淺談數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

游紹斌

摘要：數(shù)學(xué)是研究空間形式與數(shù)量的科學(xué)，高中數(shù)學(xué)是綜合研究空間形式與數(shù)量的科學(xué)。而在高考數(shù)學(xué)的考察中，數(shù)形結(jié)合法是研究空間和數(shù)量的最重要的研究方法之一，是幫助高中學(xué)生解決抽象數(shù)學(xué)問題的有效方法。使用數(shù)形結(jié)合法是可以使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題化繁為簡，化抽象為具體，從而幫助學(xué)生更加高效地解決數(shù)學(xué)問題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；重要性；應(yīng)用及效果

數(shù)形結(jié)合法是高中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中掌握的最基本最重要的方法之一，學(xué)生通過數(shù)與行之間的轉(zhuǎn)化，對問題的理解更加深入，更加透徹?？v觀近幾年來數(shù)學(xué)高考試題，數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用無處不在，它已經(jīng)成為學(xué)生解決問題的思路之一。本文就數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進行了簡單的闡述與說明。

一、數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)中的重要性

華羅庚先生在總結(jié)數(shù)形結(jié)合法的重要性時說過一句話：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休”，這一句話充分地說明了數(shù)形結(jié)合法的重要性。高中數(shù)學(xué)的難度較大，題目種類繁多，內(nèi)容錯綜復(fù)雜，學(xué)生掌握起來的難度較大，毫無目的性地做題不僅會消耗大量的時間，反而會降低學(xué)習(xí)效率。因此，學(xué)生必須要掌握解題的方法，節(jié)省解題的時間，提高學(xué)習(xí)效率。高中數(shù)學(xué)的大部分題目都是數(shù)與形結(jié)合綜合考察的題目，對于學(xué)生的解題能力要求較高，學(xué)生必須掌握專門的解題方法才能解題。數(shù)形結(jié)合法是解決數(shù)與形結(jié)合類題目的最好出發(fā)點，通過數(shù)形結(jié)合能大大提高解決數(shù)與形結(jié)合類的題目效率，打開學(xué)生的思路。另外，在古代，數(shù)學(xué)家們就認(rèn)為數(shù)與形不可分家，有“數(shù)”必有“形”，有“形”必有“數(shù)”。隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，這種數(shù)學(xué)解題思想也被延續(xù)下來并發(fā)展壯大，尤其是高中學(xué)生經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，掌握了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，擁有了數(shù)學(xué)自學(xué)能力，對于數(shù)學(xué)也有了自身的理解，學(xué)生對于“數(shù)形結(jié)合法”的應(yīng)用更是輕車熟路，也成為學(xué)生解決問題必備的方法之一。同時，近幾年在高考試卷中，數(shù)形結(jié)合法占的比重就顯得非常突出，對于學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)與形的能力也提出了更高的要求，數(shù)形結(jié)合法已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)必不可少的一部分。

二、數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用及其效果

（一）解決方程與不等式問題

在解決方程問題時可以將方程的解看作兩個圖像的交點，利用數(shù)形結(jié)合法進行求解，簡化方程繁瑣的計算步驟，節(jié)省方程的化簡時間。不等式問題在解決時同方程問題一樣，可以將不等式的解與圖形相結(jié)合，將不等式的大小關(guān)系通過圖形反映出來，這樣會使不等式更加直觀地反映出來，有利于學(xué)生更加清晰地進行思考與解題。比如說在求解2x?+6x-3≥0的根時，可以先利用二次方程的性質(zhì)將二次方程反映在圖形中，在根據(jù)圖形中所反映的問題進行求解，這樣一來根的求解會更加透明，更加便于理解。通過數(shù)形結(jié)合法將方程與不等式問題進行簡化，在高考數(shù)學(xué)緊迫的答題時間中，有利于節(jié)省學(xué)生的答題時間，從而為學(xué)生的思考贏得更多的時間。

（二）解決集合類問題

高中數(shù)學(xué)的集合類問題涉及到元素與集合的關(guān)系，集合的表示方法，集合的真子集與子集以及集合等較多較為抽象的問題，高中學(xué)生對于集合類問題在之前的數(shù)學(xué)課堂中也從未涉獵，學(xué)生初次理解較為困難，學(xué)習(xí)難度較大。這時采用數(shù)形結(jié)合法會讓學(xué)生直觀地了解集合問題，更加深入地挖掘集合知識。在解決集合問題的過程中，將集合問題圖形化，將抽象問題簡單化，更加高效地吸收與理解集合知識。比如在描述集合的子集與真子集的問題時，學(xué)生僅僅通過言語感知很難真正理解它們的真正含義。但是，利用數(shù)形結(jié)合法將集合的子集在圖形中列視，學(xué)生通過圖形去理解知識，從而會更加深刻，對于集合的理論知識與性質(zhì)記憶也會一目了然。數(shù)形結(jié)合法在解決集合類問題中是必不可少的，同時也是解決集合類問題最高效率的方法。因此，教師應(yīng)督導(dǎo)學(xué)生在解決集合類問題時應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，從而取得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進步。

（三）解決三角函數(shù)類問題

三角函數(shù)類問題是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，其重要性不言而喻。由于三角函數(shù)的性質(zhì)較為復(fù)雜，數(shù)形結(jié)合法在三角函數(shù)中的應(yīng)用較為廣泛。首先其可以簡單快捷地判斷三角函數(shù)的周期，比如判斷函數(shù)f（x）=tanx÷sinx最小正周期時，可以利用數(shù)形結(jié)合法先對函數(shù)進行化簡，再畫出圖像，函數(shù)的最小正周期一目了然，不僅提高了解題效率還節(jié)省了解題時間。其次數(shù)形結(jié)合法可以幫助比較一些較難計算的函數(shù)值的大小。在高中數(shù)學(xué)的解題過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)比較函數(shù)值大小的問題，學(xué)生在遇見此類問題時，如果是經(jīng)過計算即可簡便得出結(jié)論的三角函數(shù)值，學(xué)生不會浪費過多的時間耽誤解題進度，但是大部分的三角函數(shù)值同普通的函數(shù)值是不同的，三角函數(shù)值一般無法直接經(jīng)過計算得出，這時就需要采用數(shù)形結(jié)合法來對三角函數(shù)值進行比較，從而得出結(jié)論，快速高效地解決問題。比如在比較三角函數(shù)sinx與cosx在[0，π╱2]的大小時，通過計算根本無法解決問題，這時將數(shù)形結(jié)合法應(yīng)用其中，便可以很快得出答案。同時，在三角函數(shù)中利用數(shù)形結(jié)合法可以直接判斷出函數(shù)的單調(diào)性與計算出三角函數(shù)的值，三角函數(shù)的單調(diào)性與一次函數(shù)不同，它不可以直接通過函數(shù)表達式根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出，必須要畫圖結(jié)合公式才能求解，而部分三角函數(shù)的值也必須要通過數(shù)與形的結(jié)合才能得出結(jié)果。在三角函數(shù)中利用數(shù)形結(jié)合法解題，大大提高了解題效率，解決了三角函數(shù)中通過繁瑣計算解決浪費時間的問題。

（四）解決線性規(guī)劃問題，簡化思路

線性規(guī)劃通常作為高考的中檔難度的試題出現(xiàn)，考察形式多種多樣。因此，考生在解決此類問題時必須要掌握一定的技巧與方法，提升解決此類問題的速度，為緊張的高考數(shù)學(xué)答題贏取更多的時間，進而提高分?jǐn)?shù)。數(shù)形結(jié)合法在線性規(guī)劃中主要用來解決不等式組中求平面區(qū)域或者取值范圍。比如求取不等式組3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9表示的平面區(qū)域類的問題，涉及到此類的線性規(guī)劃時，教師應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解題，同時為學(xué)生總結(jié)此類問題的解決方法。

三、結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合法是高中數(shù)學(xué)重要的解題方法之一，教師應(yīng)為學(xué)生做好題型的總結(jié)與概括，提醒學(xué)生注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解題，要讓學(xué)生通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化真正理解數(shù)形結(jié)合法解題的奇妙，體會數(shù)形結(jié)合思想所帶來的解題便利，從而讓學(xué)生提高數(shù)學(xué)解題的速度與正確率，提高高考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績。