.

［2］周春波.BIM技術在建筑施工中的應用研究［J］.青島理工大學學報，2013，34（1）：51-54. ZHOU Chunbo.Application of BIM Technology in Build?ing Construction［J］.Journal of Qingdao Technological University，2013，34（1）：51-54.

［3］孫曉峰，魏力愷，季宏.從CAAD沿革看BIM與參數化設計［J］.建筑學報，2014（8）：41-45. SUN Xiaofeng，WEI Likai，JI Hong.Evolution of CAAD from BIM and Parametric Design［J］.Journal of Architec?tural Education，2014（8）：41-45.

［4］張瑞菊.SketchUp結合Google Earth在虛擬校園中的應用［J］.計算機應用，2013，33（1）：271-272. ZHANG Ruiju.The Application of SketchUp in Virtual Campus［J］.Computer Application，2013，33（1）：271-272.

［5］黃志煒，駱世廣，李綿升.動態目標的建筑供冷自適應控制機制研究［J］.建筑節能，2013（5）：8-11. HUANG Zhiwei，LUO Shiguang，LI Jinsheng.Research on Adaptive Cooling Mechanism of Buildings with Dynamic Targets［J］.Building Energy Efficiency，2013（5）：8-11.

［6］諶文武，張宇翔，和法國.基于FLAC和遺傳算法的斜坡加固方案優化方法［J］.中南大學學報（自然科學版），2011，42（11）：3507-3514. KAN Wenwu，ZHANG Yuxiang，HE Faguo.Optimization of Slope Reinforcement Schemes Based on FLAC and Ge?netic Algorithm［J］.Journal of Central South University（Natural Science），2011，42（11）：3507-3514.

［7］吳洲，葉倩，羅堃.基于粒子群算法的室內環境節能優化控制［J］.微計算機信息，2010，26（7）：159-161. WU Zhou，YE Qian，LUO Kan.Energy-saving optimiza?tion control of indoor environment based on particle swarm optimization［J］.Microcomputer information，2010，26（7）：159-161.

［8］張傳巖，洪曉光，彭朝暉.基于SVM和擴展條件隨機場的Web實體活動抽取［J］.軟件學報，2012，23（10）：2612-2627. ZHANG Chuanyan，HONG Xiaoguang，PENG Chaohui. Extraction of Web Entities Based on SVM and Extended Conditional Random Fields［J］.Journal of Software，2012，23（10）：2612-2627.

［9］丁光濤.變分法逆問題研究的若干進展［J］.北京大學學報（自然科學版），2016，52（4）：732-740. DING Guangtao.Some Advances in Inverse Problem of Variational Method［J］.Journal of Peking University（Nat?ural Science），2016，52（4）：732-740.

［10］馮興中.工程結構承載力極限狀態與正常使用極限狀態可靠度的比較分析［J］.西北水電，2011（2）：66-71. FENG Xingzhong.Comparison and Analysis of Bearing Capacity Limit State and Normal Service Limit State Reli?ability of Engineering Structures［J］.Northwest Hydro?power，2011（2）：66-71.

［11］劉國承，秦訓鵬，魏青松.單軸壓縮金屬粉末材料屈服準則研究［J］.華中科技大學學報（自然科學版），2016，44（7）：96-99. LIU Guocheng，QIN Xunpeng，WEI Qingsong.Study on Yield Criterion of Uniaxial Compression Metal Powder［J］.Journal of Huazhong University of Science and Tech?nology（Nature Science），2016，44（7）：96-99.

［12］楊綠峰，楊顯峰，余波.基于Nataf變換的層遞響應面法分析結構可靠度［J］.計算力學學報，2014（2）：155-160. YANG Lvfeng，YANG Xianfeng，YU Bo.Analysis of Structural Reliability by Layered Response Surface Meth?od Based on Nataf Transform［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2014（2）：155-160.

［13］毛力奮.考慮可靠性和魯棒性的機械接頭有限元設計優化［J］.計算機輔助工程，2010，19（3）：101-105. MAO Lifen.Optimization of Mechanical Joint Finite Ele?ment Design Considering Reliability and Robustness［J］. Computer Aided Engineering，2010，19（3）：101-105.

［14］練秋生，肖瑩.基于小波樹結構和迭代收縮的圖像壓縮感知算法研究［J］.電子與信息學報，2011，33（4）：967-971. LIAN Qiusheng，XIAO Ying.Research on Image Com?pression Sensing Algorithm Based on Wavelet Tree Struc?ture and Iterative Shrinkage［J］.Electronics and Infor?matics，2011，33（4）：967-971.

［15］吳迪，王奎民，趙玉新.分段正則化正交匹配追蹤算法［J］.光學精密工程，2014，22（5）：1395-1402. WU Di，WANG Kuimin，ZHAO Yuxin.Piecewise Regu?larized Orthogonal Matching Pursuit［J］.Optics and Pre?cision Engineering，2014，22（5）：1395-1402.

Building Material Saving Based on Monte Carlo Finite Element Method

SHEN Lin1LI Xiaogang2
（1.Yangling Vocational&Technical College，Yangling712100）（2.Xi'anXiexinNewEnergyManagementCo.，Ltd，Xi'an733000）

In order to solve the problem of excessive consumption of building materials in real life，this paper takes the build?ing material saving material as the starting point，analyzes the structural load reliability index，and calculates the reliability index by the perturbation finite element method combined with the random field effect.The Monte Carlo finite element method for solving the problem of building material saving is constructed.By using the Hasofer iteration and the Orthogonal transformation，the func?tion function and the random variable transformation are optimized respectively.The point where the standard normal variable space and the central origin distance are minimum is taken as the core of the algorithm.The structural reliability of the building material is saved under the saving condition.The results show that the proposed algorithm is reliable in the case of small stochastic parameters and can be used as a reference for reducing the demand of building materials in the construction process.

finite element method，Monte Carlo method，building materials，structural reliability，material saving

TP391.7

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.07.006

2017年1月7日，

2017年2月11日

申琳，女，碩士，講師，研究方向：建筑結構。李曉剛，男，工程師，研究方向：工程管理。