常微分方程組視角下的中等收入陷阱

摘 要：文章利用常微分方程組及動力系統的分析方法，研究中等收入陷阱的特征。并且根據不同動力系統的特點，提出了擺脫中等收入陷阱的方法?？梢詫⑦@種分析方法拓展到多維度空間，也可以用來分析高階導數下的情況。

關鍵詞：常微分方程；動力系統；中等收入陷阱；經濟發展

在各國經濟發展過程中，往往會出現一定程度的停滯。當一個國家達到中等發達國家水平時，經濟發展逐漸失去動力，容易陷入到經濟增長乏力、經濟發展停滯等問題。從經濟發展的角度看，一個經濟變量的增長率可以通過對這個變量進行求導得到。如果用GDP表示中國GDP原始值，那么可以用 表示中國GDP增長率；類似的，如果用TRADE表示中國對外貿易的原始值，那么可以用 表示中國對外貿易增長率。

中國的改革開放可以分為兩部分：改革和開放。改革通常指針對國內經濟發展的經濟體制革新；開放指中國對外經濟貿易和金融合作的發展。在1978年中國改革開放初期，中國的經濟發展和對外開放都以非常高的速度發展，增長勢頭勢不可擋。但至今我國改革開放已經進行了四十多年，不管是我國的GDP增長率，還是貿易增長率，都進入了一個相對穩定的時期，經濟進入新常態。

在研究中國的GDP增長問題時，不能停留在靜態視角，需要從動態角度去分析，將時間t這個概念引入到對問題的分析中。微分方程是解決這個問題的有力工具。一個最常見的微分方程是：

其中，k為外生常數，k大于零。也就是說，GDP的增長率和GDP本身有關。隨著GDP增大，GDP的增長率也增大。求解這個常微分方程，得到如下結果。

從這個結果可以看出，GDP呈現指數增長。但是如果k小于零，那么GDP的發展就會出現收斂的情況。對于我國的對外貿易，也可以進行類似的分析。假設中國對外貿易滿足如下公式。

從這個結果可以看出，TRADE呈現指數增長。但是如果 小于零，那么TRADE的發展就會出現收斂的情況。

上面問題中的例子中，不管是GDP還是TRADE，其隨時間的運行軌跡都是非線性的。具體說來，其隨時間的運行軌跡是指數型。當k大于零時，呈指數遞增趨勢；當k小于零時，呈指數遞減趨勢。實際上，最常使用的是線性模式。其數學方程式如下。

GDP的增長率與GDP本身無關。隨著GDP增大，GDP的增長率不變。求解這個常微分方程，得到如下結果。

從這個結果可以看出，GDP呈現線性增長。但是如果k小于零，那么GDP呈線性下降模式。對于我國的對外貿易，也可以進行類似的分析。假設中國對外貿易滿足如下公式。

從這個結果可以看出，TRADE呈現線性增長。但是如果 小于零，那么TRADE的發展就會呈現線性下降模式。

不管是上面的指數形式增長的GDP，還是呈現線性增長的GDP，其增長率均一直為正，或者一直為負。下面介紹一個更為復雜的線性模型。試想：當GDP比較小時，GDP的增長率很高，但是當GDP很大時，GDP的增長率會下降?？紤]如下等式。

其中：a和Ψ為外生常數。從這個等式中可以看出，當GDP處于較低發展水平時，其增長率較大，當GDP增長為較大規模時，其增長率下降，甚至變為負數。上面的方程是一個一階自洽的微分方程。一階的意思是：方程里面最高出現的導數是未知數的一階導數，自洽的意思是：方程的右邊只和GDP有關，和t無關。但方程右邊不是關于GDP的線性形式，因此上面的方程是一階非線性自洽方程。

不失一般性，假設Ψ=1，上面的一階非線性自洽微分方程的解如下。

可以證明：GDP的增長極限值是Ψ。對TRADE的分析也可以類似進行。

在可變增長率模型中，還有一種情況，如下公式。

其中，h是一個大于零的常數。上面的模型還可以進一步擴展。

這個拓展模型可以體現經濟的周期性波動。

一些常微分方程具有解析解，但還有不少常微分方程沒有解析解，在這種情況下，需要利用隱性函數的方法，來表征微分方程的解。

上面我們總共介紹了三種經濟增長模式。第一種是線性增長模式，第二種是指數增長模式，第三種是可變增長率的增長模式。在一個國家GDP發展的不同階段，其增長模式是不同的。而且不同經濟變量之間的經濟增長相互關系不是相互獨立的，而是相互影響的。這可以通過將不同經濟變量組成方程組來解決。而且為了求得解析解，通常構造線性一階自洽系統來分析。

在線性一階自洽微分方程組里面，有N個方程需要被求解，每個方程都是t的函數，在每個方程的右邊，都沒有t，且都是關于變量的一階函數。在求解這類問題時，需要用到矩陣算法。而且和矩陣的特征值及特征向量直接相關。

作者簡介：沈琪（1978.01- ），女，漢族，山東淄博人， 副教授，博士，研究方向：國際貿易。