數學糾錯教學的三重境界

俞菊華

高中數學教學中，總會面對著學生或這樣或那樣的錯誤，這些錯誤很多時候很讓教師頭疼（當然這其中更多的是因為應試需要而產生的焦躁心態），也是因為有些錯誤老是一錯再錯.事實上，對于學生錯誤的研究多年以來一直是一個熱點，但總似乎沒有一個相對普遍的教學策略.在這種情況下，筆者決意以糾錯教學為研究主題，展開了持續的探究，實踐下來取得了一些新的認識，也發現學生的錯誤很多時候確實是一種教學資源.在此基礎上，筆者發現了糾錯教學中的三種境界：糾錯、究錯和救錯.下面分別對此進行說明.

一、糾錯，基于正確解題思路的直覺性行為

學生出錯之后，教師的第一反應是幫學生糾錯，而學生發現了自己的錯誤之后第一反應也是糾錯.既然是師生雙方面的第一反應，那對于這種直覺性行為就不需要拒絕.但是，這需要超越經驗層面，具體的做一些細致的、進一步的工作.

這里來看一道習題：給一個命題：若△ABC有一內角為π/3，則△ABC的三內角成等差數列的“逆命題”是：A.與原命題真值相異；B.與原命題的逆否命題的真值不同；C.與原命題的否命題真值相異；D.與原命題真值相同.學生在面對這一題目的時候，常常會錯選A選項.而在看到正確選項之后往往又會選D.選D時學生的思維往往有兩種狀態：一是趕緊糾錯的心態，即先把答案改對再說，答案改過來之后再去思考D選項的合理性；另一種是分析心態，這也是糾錯心態的一種，但這個過程相對于前一種心態而言更合理，也更科學，因為分析心態常常是分析D為什么正確，而A為什么錯誤.有的還會進一步思考當時是什么理由選擇A選項的，以清晰地認識到自己思維的誤區在哪里.而在經過這樣的思維之后，學生往往就可以進一步清晰地認識到逆命題與原命題之間，在題設與結論交換之后是否能夠成立的條件的重要性，進而明確原命題、逆命題、否命題、逆否命題是如何判斷的.

這樣的糾錯過程是日常數學學習中的常見過程，也是數學教師或者說學生在數學學習中遇到錯誤之后最直覺性的反應.應當說作為一種直覺，其是符合數學學習的要求的，但作為對錯誤的研究尤其是在研究之后獲得一種提高，這樣的直覺性行為又是不夠的.基于錯誤并研究錯誤，就成為糾錯基礎上的新的選擇.

二、究錯，基于學生學習過程的研究性行為

究錯就是研究錯誤的意思.

對于教師而言，研究錯誤的過程應當是怎樣的呢？筆者的觀點是基于學生的學習過程去展開研究.如在解含有參數的集合問題的時候，學生最容易出現的問題就是忽視空集的存在，而這一點往往又會出現屢教不改的情形，也就是說無論教師怎樣重復或者提醒，總有一些學生會忽視空集.這其中的原因是什么呢？分析學生的學習過程可知，在學生建立對集合的理解的時候，往往都是基于具體的事例去建立集合概念的，而對于空集這一特殊的集合而言，學生往往無法將之與常見的集合產生聯系，因而在解含有參數的集合問題的時候，空集無法進入學生的思維就是可以理解的了.

教師通過研究分析出這一原因之后，最好的策略是引導學生進行自我反思，這就是讓學生基于自己的學習過程去展開研究了.筆者在探究中發現，學生在研究自己的錯誤時，往往會從上面提到的發現正確思路的合理性入手，比如說上面的例子中，學生就是強化自己對空集是任何集合的子集認識入手.這對于一些概念性的知識而言是可以的，但對于一些復雜的需要進行邏輯推理或者是合情推理的數學問題而言就是不夠的，這個時候教師還需要引導他們比較正確思路與錯誤思路的異同，以發現自己的思維缺陷.而對于高中學生來說，做到這一點并非難事，因為高中學生在數學學習中所表現出來的理性思維，常常可以讓他們在比較的過程中發現自己思維的不足.

總的來說，究錯就是抱著一個研究的態度去面對錯誤，而有了研究的態度之后，往往可以從面對錯誤時的感性中走出來，教師不再是一味地責怪學生出錯，而學生也不是一味的自責.有了這樣的態度，糾錯教學就前進了一大步.

三、救錯，基于學生認知需要的指導性行為

救錯是面向改錯的過程而言的，學生在出錯之后，如何最終得到正確的答案，這是需要一個過程的，除了上面提到的糾錯與究錯兩個過程之外，還有一個重要的收官過程，就是將自己正確的思路用數學語言描述出來.要知道，前面的糾錯某種程度上還停留在用正確答案替代錯誤答案的低水平基礎上，而究錯則更多的是指向思維過程的，而有正確的思維過程并不意味就有了正確的表達，因此救錯就是面向數學表達的.只有用數學語言表達出了正確的結果，才算是真正地完成了認知的一次嬗變.

事實證明，學生在面對錯誤時是有一種很強烈的認知期待的，而用數學語言描述究錯過程中形成的正確思維，關鍵就在于讓學生學會運用數學語言.而這是一個需要重復訓練的過程，只要在日常的教學中，教師有意識地培養學生的數學語言運用（而不是模仿）的能力，往往就能有效地完成救錯過程.