追問之后的思考

顏波

案例：關于球內接正方體的圖形探究

問題來源于一節新授課：球的表面積和體積。在學習了球的表面積和體積兩個基本公式后，我給出了一道例題：若邊長為1的正方體的8個頂點都在球O的表面上，則球O的體積是多少？

這只是一道很常見的例題，很多老師都講過這道例題，顯然這道題的難點在作圖。給學生留了兩三分鐘探索，學生們第一次接觸這類題目，圖形畫的五花八門。我的講法是：只畫正方體（不畫球體），只要找到球心位置，并能夠算出正方體的對角線長……。并投影出了如下的一幅圖。

不料學生們說這幅圖看起來只有兩個頂點在球面上，怎么看都不像8個頂點都在球O的表面上，請求拿個模型看看，要不畫個像點的圖形。由于沒有相關的模型，我就畫了圖：先畫了背景大圓，再畫了兩個截面小圓，然后把正方體放進去，于是問題來了：當A1、C1在截面小圓上時，B1、C1就不在截面小圓上，B1、C1都在小圓上，則正方體又走形了（囧），最后只好在圖1的先畫正方體的基礎上很牽強的補畫兩個截面橢圓，蒙混過關了。

課后，有兩學生單獨來問：“老師，截面小圓的半徑是您隨手畫的么？有沒有什么要注意的？我們也畫了兩個截面小圓（您看），但是正方體放進去怎么看都不對勁。”我很詫異也很開心：“不錯，你能注意到這個細節，說明你是好好想了。這里的確有一些地方要注意：① 兩個截面小圓要等大（半徑均為r）且平行；② 兩個截面小圓與球心O距離相等，均為d；③ 注意：；④ 回去再畫畫，把圖畫大些，用作圖工具精準作圖，應該能畫成功。”

沒想到我這居然只是填了一個表面的小坑，卻又給自己挖了一個更大的坑。

第二天學生把畫好的圖形拿給我看，他的步驟如下：

（1）先以AB為直徑畫個大圓，再畫兩個截面小圓。

（2）依題意，若是正方體棱長為，則

即：：，學生用尺規作圖，作出了長度比為的線段。

（3）如圖2，MP：MQ：QN=。

（4）如圖3：OE=MP，EC=MQ，OC=QN。

再用斜二測畫法畫出截面小橢圓，發現：橢圓總有一部分在大圓之外（如圖4）.

后來改用正等測畫法畫橢圓，問題依然沒有解決（如圖5）！這是為什么呢？

首先肯定學生的數據運算無誤，其次該學生當面用斜二測畫法和正等測畫法畫橢圓，顯然這兩個橢圓也畫的中規中矩，我沒有想到會這樣，一時也沒能解決這個問題。

第二天周測監考時，無聊的我又想到了這個問題，就開始觀察學生們放在桌子上的礦泉水瓶和水杯，發現水面的橢圓形（視覺效果）無論以哪個角度看，橢圓都是左右對稱的，用斜二測畫法似有不妥。從圖中還可以看出：和斜二測畫法相比，正等測畫的橢圓在大圓之外的部分要少一點，可是仍然有一部分橢圓在大圓之外。此外，橢圓長軸CD的兩個端點均在橢圓上是不合理的，原因如下：若是從斜上方向斜下方看球體，CD的兩個點均在大圓的內部，d的視覺長度也應比實際長度小一些，只有R不會改變。

有了以上經驗，如果用手工畫圖，作法調整如下：① 畫背景大圓（點出圓心）；② 定兩個截面小圓的圓心（d約為R的五分之三略少，大致準確就好）；③ 畫兩個截面小圓（等大，略小于外部輪廓大圓），以正等測畫為宜；④ 在截面小圓中畫兩條過橢圓中心的弦，連出平行四邊形，進而連出正方體。

當然，用幾何畫板畫好后保存好，以后就可以一勞永逸了。值得一提的是：在畫圓內接正方形的直觀圖時，原正方形的兩條對角線在直觀圖中對應為橢圓的兩條共軛直徑（如圖，此處請打開超鏈接），用正等測畫法精準表現這個圖形有一定難度，而用斜二測畫法則相對簡單（如圖），拖動點C可觀看動畫。在此基礎上我用斜二測畫法作出了動態的球內接正方體的效果圖（如圖，此處請打開超鏈接），拖動點C，則正方體位置變化。

不足與疑惑：

1.用斜二測畫法處理此圖合理么？與實物圖形有何不同？

2.截面橢圓應該有一半虛線一半實線，可是在幾何畫板的界面下，用構造橢圓法畫橢圓要么全實線要么全虛線。據說有個版本的幾何畫板能夠實現這個效果；

3.如果看幾何體的視角變化呢？比如：觀察線段AB時，AB的實際長度，AB的的視覺高度AC，在水平面上的投影長度AD都會不同。

顯然斜二測畫法僅僅只是某個特定視角下的畫法規則，雖然這種畫法已經廣為流傳，但是有幾個老師想過它的理論背景呢？能不能在畫圖時改450角為某個定角θ呢？縱向長度折半改為呢？在這兩個新規則下用幾何畫板嘗試畫直觀圖，同樣是可行的。若將問題推廣到一般視角下的直觀圖，畫法規則該如何調整？能否給出一個嚴謹的理論支撐？看來這個問題還遠未得到完全的解決呀！

反思總結：

1.以后在教學中碰到這類問題，不建議畫出整個幾何體的直觀圖，只需畫出平直狀態下的幾何體，最多加一個圓形作為襯托平面。如：設正方體的棱長為a，球半徑為R：①若球與正方體的每個面都相切，則 R=______；②若球與正方體的各棱相切，則 R=______；③若正方體的八個頂點都在球面上，則 R=______。（如圖）

2.如果有一個實物模型，球面用透明塑料殼，內部正方體用皮筋勾連出各棱，在課堂上公開展示，或者讓學生傳看，效果肯定比老師投影平面圖形表現空間圖形好得多。不知這樣的模型在哪里有賣？我也想自己做一個，小球用氣球代替，但總是做的不滿意。希望學校能夠為數學老師多進一些數學模型。

3.活到老學到老，這是顛撲不破的道理，路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索！