2017年普通高等學校招生全國統一考試全國卷文科數學模擬試題

鄧軍民

一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

（1）設集合A={x|1

CRB=（ ）

（A）（1，2） （B）（1，3） （C）（3，4） （D）（1，4）

（2）如果復數z=■（b∈R）的實部和虛部相等，則| z|

等于（ ）

（A）3■ （B）2■ （C）3 （D）2

（3）已知函數f（x）是偶函數，當x>0時，f（x）=■，則在區間（-2，0）上，下列函數中與f（x）的單調性相同的是（ ）

（A）y=-x2+1 （B）y=|x+1|

（C）y=e|x| （D）y= 2x-1，x≥0x2+1， x<0

（4）已知函數f（x）=sin（？棕x+■）（？棕>0）的最小正周期為？仔，則函數f（x）的圖像（ ）

（A）關于直線x=■對稱 （B）關于點（■，0）對稱

（C）關于直線x=■對稱 （D）關于點（■，0）對稱

（5）下列四個結論：

①若p∧q是真命題，則？劭p可能是真命題；

②命題“？堝x0∈R，x02-x0-1<0”的否定是“？坌x∈R，x2-x-1≥0”；

③“a>5且b>-5”是“a+b>0”的充要條件；

④當a<0時，冪函數y=x？琢在區間（0，+∞）上單調遞減.

其中正確的是（ ）

（A）①④ （B）②③ （C）①③ （D）②④

（6）如圖1，圓C內切于扇形AOB，∠AOB= ■，若向扇形AOB內隨機投擲300個點，則落入圓內的點的個數估計值為（ ）

（A）450 （B）400

（C）200 （D）100

（7）已知等差數列{an}滿足a7+a8+a9>0，a7+a10<0，那么{an}當的前n項和最大時，n=（ ）

（A）7 （B）8

（C）9 （D）10

（8）某幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積為（ ）

（A）12 （B）16

（C）18 （D）24

（9）執行如圖3所示的程序框圖，則輸出的結果是（ ）

（A）16

（B）17

（C）18

（D）19

（10）已知x，y滿足

kx-y+2≥0，x+y-2≥0，（k<0）y≥0，若目標函數z=y-x的最小值是-4，則k的值為（ ）

（A）-■ （B）-3 （C）-■ （D）-2

（11）已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點F恰好是雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的一個焦點，兩條曲線的交點的連線過點F，則雙曲線的離心率為（ ）

（A）■ （B）1+■

（C）■ （D）1+■

（12）已知f（x）= -x2+■x，x<0ex-1，x≥0若函數y=f（x）-kx有3個零點，則實數k的取值范圍是（ ）

（A）（-1，1） （B）（1，+∞）

（C）[2，+∞） （D）[1，2）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

（13）若點（a，27）在函數y=x3的圖像上，則tan■的值為 .

（14）已知a>0，b>0，2a+2b=6，則■+■的最小值為

.

（15）某校有A，B兩個文學社團，若a，b，c三名學生各自隨機選擇參加其中的一個社團，則三人不在同一個社團的概率為 .

（16）已知三棱錐S-ABC所在頂點都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，則球O的表面積為 .

三、 解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.本大題共6小題，共70分.

（17）（本小題滿分10分）

已知△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，有sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求f（x）=sin（x-A）+■cosx（-■≤x≤？仔）的值域.

（18）（本小題滿分12分）

隨著國民生活水平的提高，利用長假旅游的人越來越多.某公司統計了2012到2016年五年間本公司職員每年春節期間外出旅游的家庭數，具體統計數據如下表所示：

（Ⅰ）從這5年中隨機抽取兩年，求外出旅游的家庭數至少有1年多于20個的概率；

（Ⅱ）利用所給數據，求出春節期間外出旅游的家庭數與年份之間的回歸直線方程■=■x+■，判斷它們之間是正相關還是負相關；并根據所求出的直線方程估計該公司2019年春節期間外出旅游的家庭數.參考公式：

■=■，■=■-■■.

（19）（本小題滿分12分）

如圖4，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD.

（Ⅰ） 求證：平面ACC1A1⊥平面A1BD；

（Ⅱ） 若BC⊥CD，AB=AA1=2，求三棱錐B1-A1BD的體積.

（20）（本小題滿分12分）

如圖5，橢圓C1：■+■=1（a>b>0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分，橢圓C1右焦點到直線x=■的距離為■，橢圓C1的下頂點為E，過坐標原點O且與坐標軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點A、B.

（Ⅰ） 求橢圓C1的方程；

（Ⅱ） 若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個

交點為點P、M.求證：直線MP經過一定點.

（21）（本小題滿分12分）

設函數f（x）=ax+b-xlnx（a>0），g（x）=■，若直線y=e-x是曲線C：y=f（x）的一條切線，其中e是自然對數的底數，且f（1）=1.

（Ⅰ） 求a，b的值；

（Ⅱ） 設0f（n）.

請考生在第22、23題中任選一題做答. 如果多做，則按所做的第一題計分，答題時請寫清題號.

（22）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程x=2+■t，y=■t，（t為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：？籽=4cos？茲.

（I）求直線l的極坐標方程；

（II）求直線l與曲線C交點的極坐標（？籽>0，0≤？茲<2？仔）.

（23）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

設函數f（x）=|2x-a|+|2x+1|（a>0），g（x）=x+2.

（I）當a=1時，求不等式f（x）≤g（x）的解集；

（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍.

2017年普通高等學校招生全國統一考試全國卷文科數學模擬試題

參考答案

一、 選擇題

1.【解析】A=（1，4），B =[-1，3]，則A∩（CRB）=（3，4），選C.

2.【解析】令■=a+ai，展開3-bi=a+3ai解得a=3，b=-3a=-9，故|z|=3■，選A.

3.【解析】根據題意畫出每個函數的圖像，可知選C.

4.【解析】由？仔=■，得？棕=2，選A.

5.【解析】①錯，②對，③錯，④對，選D.

6.【解析】不妨設內切圓的半徑為1，則扇形的半徑為3，由■·■■，n·200，選C.

7.【解析】a7+a8+a9=3a8>0，a7+a10=a8+a9<0，a8>0，a9<0，選B.

8.【解析】如圖，根據三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱截去一個三棱錐，求得其體積為為24，選D.

9.【解析】n=1時，S=log2■；n=2時，S=log2■；

n=3時…S=log2■<-3， 輸出n=16，選A.

10.【解析】由題意作出其平面區域，將z=y-x化為y=x+z，z相當于直線y=x+z的縱截距，則由平面區域可知，當目標函數z=y-x取得最小值-4時過點（4，0），故k=-■，選C.

11.【解析】兩曲線的一個交點坐標為（■，p），從而■=c，p=■，故b2=2ac=c2-a2，e2-2e-1=0，解得e=1+■，選D.

12.【解析】由f（x）-kx=0得到f（x）=kx，f（0）=0，當x<0時，得到-x2+■x=kx，得到x=■-k<0，所以k>■，當x>0時，f（x）=ex-1，f′（x）=ex>1，所以要使y-f（x）-kx在x>0時有一個零點，則k>1，所以實數k的取值范圍是（1，+∞），選B.

二、填空題

13. ■； 14. 4； 15. ■； 16. 5？仔.

13. 【解析】把點（a，27）代入y=x3，得a=3，所以tan■=

tan■=■.

14. 【解析】■+■=■+■=2+■+■≥4，當且僅當■=■即a=1.5，b=1時取“=”.

15. 【解析】a，b，c三名學生選擇社團的結果有：（A，A，A），（A，A，B），（A，B，A），（B，A，A），（A，B，B），

（B，A，B），（B，B，A），（B，B，B），共8個等可能性的基本事件，三人在同一個社團的結果有：（A，A，A），（B，B，B），共兩個，所以“三人在同一個社團”的概率為■=■，而“三人不在同一個社團”與“三人在同一個社團”是對立事件，所以“三人不在同一個社團”的概率1-■=■.

16.【解析】記底面三角形ABC的外接圓為⊙O′，半徑為r，則2r=■=2，所以記球的半徑為R，因為SC⊥平面ABC，則2R=■=■=■，所以球O的表面積為S=4？仔R2=4×？仔×（■）2=5？仔.

三、解答題

（17）解析：（Ⅰ）∵ sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinc，

由正弦定理得：b2+c2=a2+bc，∴ cosA=■=■.

又∵A∈（0，？仔），∴ A=■. …………6分

（Ⅱ）f（x）=sin（x-■）+■cosx■sinx-■cosx+■cosx=■sinx+■cosx=sin（x+■）………………8分

∵ -■≤x≤？仔，∴ -■≤x+■≤■，………………9分

∴ sin（x+■）∈[-■，1]，……………11分

∴ f（x）的值域為[-■，1]. ……………12分

（18） 解析：（Ⅰ）從這5年中任意抽取兩年，所有的事件有：（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），

（2012，2016），（2013，2014），（2013，2015），

（2013，2016），（2014，2015），（2014，2016），

（2015，2016）共10種， ……………………2分

至少有1年多于20人的事件有： （2012，2015），

（2012，2016），（2013，2015），（2013，2016），

（2014，2015），（2014，2016），（2015，2016）共7種，

……………………4分

則至少有1年多于10人的概率為p=■. …………5分

（Ⅱ）由已知數據得■=2014，■=16，………………7分

■（xi-■）（yi-■）=-2×（-10）+（-1）×（-6）+1×6+2×10=52.

…………………………………8分

■（xi-■）2=（-1）2+（-2）2+12+22=10………………9分

所以■=■=■=5.2， ■=16-5.2×2014=-10456.8…………………………………10分

所以是正相關，回歸直線的方程為■=5.2x-10456.8

………………………………11分

則第2019年的估計值為■=5.2×2019-10456.8=42

………………………………12分

（19） 解析：（Ⅰ）證明：因為AB=BD，∠BAD=60°，所以△ABD為正三角形. …………………………………1分

所以AB=AD，又CB=CD，AC為公共邊，所以△ABC≌△ADC，所以∠CAD=∠CAB，所以AC⊥BD.……………2分

又四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直棱柱，所以AA1⊥平面ABCD，AA1⊥BD，…………………3分

又AC∩AA1=A，所以BD⊥平面ACC1A1，…………4分

又BD？奐平面A1BD，所以平面ACC1A1⊥平面A1BD.

………………………………………5分

（Ⅱ）因為AA1∥BB1，所以V■=V■=V■，

………………………………………7分

由（Ⅰ）知AC⊥BD，又四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直棱柱，所以BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC，又BD∩BB1=B，所以AC⊥平面BB1D.……………………………………10分

記AC∩BD=O，則V■=■S△BB1D·AO=■×（■×2×2）×■=■，所以三棱錐B1-A1BD的體積為■.

……………………………………12分

（20） 解析：（Ⅰ）依題意，2b=■·2a，則a=3b，所以c=■=2■b，又■-c=■=■，所以b=1，于是a=3，所以橢圓方程為■+y2=1. ………………………………3分

（Ⅱ） 由題意知直線PE、ME的斜率存在且不為0，設直線PE的斜率為k，則PE∶y=kx-1，由y=kx-1，■+y2=1，得x=■，y=■或x=0，y=-1，所以 P（■， ■）.…………………………6分

用-■去代k，得M（■，■），…………………7分

因為kPM =■=■，………………………9分

所以直線PM：y-■ = ■（x+■），即y = ■x+■，……………………………11分

所以直線PM經過定點T（0，■）.………………………12分

（21）解析：（Ⅰ）設切點為T（x0，y0），因為f′（x）=a-1-lnx，………………………………1分

所以f ′（x0）=a-1-lnx0=-1，即a=lnx0 ……①

又切線方程為y-y0=-（x-x0），即y=x0+y0-x，所以x0+y0=e.………………………2分

將y0=ax0+b-x0lnx0代入上式得x0+ax0+b-x0lnx0=e，

將a=lnx0代入上式得b=e-x0，……② …………………3分

因為f（1）=1，所以b+a=1，所以lnx0+e-x0=1，即lnx0-x0+e-1=0，………………………………………………4分

令h（x）=lnx-x+e-1，則h′（x）=■-1=■，故h（x）是（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，

且當x=1時，h（x）取極大值h（x）=ln1-1+e-1=e-2>0，

因為h（e-2）=-2-e-2+e-1=e-3-e-2<0，且h（e）=0，

故h（x）在區間（e-2，1）有一個零點x■，在（1，+∞）區間上的零點為e，

因為a>0，所以a=lnx0>0，所以x0=e，………………③

將③代入①②可得a=1，b=0. …………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x-xlnx，令m=tn，則t>1，

要證f（m）>g（n），即證f（tn）>g（n）？圳tn-tnln（tn）>■？圳t-tln（tn）>■.……………………………………7分

記？漬（t）=t-tln（tn）（t>1），則？漬′（t）=1-[ln（tn）+1]=-ln（tn）=-lnm>0.

所以？漬（t）=t-tln（tn）是（1，+∞）上的增函數，？漬（t）≥？漬（1）=1-lnn，……………………9分

以下再證：1-lnn>■，即證：lnn-■<0， …………………………………………10分

記r（n）=lnn-■（00，

所以r（n）是（0，1）上的減函數，所以r（n）

綜上，原不等式成立.…………………………………12分

[其它證法，如放縮法]先證f（m）>f（n），再證f（n）>g（n）；先證f（m）>g（m），再證g（m）>g（n）.

請考生在第22、23、24題中任選一題做答. 如果多做，則按所做的第一題計分，答題時請寫清題號.

（22）解析：（I）將直線l∶x=2+■t，y=■t（t為參數），消去參數t，化為普通方程■x-y-2■=0，…………………2分

將x=？籽cos？茲，y=？籽sin？茲代入■x-y-2■=0得■？籽cos？茲-？籽sin？茲-2■=0. ……………………………4分

（II）方法一：C的普通方程為x2+y2-4x.…………6分

由■x-y-2■=0，x2+y2-4x=0，解得x=1，y=-■或x=3，y=■.…………………………………8分

所以l與C交點的極坐標分別為（2，■），（2■，■）. …………………………………10分

方法二：由■？籽cos？茲-？籽sin？茲-2■=0，？籽=4cos？茲，

………………………………6分

得：sin（2？茲-■）=0，又因為？籽≥0，0≤？茲<2？仔 ………………8分

所以？籽=2，？茲=■或？籽=2■，？茲=■.

所以l與C交點的極坐標分別為（2，■），（2■，■）. …………………………………10分

（23）解析：（I）當a=1時，2x-1+2x+1≤x+2

x≤-■，-4x≤x+2？圯無解，-■

綜上，不等式的解集為{x│0≤x≤■}.………………5分

（II）2x-a+2x+1≥x+2，轉化為2x-a+2x+1-x-2≥0.

令h（x）=2x-a+2x+1-x-2，

因為a>0，所以h（x）=-5x+a-3，x≤-■-x+a-1，-■

…………………………8分

在a>0下易得h（x）min=■-1，令■-1≥0，得a≥2.

…………………………………10分

責任編輯 徐國堅