半空間雙相壓電介質垂直邊界附近圓孔對SH波的散射＊

張希萌，齊 輝，項 夢

（哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

半空間雙相壓電介質垂直邊界附近圓孔對SH波的散射＊

張希萌，齊 輝，項 夢

（哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

利用“Green函數法”和“鏡像法”對垂直邊界附近含圓孔的半空間雙相壓電介質對SH波的散射問題進行分析，得到其穩態解。利用鏡像法得到滿足水平邊界應力自由與電位移自由的波函數解析表達式。根據垂直邊界連續性條件，利用“契合法”建立第一類Fredholm型積分方程組，得到圓孔周邊的動應力集中系數與電場強度集中系數解析表達式。數值算例分析了入射波頻率、入射角度、介質參數等對動應力集中系數與電場強度集中系數的影響，并與已有文獻進行比較。計算表明，高頻SH波垂直入射危害較大。

半空間；雙相壓電介質；圓孔；SH波；動應力集中系數；電場強度集中系數

壓電介質具有機－電耦合效應，廣泛應用于智能結構和傳感器元件中，實現結構的自我診斷、自我修復等功能，因此其在未來航空航天飛行器設計中占有重要地位。由于加工工藝、環境變化等因素，復合材料會產生圓孔等缺陷，這些缺陷存在于界面附近（材料性質變化最劇烈）時，會引起材料失效、破壞等問題，例如壓電元件在生產加工過程中形成的圓孔，其動應力集中問題比一般材料更復雜。許多學者對缺陷問題進行了研究并取得了豐富成果［111］。近年來，舒小平等［1］利用等效單層理論求解了正交壓電復合材料層板在各類邊界條件下的解析解；王永健等［2］利用理論對各項同性壓電雙材料中橢圓圓孔孔邊裂紋的反平面問題進行分析；C．F．Gao等［3］利用復變函數法研究了壓電介質中橢圓形孔洞進行了斷裂力學分析；K．L．Lee等［4］對壓電介質中斜橢圓孔的斷裂問題進行了分析；J．K．Du等［5］利用波函數展開法對部分脫膠夾雜對反平面剪切波的散射問題進行了研究；W．J．Feng等［6］利用奇異積分方程技術研究了壓電材料中脫膠夾雜對SH波的散射問題；宋天舒等［79］研究了全空間雙相壓電介質中水平邊界附近圓孔的動力學問題。本文中，利用“Green函數法”和“鏡像法”構造出滿足水平邊界應力與電位移自由、垂直邊界連續性條件的波函數。根據直角域垂直邊界上連續性條件，利用“契合法”建立第一類Fredholm型積分方程組并進行求解。通過具體算例和數值結果，討論入射角度、入射頻率、介質參數等對壓電材料力學和電學性質的影響。

1 問題的描述

如圖1所示，介質Ⅰ為含圓孔的直角域，其質量密度、彈性常數、壓電系數和介電常數分別為其水平邊界、垂直邊界分別為ΓH、ΓV，圓孔中心位置與垂直邊界ΓV距離為d，與水平邊界ΓH距離為h，其邊界為ΓC；介質Ⅱ為無缺陷的直角域，其質量密度、彈性常數、壓電系數和介電常數分別為和；圓孔內空氣的壓電常數和介電常數分別為和

圖1 含圓孔的半空間雙相壓電介質模型Fig．1 Model of a piezoelectric bi－material in half space with a circular cavity

2 Green函數

設z軸為壓電材料的電極化方向，則反平面動力學問題的穩態控制方程（忽略時間因子e－iωt）為：

式中：w和φ分別為壓電材料的平面位移和電勢，ω為SH波的圓頻率。令φ＝e15（w＋f）／κ11，則式（1）可以簡化為：

式中：τrz和τθz分別的壓電介質的徑向和切向應力，Dr和Dθ分別為圓孔中電場的徑向和切向電位移。直角域介質Ⅰ在線源荷載δ（η－η0）作用下的模型如圖2所示，其中η0＝d＋i y（y≤h），表示某個位于介質Ⅰ垂直邊界ΓV上的點。

直角域介質Ⅰ的邊界條件可以表示為：

式中：GⅠw和GⅠφ分別表示介質Ⅰ中平面位移和電勢的Green函數，上標“Ⅰ”表示與介質Ⅰ相關的物理量；與Dcr分別表示圓孔內的電勢與電位移的Green函數，上標“c”表示圓孔內物理量。

圖2 受線源荷載作用的直角域模型Fig．2 Right－angle plane model impacted by a line source force

求解線源荷載δ（η－η0）產生的擾動可得入射波的位移Green函數Ginw。本文中利用“鏡像法”構造滿足水平垂直邊界應力與電位移自由的入射波與散射波，其中與入射波相關的位移Green函數（Ginw）和電勢Green函數（Ginφ）表達式為：

式中：λⅠ＝（eⅠ15）2／（cⅠ44κⅠ11）為量綱一壓電參數，上標“in”表示與入射波相關；k1為SH波在介質Ⅰ中的波數，H（1）為第一類Hankel函數，其下標表示階數。令上標“s”表示與散射波相關，則與散射波相關的位移Green函數（Gsw）和電勢Green函數（Gsφ）表達式為：

式中：

根據以上結果，可以得到介質Ⅰ中位移Green函數GⅠw與電勢Green函數GⅠφ，即

對于圓孔內部可以形成電場，其電勢Green函數（Gcφ）的表達式為：

利用邊界條件式（6）建立關于An、Bn、Cn、Dn、En的方程組如下：

式中：

將式（11）中各等式兩端同時乘以e－imθ（m＝0，±1，±2，±3…），在邊界ΓC對（－π，π）區間積分，截取有限項，從而得到關于待定系數的線性方程組，求解即可得出An、Bn、Cn、Dn、En。

與介質Ⅰ類比，設k2為SH波在介質Ⅱ中的波數，λⅡ為介質Ⅱ的量綱一壓電參數，則其Green函數的表達式為：

3 SH波的散射

根據文獻［9－11］中方法，由入射波、反射波、折射波、和散射波引起的壓電材料位移函數win、wr、wf、ws及其激發的電勢函數φin、φr、φf和φs表達式分別為：

式中：c．c表示取前一項的復共軛；β0為反射角度，且β0＝π－α0；α0為入射角度；α2為折射角度；w0、w1、w2、φ1、φ2為常數，滿足連續性條件：

待定系數Kn、Pn、Qn、Sn、Tn可以根據邊界條件（應力自由，電勢和電位移連續）進行求解，與上節確定Green函數中系數的方法相同。

4 契合法

如圖3所示，利用“契合法”將兩直角域模型介質Ⅰ和介質Ⅱ在垂直邊界上“契合”起來，形成半空間模型，其中坐標系x′O′y′與xOy的關系為η＝η′＋d＋i h。為滿足垂直邊界上的連續性，根據文獻［10］中方法，在垂直邊界ΓV上施加一對反平面外力系f1（r′0，θ′0）和f2（r′0，θ′0）及一對平面內電場f3（r′0，θ′0）和f4（r′0，θ′0）。

在介質Ⅰ中：

圖3 含圓孔的半空間雙相壓電介質垂直界面的契合Fig．3 Conjunction of piezoelectric bi－material vertical interface in half space with a circular cavity

在介質Ⅱ中：

式中：wf1和wf2分別為外力系f1（r′0，θ′0）和f2（r′0，θ′0）引起的位移，φf3和φf4分別為外電場f3（r′0，θ′0）和f4（r′0，θ′0）引起的電勢。

垂直邊界ΓV上連續性條件為：

利用式（17）對式（16）進行簡化，得到關于外力系的積分方程如下：

積分方程式（19）～（20）為含弱奇異性的第一類Fredholm型積分方程，可以采用直接離散法進行求解。

5 動應力集中系數

根據文獻［10］，在SH波作用下圓孔周邊的環向剪切應力可以表示為：

6 電場強度集中系數

動應力集中系數τ＊θz（dynamic stress concentration factor，DSCF）可表示為：

由此可得，電場強度集中系數E＊θ（electric field intensity concentration factor，EFICF）的表達式為：

根據文獻［10］，在SH波作用下圓孔周邊電場強度可以表示為：

7 具體算例

當λⅠ＝λⅡ＝0，cⅠ44＝cⅡ44，k1＝k2，ρ1＝ρ2時，本文模型退化為含圓孔的半空間彈性介質。當參數取值與文獻［12］相同時，該模型中動應力集中系數τ＊θz的分布情況如圖4（a）所示。對比可知，計算結果與文獻［12］中結果吻合較好。當λⅠ＝λⅡ＝0，cⅡ44＝0，k2＝0，ρ2＝0時，本文模型退化為含圓孔的直角域彈性介質。采用與文獻［13］中相同的參數求解得到τ＊θz的分布情況，如圖4（b）所示。對比可知，計算結果與文獻［13］中結果吻合較好。因此本文所采用的計算方法是可行的。以下令k1＝k，構造量綱一參數對計算模型進行分析，并設，其中為圓孔內部空氣的介電常數，a為圓孔半徑。

圖4方法驗證（與文獻［12－13］比較）Fig．4Vertification of the present method（Compared to reference［12－13］）

圖5 給出了低頻SH波以不同角度入射時圓孔周邊動應力集中系數的分布情況。圖5顯示：SH波水平入射時，τ＊θz最大值分布在圓孔上、下兩側；垂直入射時，τ＊θz最大值分布在圓孔左、右兩側。當SH波垂直入射時，τ＊θz最大值為2（θ＝0°），比水平入射時的最大值1．67（θ＝73°）提高約19．7%，可見入射角度對τ＊θz存在影響。

圖6給出了SH波水平入射時圓孔周邊動應力集中系數隨參數ka的變化情況。由圖6可知：當ka＝0．1時，τ＊θz的最大值為1．67（θ＝73°）；當ka＝2時，τ＊θz最大值為2（θ＝90°），提高了約19．7%。因此ka對τ＊θz影響顯著。綜合圖5和圖6結果可知，高頻SH波垂直入射對τ＊θz的影響較大。

圖5SH波以不同角度入射時圓孔周邊動應力集中系數的分布Fig．5 DSCF around circular cavity edge by SH－wave with different incident angles

圖7 給出了SH波水平入射時圓孔周邊動應力集中系數隨λⅠ分布情況。由圖7可知：當λⅠ＝0．3時，τ＊θz最大值為1．2（θ＝90°）；當λⅠ＝1時，τ＊θz最大值為2（θ＝90°），約為前者的1．6倍。

圖6 SH波水平入射時圓孔周邊動應力集中系數隨參數ka的分布Fig．6 DSCF around circular cavity edge vs．ka by horizontal SH－wave

圖7SH波水平入射時圓孔周邊動應力集中系數隨λⅠ的分布Fig．7 DSCF around circular cavity edge vs．λⅠby horizontal SH－wave

圖8 給出了SH波水平入射時圓孔周邊動應力集中系數隨λⅡ的變化情況。由圖8可知：當λⅡ＝1時，τ＊θz最大值為5．2（θ＝17°）；λⅡ＝0．3或0．5時，τ＊θz的分布基本一致，最大值為2（θ＝90°），約為前者的38%。由此可見，λⅡ對τ＊θz的影響比λⅠ更顯著。

圖9給出了SH波水平入射時圓孔θ＝－π處動應力集中系數隨ka的變化情況。由圖9可知：隨ka增大振蕩變化；當0≤ka＜1．1時，λⅠ＝0．3對應的τ＊θz比較大；當1．1≤ka＜2時，λⅠ＝1對應的較大；當λⅠ＝1、ka＝1．9時，τ＊θz達到最大值，約為2．46。由此可見，當參數ka相同時，λⅠ對τ＊θz的分布存在影響。

圖8SH波水平入射時圓孔周邊動應力集中系數隨λⅡ的分布Fig．8 DSCF around circular cavity edge vs．λⅡby horizontal SH－wave

圖10 給出了SH波以不同角度入射時圓孔周邊電場強度系數的分布情況。由圖10可知：SH波水平入射時，E＊θ最大值分布在圓孔上下兩側；垂直入射時，E＊θ最大值分布在圓孔左右兩側，與圖5中的分布趨勢一致。SH波水平入射時，E＊θ的最大值為0．81（θ＝－108°）；垂直入射時，E＊θ的最大值為2（θ＝0°），約為前者的2．4倍。由此可見，入射角度對E＊θ存在影響。

圖9 SH波水平入射時圓孔周邊應力集中系數隨參數ka的變化Fig．9 DSCF around circular cavity edge vs．ka by horizontal SH－wave

圖10 SH波以不同角度入射時圓孔周邊電場強度集中系數的分布Fig．10 EFICF around circular cavity edge by SH－wave with different incident angles

圖11給出了SH波水平入射時圓孔周邊電場強度系數隨參數ka的變化情況。由圖11可知，ka對E＊θ影響顯著。當ka＝0．1時，E＊θ最大值為0．81（θ＝－108°）；當ka＝2時，E＊θ最大值為2（θ＝90°），約為前者的2．4倍。綜合圖10和圖11結果可知，高頻SH波垂直入射對E＊θ影響較大。

圖12給出了θ＝－π處SH波水平入射時電場強度系數隨ka的變化情況。由圖12可知：E＊θ隨著ka的增大振蕩變化；當0≤ka＜1．7時，λⅠ＝0．3對應的E＊θ較大；當1．7≤ka＜2時，λⅠ＝1對應的E＊θ較大；當ka＝1．9、λⅠ＝1時，E＊θ達到最大值，約為2．95。由此可見，在參數ka相同的情況下，λⅠ對E＊θ的分布存在一定的影響。

圖11 SH波水平入射時圓孔周邊電場強度集中系數隨參數ka的分布Fig．11 EFICF around circular cavity edge vs．ka by horizontal SH－wave

圖12 SH波水平入射時電場強度集中系數隨參數ka的分布Fig．12 Variation of EFICF around circular cavity edge vs．ka by horizontal SH－wave

8 結 論

利用Green函數法、“鏡像法”和“契合法”對半空間雙壓電介質垂直邊界附近圓孔對SH波的散射進行分析研究。計算結果表明：入射角度、入射波頻率、量綱一壓電參數對圓孔周邊的動應力強度系數與電場強度集中系數存在影響，且高頻SH波垂直入射對壓電材料的危害較大；隨著入射波頻率的增加，圓孔周邊θ＝－π處的動應力集中系數與電場強度集中系數均隨著ka的增大而振蕩變化。該結果為壓電元件的設計制造及工程應用提供有益的參考

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Scattering of SH－wave by a circular cavity near the vertical boundary in the piezoelectric bi－material half－space

Zhang Ximeng，Qi Hui，Xiang Meng

（College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，Heilongjiang，China）

The scattering of the SH－wave by a circular cavity near the vertical boundary in the piezoelectric bi－material half－space was analyzed using the Green function method and the mirror method to obtain the steady state response．The analytical expression of the wave function was obtained on the horizontal boundaries using the mirror method．This function was the stress－free and electric－displacement－free．According to the continuity condition on the vertical boundary，the first kind of Fredholm integral equations were established，thereby obtaining the analytical expression of the dynamic stress concentration factor and the electric field intensity concentration factor around the edge of the circular cavity by the conjunction method．The influence of the frequencies of the incident wave，the incident angle and the media parameter，etc．，on the dynamic stress concentration factor and the electric field intensity concentration factor was examined and compared with existing literatures using calculating examples．The numerical results show that serious damage occurs when the high－frequency incident SH wave comes in vertically．

half space；piezoelectric bi－material；circular cavity；SH wave；dynamic stress concentration factor；electric field intensity concentration factor

O343．4國標學科代碼：13015

A

10．11883／1001－1455（2017）04－0591－09

（責任編輯 王玉鋒）

2015－11－24；

2016－06－27

黑龍江省自然科學基金項目（A201404）

張希萌（1989－ ），男，博士研究生；通信作者：齊 輝，qihui205＠sina．com。