識別題目特征 巧用解題方法

潘少華

本文對二元一次方程組的解題方法展開探究，為幫助學生提高二元一次方程組特征識別的能力，從而準確地選擇適用的解題方法，對癥下藥，在解題中實現事半功倍的效果.

一、代入法

代入消元法是二元一次方程組進行消元的一種相對原始的方法，它是將方程組中的一個相對簡單的二元一次方程用其中一個未知數表示另外一個未知數的新代數式，將新代數式代入原方程組中相對復雜的二元一次方程中，使其轉化為一元一次方程的解題方法.

例1解方程組

（1）x-y=3①

4x+3y=47②（2）2x+y=3①

4x+5y=12②

解析對于第一個方程，可以利用整體代入法來解決問題：將①轉換為x=y+3，然后代入②式，解得y=5，x=8.而對于第二個方程，它與方程組的特征2相符，所以可以利用代入法來解決問題：將②轉換為2（2x+y）+3y=12，將2x+y=3代入其中，解得y=2，x=1/2.

代入法是二元一次方程組消元的有效手段，利用先轉化后代入的方法即消去了一個未知數，方便運算.教師通過引導學生歸納出可以運用代入法的解題的兩種方式，進一步幫助學生在獨立解題時能在第一時間判斷出解題的有效方法，提高了解題的效率.

二、加減法

加減消元法是解二元一次方程組技巧性相對較強的一種方法，它是以一個未知數為消元目標，將方程組中的一個二元一次方程針對這個目標“元”在等式兩端同時乘以一個數，轉化為與另一個二元一次方程同未知數系數或互為相反數的二元一次方程，最后進行加減運算消元.

例2解方程組

（1）2y-4x=2①

4x+3y=23②（2））3x+2y=3①

2x+3y=12②

解析對于第一個方程，可以直接利用加減法來解決問題：①+②得5y=25，解得y=5，x=2.同樣第二個方程可以利用加減消元法來解決問題：①+②得5x+5y=25，化簡得x+y=5③；將②③組成新的方程組，利用代入法來解題，解得x=-3，y=6.

加減法相對于代入法來說，解題過程更加的精煉，但是這必須建立在對方程組進行準確轉化的基礎上，因此教師應引導學生掌握識別方程特征的能力，起到透視本質的目的.

三、換元法

換元消元法是針對復雜的二元一次方程組進行消元的一種方法，解題思路是：在二元一次方程組中，將方程組中所包含的共有部分視為一個整體，并將其等同為一個新的未知數；將新的未知數帶入到原方程組中，將原方程組轉化為關于新未知數的新二元一次方程組，求解新的方程組，解出新的未知數；最后利用新的未知數與原方程的關系，求解原方程.

例3解方程組

（1）3x+y+2x-y=3①

9x+y+3x-y=6②（2）x4=y3①

2x+5y=23②

解析對于第一個方程組，①，②兩式均包含了x+y，x-y兩個相同的特征元素.它與方程組的特征情況a相符，所以可以利用換元法來解決問題：設1x+y=a，1x-y=b，原方程組可轉化為：3a+2b=3③

9a+3b=6④利用加減消元法來解a=13，b=1，則1x+y=13，

1x-y=1，解得x=2，

y=1.

而第二個方程組的①式為比例形式，可以利用換元法來解決問題：設x4=y3=k，則x=4k，y=3k；代入②式中，得8k+15k=23，所以k=1.代入假設中，則x=4，y=3.

換元法的實質是將方程組中復雜的部分，用新的未知數替代，從而將復雜的運算化繁為簡，避免了大量的計算過程.換元法一般應用于形式比較復雜的二元一次方程組的解題中.通過總結明確了換元法的題目特征后，在解題時思路自然清晰.

綜上所述，學生只有在熟知方程組特性的基礎上，才能在解題時“對癥下藥”，選擇合適的方法，達到快速、準確的解題目的.教師要通過有效的練習，讓學生掌握不同方程組的特性，分析運用解題方法的條件，靈活地應對題型的變式，只有這樣才能充分的掌握二元一次方程組的解題方法，養成科學有效的數學思維，為今后的學習打下堅實的基礎.2016年12月10日理科考試研究·物理版理科考試研究·