基于電磁波反射和折射理論的平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型?

張卿 武新軍

(華中科技大學機械科學與工程學院,武漢 430074)(2016年7月8日收到;2016年10月26日收到修改稿)

基于電磁波反射和折射理論的平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型?

張卿 武新軍?

(華中科技大學機械科學與工程學院,武漢 430074)(2016年7月8日收到;2016年10月26日收到修改稿)

針對大多數脈沖渦流檢測解析模型假設試件壁厚均勻減薄,其解析解中僅包含z方向(試件厚度)信息,不能求解探頭覆蓋區等依賴r方向(平行試件表面)信息的問題,本文提出平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型.該模型在z和r方向均存在介質分界面,邊界條件復雜,求解困難.為此,本文首先假設平底孔所在層導體與空氣區域的橫向波數和縱向波數均相同,且橫向波數為僅與r方向結構有關的實數,縱向波數為與該層橫向波數和導體區域材料有關的復數,在此假設基礎上應用電磁波反射和折射理論,構造各層波動方程;然后通過引入r方向結構系數Wn,將Cheng的矩陣法擴展,用擴展的矩陣法求解波動方程,得到模型的解析表達式.將該模型應用到16MnR平底孔試件檢測實例中,并對其進行實驗驗證.模型計算結果與實驗結果基本符合,證明了模型的正確性.平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型有助于加深對脈沖渦流檢測結果的理解,同時能夠為r方向逆問題求解提供理論依據.

脈沖渦流檢測,反射與折射理論,平底孔,解析模型

1 引 言

壓力容器、電站鍋爐等由鐵磁性材料制成的設備常用于石油、化工等行業[1?3],開展無損檢測與評估是保障設備安全運行的重要手段.在眾多的無損檢測方法中,基于電磁感應原理的脈沖渦流檢測技術因具有非接觸性、穿透深度大、檢測速度快等優點而得到廣泛應用[4,5].

脈沖渦流檢測技術采用方波或階躍方式激勵,通過分析接收線圈感應電壓得到試件厚度、電導率等信息.解析模型能用顯式表示感應電壓與試件厚度、電導率等的關系,且計算速度快,物理意義明確,因此對脈沖渦流檢測技術至關重要.

脈沖渦流檢測解析模型的基礎主要是Dodd-Deeds模型[6],然而,Dodd-Deeds模型的求解域為半無限大,因而其結果中包含Bessel函數二重積分項,計算困難.Theodoulidis和Kriezis[7,8]應用截斷區域特征函數展開法(truncated region eigenfunction expansion,TREE),將無限大求解域縮小到一定半徑的圓柱體,則Bessel函數二重積分轉換為級數形式,簡化了Dodd-Deeds模型的求解,擴大了解析模型的適用范圍.隨后,范孟豹等[9]應用TREE法和電磁波的反射與折射理論推導了多層導電結構渦流檢測解析模型,簡化了多層導電結構模型的求解,進一步擴大了模型的適用范圍.

應用上述模型,脈沖渦流檢測中的諸多問題得到了解決,如試件厚度、電導率等逆問題求解[10,11],提離效應的分析與抑制[12,13],激勵參數對檢測結果的影響分析[14]等.然而,上述模型假設試件均勻壁厚減薄,其感應電壓表達式中僅包含試件厚度(即z方向)信息.近年來,隨著脈沖渦流檢測技術的快速發展,探頭覆蓋區[15,16]、邊緣效應[17]、局部壁厚減薄缺陷定量[18]等問題的研究越來越受到重視,求解這類問題依賴平行于試件表面方向(r方向)的信息,因此均勻壁厚減薄脈沖渦流檢測解析模型不再適用.

為擴大解析模型求解問題的范圍,本文提出平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型.該模型的解析表達式中既包含試件z方向的信息,也包含r方向的信息,且當平底孔半徑趨向于無窮大時,可簡化為均勻壁厚減薄脈沖渦流檢測解析模型,因而具有更廣泛的應用.

然而,平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型在r和z方向均存在介質分界面,因此其邊界條件復雜.關于如何求解此類問題,Theodoulidis和Bowler做了探索,得到了線圈位于試件邊緣時的阻抗解析表達式[19,20].其所用方法的特點是利用TREE法中截斷區域邊界處的磁約束條件構造磁矢位表達式,利用試件邊緣處(試件與空氣交界處)的邊界條件求解橫向波數,從而避免了復雜邊界條件的求解.利用該方法,渦流檢測通孔試件[21]等問題同樣得到了解決.然而,上述方法僅適用于非鐵磁性材料,對于鐵磁性材料,由于其磁導率遠大于1,用該方法得到的橫向波數的特征方程中包含復雜的復變量Bessel函數項,求解復雜.因此該方法在鐵磁性材料中的應用受到了一定的限制[22].

本文采用不同的思路求解平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型.假設平底孔所在層導體與空氣區域的電磁波橫向波數和縱向波數均相同,且橫向波數為僅與r方向結構有關的實數,縱向波數為與該層橫向波數和導體區域材料有關的復數.首先,在上述假設的基礎上應用電磁波反射和折射理論,構造包括平底孔所在層在內的各層電磁波動方程,其次,將Cheng等[23]的矩陣法擴展,用擴展的傳遞矩陣法對波動方程進行求解,得到接收線圈感應電壓表達式.最后,將該模型應用到16MnR平底孔試件檢測實例,并對平底孔試件進行實驗分析,通過對比模型計算結果和實驗結果,驗證模型的正確性.

2 平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型

激勵和接收線圈位于平底孔試件上方的脈沖渦流檢測解析模型如圖1,其中試件為線性、均勻且各向同性的介質;試件厚度為z3,所含平底孔半徑為c,深度為d.應用TREE法將模型求解域限制在r=h的圓柱體內,且為便于分析,按照z方向邊界條件的不同,將整個求解域劃分為5層,線圈位于1—2層,平底孔位于4層.根據r方向邊界條件的不同,4層可繼續劃分為空氣區域和導體區域2個子區域,r=c為這兩個子區域的分界面.

圖1 (網刊彩色)激勵和接收線圈置于平底孔試件上方Fig.1.(color on line)D iver and pickupcoils located above the plate with a fl at-bottomhole.

2.1 根據反射和折射理論構造各層磁矢位A表達式

為建立圖1所示平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型的解析解,首先考慮激勵電流為諧波電流的情況.應用時諧電磁場的Maxwell方程組和分離變量法,忽略ω2μ0μrε項[24],矢量磁位A可表示為[8]

式中,i為層數;αn為特征方程FiJ1(αnh)+DiY1(αnh)=0的第n個根,表示電磁波橫向波數[14];表示電磁波的縱向波數[25],其中,j為虛數單位;ω為諧波電流角頻率;ε為介電常數;μ0為真空磁導率;μri和σi分別為i層相對磁導率和電導率;J1(αr)和Y1(αr)分別為一階第一類和第二類Bessel函數;Ci,Bi,Fi,Di為系數;N s為求和項數.

(1)式中的Bessel函數項表示電磁波沿r方向的傳播情況,指數項表示電磁波沿z方向的傳播情況,其中e?βinz表示電磁波沿 +z方向傳播,稱為正向行波;e+βinz表示電磁波沿?z方向傳播,稱為反向行波.對于圖1所示的1—3,5層,1層僅有正向行波,則C1=0;5層僅有反向行波,則B5=0.其他層既有正向行波也有反向行波,則Ci,Bi均不為0.同時考慮到Y1(αr)在r=0處發散,則系數Di必須恒等于0,即D1=D2=D3=D5=0.基于上述分析,1—3,5層的磁矢位A可分別表示為

其中,由于D1=D2=D3=D5=0,αn的特征方程FiJ1(αnh)+DiY1(αnh)=0可簡化為J1(αnh)=0.

對于4層,由于r和z方向都存在介質分界面,邊界條件復雜[20],因此在構造磁矢位A表達式時,除了依據電磁波傳播規律,還需考慮求解的方便性.

由(1)式可知,磁矢位A的表達式由兩部分組成:

在構造空氣區域表達式時,可以將(6)式中的βin替換成αn,或將(7)式中的αn替換成βin[8].對于4層,為求解方便,一般需保證空氣和導體區域磁矢位A表達式中的指數項相同[20],因此我們選擇第二種方式,則4層表達式為

因為沿z方向,4層正向行波和反向行波都存在,C4,B4均不為0.沿r方向,4層導體區域僅有入射波,且由于該區域不存在r=0點,則D4/=0.4層空氣域表達式中D′4=0,且該區域存在入射波和r=c交界面處產生的反射波,入射波用表示,反射波用表示,疊加之后為,根據Bessel函數的性質,J1(?x)=?J1(x),將其整理為F4J1(β4nr),則(8)式可重新寫為

(9)式空氣區域和導體區域的橫向波數不同,因此求解得到αn的特征方程中含有Bessel函數的復數項.當試件為鐵磁性材料時,αn的特征方程表達式復雜,難以求解.基于此,本文對(9)式做進一步簡化.假設4層空氣和導體區域橫向波數相同,為僅與r方向結構相關的實數,縱向波數相同且僅與該層橫向波數和導體區域材料相關,同時為區別于其他層,4層的橫向波數用符號qn表示,則

根據r=c處的法向邊界條件,重新整理(10)式,得到

通過r=c處的切向邊界條件求解系數D4,

將D4代入J1(qnh)+D4Y1(qnh)=0中,化簡之后得到橫向波數qn的特征方程

設qnh=xn,ref=c/h,μr4?1≈ μr4,則上述特征方程的解即為(14)式所示函數f(x)的零點,

由于函數f(x)表達式中的Bessel函數項不含復數項,因此用一般的求根方法即可求解.本文選用牛頓法.因c=0可看作平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型的極限情況,則c=0對應的特征方程J1(xn)=0的解可作為用牛頓法的初值,將其代入(15)式所示的牛頓法迭代公式中,經過一定次數的迭代,即可求得函數f(x)的所有零點.qn=xn/h,則橫向波數qn的解也可得到.

2.2 利用擴展的矩陣法求解感應電壓表達式

要求得接收線圈的感應電壓表達式,需對1—5層磁矢位A((2)—(5)式和(11)式)進行求解.根據電磁波動理論,接收線圈所處空間的電磁波可分為入射波和反射波,接收線圈接收到的實際是反射波的變化率,因此求解接收線圈中的感應電壓其實就是求解反射波.反射波等于入射波和反射系數的乘積,由(3)式可知,入射波幅值為C2,反射系數用T(α)表示,則求解反射波即求解C2和T(α).Cheng的矩陣法[23]因表達式結構簡單而被廣泛應用,因此,本文欲采用矩陣法對C2和T(α)進行求解,然而,由于Cheng的矩陣法僅適用于均勻壁厚減薄脈沖渦流檢測解析模型,不能直接用于求解本文研究的r和z方向都存在介質分界面的情況,為此,需將Cheng的矩陣法擴展.

根據(16)和(17)式所示的層與層之間的法向和切向邊界條件和(18)式所示的Bessel函數正交特性[8],(2)—(5)式和(11)式磁矢位A表達式中系數Bi和Ci之間的關系如(19)和(20)式所示.

其中,Wi為r方向結構系數,對于均勻壁厚減薄脈沖渦流檢測解析模型,Wi=1;對于本文研究的平底孔試件脈沖渦流檢測模型,當第i層r方向存在介質分界面時,Wi,Wi?1,Wi+1可表示為

根據Cheng的矩陣法,將系數表示成矩陣形式,系數之間的關系用轉換矩陣表示,則(19)和(20)式表示的系數之間的關系為

應用擴展的矩陣法對C2和T(α)進行求解,結果如(28)和(29)式所示.

則諧波激勵時,接收線圈的感應電壓表達式為

根據傅里葉變換,脈沖渦流激勵可看作一系列諧波激勵的疊加,因此將各諧波感應電壓相加,并對結果做離散傅里葉逆變換,即可得到脈沖渦流激勵時接收線圈中的時域感應電壓?U(k)序列:

其中,N為采樣點數,k=1,2,3,...,N;ωm為各諧波頻率;I為正弦電流幅值;l1為探頭提離,l2d和l2p分別為激勵、接收線圈上端面到試件的距離;r1d和r2d分別為激勵線圈的內、外半徑;r1p和r2p分別為接收線圈的內、外半徑,nd是激勵線圈匝數,np是接收線圈匝數.

3 解析模型驗證

為驗證平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型的正確性,將該模型應用到16MnR平底孔試件檢測中,并對其進行實驗分析.實驗所用系統為實驗室自主研發的HSPEC-III脈沖渦流檢測系統[26];所用平底孔試件為如圖2所示的16MnR試件,試件厚度z3為20mm,試件中的平底孔深度d為8mm,平底孔半徑分別為10,25,50,75,90 mm.為便于檢測信號分析,平底孔試件中設有不含平底孔的區域,在圖2中標記為參考區域.在探頭提離l1為5 mm時對圖2所示的平底孔試件進行實驗,得到參考區域和不同半徑平底孔區域的感應電壓信號,探頭參數見表1.

圖2 平底孔試件示意圖Fig.2.The d iagramof the plate with diff erent fl at bottomholes.

表1 探頭參數Tab le 1.Parameters of the probe.

設16MnR試件的相對磁導率μr3= μr4=500,電導率σ3=σ4=1.6MS/m,將表1所列探頭參數、探頭提離l1=5 mm、試件厚度z3=20 mm、平底孔深度d=8mm和不同的平底孔半徑值代入平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型的感應電壓表達式,即(33)式,計算參考區域和不同半徑平底孔區域的感應電壓信號.

為比較解析模型計算結果與實驗結果,設參考區域的感應電壓信號為參考信號,其他區域的信號大小用其相對于參考信號的歐氏距離[27]表示.考慮到脈沖渦流感應電壓信號通常在對數坐標系下顯示[26],則對數坐標系下,其他區域信號相對于參考信號的歐氏距離可表示為

圖3 解析計算和實驗結果比較Fig.3.Comparison of the analy tical and experimental resu lts.

其中,U參考表示參考區域感應電壓信號,U其他表示其他區域感應電壓信號.

將解析計算得到的感應電壓信號與實驗得到的感應電壓信號代入(34)式,則可得到平底孔半徑不同時的感應電壓信號相對于參考信號的歐氏距離.對比解析計算結果與實驗結果,如圖3所示,解析計算結果與實驗結果基本符合,從而驗證了平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型的正確性.

4 結 論

本文提出了平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型,彌補了現有均勻壁厚減薄脈沖渦流檢測解析模型僅含試件厚度(z方向)信息的不足.在該模型求解過程中,由于鐵磁性構件磁導率遠大于1,平底孔所在層的特征方程難以計算,本文首先應用電磁波反射和折射理論構造各層磁矢位A的表達式;然后通過擴展的傳遞矩陣法對其求解,獲取接收線圈感應電壓表達式.將模型應用到16MnR平底孔試件檢測中,并對其進行實驗驗證.解析模型計算結果與實驗結果基本符合,驗證了模型的正確性.平底孔試件脈沖渦流檢測解析模型可對更多脈沖渦流檢測問題提供理論指導,具有重要的工程意義.下一步的研究工作將圍繞該模型在脈沖渦流檢測中的應用展開.

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PACS:81.70.Ex,03.50.De,41.20.–qDOI:10.7498/aps.66.038102

Analy ticalmodeling for the plate with a fl at-bottomhole based on the refl ection and transmission theory in pu lsed eddy cu rren t testing?

Zhang Qing Wu Xin-Jun?

(School ofMechanical Science and Engineering,Huazhong University of Science and Technology,W uhan 430074,China)(Received 8 Ju ly 2016;revised manuscript received 26 October 2016)

Ferromagnetic structures such as pipes or vessels are widely used in petroleum,chemical and power generation industries.Periodical nondestructive testing(NDT)is vital for continued safe operation.As a NDTtechnology,pu lsed eddy current testing(PECT)technology which is excited by a square-wave pulse rather than a sinusoidalwaveformhas been widely used for its advantages of non-contact and acquisition of information at various depths in one excitation process.In PECT,the analyticalmodeling is important because it gives a better understanding of the signaland benefi ts the inverse process of PECTin extracting information of structures.The foundation of theoreticalmodelof PECTis the Dodd-Deedsmodel presented by Dodd and Deeds in 1968,Theodou lidis and Kriezis represented the integral solution of Dodd-Deedsmodel in the formof series by using the truncated region eigen function expansion(TREE)method.Using the Dodd-Deedsmodel and the TREE method,other analyticalmodelings have been solved.However,most modelings assume that the wall thinning of the specimen is uniform,and the analytical solution only contains the variab les in the z direction(the direction perpendicular tothe surface of the specimen),such as the thickness of the specimen.W ith the rapid development of PECT,problems such as the footprint of the probe,the quantitative analysis of local wall thinning alsoneed tobe solved.These problems are related tothe variable in the r direction(the direction parallel tothe surface of the specimen),sothe analytical modelings mentioned above are not available any more.Tosolve these prob lems,the analyticalmodeling of the plate with a fl at-bottomhole is proposed.Considering the fact that the boundary condition in the analyticalmodeling of the plate with a flat-bottomhole is complicated,the assumption that the transverse wave number and the longitudinal wave number in the layer where the fl at-bottomhole located are the same ismade in this paper,and the transversewave number is set tobe only related tothe structure in the r direction.Firstly,the expressions ofmagnetic vector potential in all the layers are obtained by using the reflection and refraction theory of electromagnetic wave.Then the analytical solution is solved based on the extended Cheng’smatrix method by introducing the construction coeffi cient Wn.Finally,the 16MnR specimen with the flat bottomholes is conducted as an example,and experiments are carried out.The good agreement between resu lts calculated by the analyticalmodel and the experimental resultsmeasured verifies the developed analyticalmodel.

pu lsed eddy current testing,reflection and transmission theory,flat-bottomhole,analytical modeling

10.7498/aps.66.038102

?國家重點研發計劃(批準號:2016YFC 0801904)和國家自然科學基金(批準號:51077059)資助的課題.

?通信作者.E-mail:xin junwu@mail.hust.edu.cn

*Project supported by the National Key Research and Development Programof China(Grant No.2016YFC0801904)and the National Natu ral Science Foundation of China(G rant No.51077059).

?Corresponding author.E-mail:xin junwu@mail.hust.edu.cn