初中數學解題思路初探

王翠紅

初中數學是一門邏輯思維較強的學科，在其教學中解題一直是其重點難點.本文將基于筆者教學實際，重點圍繞于初中數學解題思路展開探究，以供廣大教師參考.

一、因式分解解題思路

目前因式分解思路所能使用的方法眾多，除教學中常見的公式法、十字相乘以及公因式提升等外，待定系數、添（拆）項或換元等也是較為有效的方法.

例1已知x=3+3，y=3-3，求xy-yx的值.

分析由于xy-yx=x2-y2xy=（x+y）（x-y）xy，故只要求出x+y、x-y，xy的值，代入即可.

解∵ x=3+3，y=3-3，

∴x+y=6，x-y=23，xy=6.

∴xy-yx=（x+y）（x-y）xy=6×236=23.

二、配方解題思路

配方解題思路主要是指借助于恒等變形方法將式子之中一些項配成數個多項式正整數次冪之和，隨后在此基礎上進行解題.

例2超市中出售一種成本是60元的不粘鍋，為了獲取合理利潤，超市經營者除了確保折后價格不能低過成本，并且利潤小于45%.隨后通過一段時間銷售后可知，該不粘鍋銷量y與售價x二者關系構成y=ax+b這一函數式.此外，已知當售價x為65元時，銷量y是55個；當售價x為75元時，銷量y是45個.假設超市銷售不粘鍋獲取z元利潤時，其和售價x會構成怎樣的關系式？并且超市要想獲取最大利潤，售價x應是多少元？此時最大利潤是多少？

解題思路由題目所提供條件來看，y=ax+b、x=65，y=55以及x=75，y=45可以將銷量y的解析式算出來.而單個不粘鍋利潤為x-60，因此超市銷售利潤z=y（x-60）.

解∵ 由題意可知，y=ax+b，x=65，y=55以及x=75，y=45，

∴55=65a+b ①，45=75a+b ②.

由①②解得a=-1，b=120，即y=-x+120.

∵單個不粘鍋成本為60元，售價為x元，

∴單個不粘鍋利潤為（x-60）元.

∴超市不粘鍋銷售利潤z=y（x-60），即z=-x2+180x-7200.

配方變為z=-（x-90）2+900.此外由題意，可知折后價格不能低過成本，并且利潤小于45%，即60≤x≤60×（1+45%），解出60≤x≤87.這就意味著當單個不粘鍋售價為87元時，超市所獲利潤最大.此時將x=87代入到z=-（x-90）2+900，得到最大利潤z為891元.

三、換元解題思路

換元解題思路主要指在某個復雜性較大的式子中，通過運用一個新的未知變元將式子中復雜部分替換，這樣一來大大地簡化原有式子，有助于有效地解題.

例3解方程3（a+1）a2+1+a2+1a+1=4.

解題思路根據對題目3（a+1）a2+1+a2+1a+1觀察可知，該式子中a+1a2+1與a2+1a+1二者存在極為密切的關系，因而該題解題中只需將它們其中一個設元，隨后將整個式子換元化簡即可解出該題.

解注意到左端兩個分式之間存在的倒數關系，假設b=a2+1a+1，那么原式方程可變為3b+b=4.

去分母可得b2-4b+3=0，解得b1=1，b2=3.

將b1=1，b2=3分別代入b=a2+1a+1，解出a1=0，a2=1，a3=3+172，a4=3-172.

四、建模解題思路

建模解題思路是指學生在面對某些難度與復雜性極大的題目時，并且采取常規方法難以解題，在這種情況下學生在理清題目基礎上就問題予以建模，化為熟知的形式，不但有助于他們提升解題效率，同時解題正確性也大大地提高.

例4小明家要購買空調，淘寶中有兩款功率不同的較為喜歡，其中節能空調價格為3000元，功率是150瓦，而普通空調價格為2000元，功率是200瓦，假設電費恒定為每千瓦時0.5元.那么如果小明家購買節能空調時，這兩款空調使用年齡超多久最合算？

解題思路該題目中涉及條件較多，常規方法是難以有效地解題，對此應從問題著手，小明家購買節能空調時，這兩款空調使用年齡超多久最合算？即核心意思在于那款空調最后總價最低（總價=價格+電費），此時學生只需構建兩款空調不等式模型即可解出.

解假設空調使用小時數為a，由題可知節能空調價格為3000元，功率是150瓦，而普通空調價格為2000元，功率是200瓦，假設電費恒定為每千瓦時0.5元.

∴建模可得2000+0. 2×0. 5a>3000+0. 15×0. 5a，解出a>4000.即小明家購買節能空調時，這兩款空調使用年齡超4000小時最合算.