尋易錯之源，覓糾錯之道

林生

從2010年至2016年的全國高考題來看：歷年全國卷對數列的考查雖然不是每年都作為解答題出現，但數列卻是高考數學中的一棵“常青樹”. 而全國卷中的數列對考生的考查雖不難，但由于考生對數列的概念、性質以及基本結論理解不透徹、思考不全面等多種原因，這就導致考生對數列易混淆、易錯題的題型“難以把握”. 加上數學學習是一個認知過程，在這個過程中，由于考生的認知水平、理解水平的不同，解題過程中往往會出現這樣或者那樣的錯誤，因此若不厘清數列中的易混淆、易錯題的題型，考生依然“重復昨天的錯誤故事”. 所以我們在備考的過程中就要認真對待出現的錯誤，要剖析錯誤產生的原因，探討錯誤的糾正方法，只有我們在這個過程中真正地做到慎思、深思，明辨其錯誤的“是非”，這樣才可以做到不要讓類似的錯誤再次發生. 因此我們要真正地解決數列易混淆、易錯題的題型，就必須要熟練數列相關知識，厘清它們數列易混淆、易錯題的題型，在解題過程中加強對條件和結論的分析，掌握數列易混淆、易錯題的題型的注意問題，做到將數列中的易混淆、易錯題的題型“藥到病除”. 下面總結歸納數列中的易混淆、易錯題的題型，就解數列易混淆、易錯題的題型的一些解題方法和技巧來進行舉例分析、總結歸納，結合在數列中解題出現的一些錯誤來辨析，以達到正本清源的功效.

一、混淆相近的數學概念或概念不清產生的錯誤

例1. x=■是a， x， b成等比數列的（ ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不要條件

錯解展示：此題易錯選為A，若x=■，則x2=ab，所以a， x， b成等比數列，當a， x， b成等比數列，則x2=ab，所以x=±■，所以x=■是a， x， b成等比數列的充分不必要條件，故選A.

錯因剖析：本題選A的原因主要是知識性的錯誤，是由概念不清所致，等比數列中要求數列中的每一項及公比不能為零，所以由x2=ab不一定能推出a， x， b成等比數列，反過來，a， x， b成等比數列，有x2=ab，但是不一定推出x=■.

正解：選D，若x=■，則x2=ab，但x， a， b有可能為零，因此推不出成a， x， b等比數列，反過來，a， x， b成等比數列，有x2=ab，所以x=±■，因此x=■是a， x， b成等比數列的既不充分也不要條件.

變式1：已知Sn為數列{ an }的前n項和，且有Sn=bn+■，試判斷{ an }是什么數列？

錯解展示：由已知條件得：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=bn+■-（bn-1+■）=（b-1）bn-1，所以an-1=（b-1）bn-2，因此有■=b，故{ an }成等比數列.

錯因剖析：本題錯誤的原因就是對等比數列的概念不清晰，忽略等比數列的公比不能為零這一情況，而b=0或b≠0.

正解：當b=0時，顯然數列{ an }不成等比數列，此時數列{ an }為常數列；當b≠0時，由已知條件得：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=bn+■-（bn-1+■）=（b-1）bn-1，所以an-1=（b-1）bn-2，所以可得■=b，因此數列{ an }是以公比b的等比數列.

例2. 已知數列{ an }的首項為1，Sn為數列{ an }的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q>0， n∈N？鄢，若2a2，a3，a2+2成等差數列，求{ an }的通項公式.

錯解展示：依題意a1=1，a1+a2=qa1+1，2a3=3a2+2，解得a1=1，a2=2，a3=4，因為a2 2=a1a3，所以{ an }是一個等比數列，所以an=2n-1（n∈N？鄢）.

錯因剖析：本題由特殊代替一般，即由前3項成等比數列，就錯誤認為數列{ an }為等比數列，要證明數列為等比數列，要確保任意一項都滿足■為同一常數才行.

正解：由已知得Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1， 兩式相減得到an+2=qan+1，n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan對所有n≥1都成立. 所以數列{ an }是首項為1，公比為q的等比數列. 從而an=qn-1. 由2a2，a3，a2+2成等比數列可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2，則（2q+1）（q-2）=0，由已知q>0，故q=2. 所以an=2n-1（n∈N？鄢）.

例3. 等比數列{ an }的公比為q，則q>1是“對于任意n∈N？鄢”都有an+1>an的_______條件.

錯解展示：當q>1時，很多考生容易錯誤判斷出an+1>an，或當an+1>an時，則錯誤判斷出q>1，因此很多考生會錯誤判斷為充要條件或充分不必要條件或必要不充分條件.

錯因剖析：本題主要是由于不理解等比數列的遞增數列這個基本概念所致，誤認為判斷等比數列為遞增數列和等差數列為遞增數列一樣，只需要判斷公比的情況，殊不知判斷一個等比數列是否為遞增數列或遞減數列，不單單要考慮公比，還要考慮首項a1才行. 對于等比數列{ an }，若a1>0且q>1（或a1<0且01（a1>0或且00為遞增數列，d<0為遞減數列），切莫將判斷等差數列和等比數列為遞增（遞減）混淆，要理解它們之間的本質，才可以避免出錯.

正解：在等比數列{ an }中，由于a1沒有確定（a1>0或a1<0），因此q>1無法推出數列{ an }為遞增數列，即an+1>an，同樣由an+1>an，即等比數列{ an }是遞增數列，因此可得a1>0且q>1或a1<0且01，所以q>1是“對于任意n∈N？鄢”都有an+1>an的既不充分也不要條件.