善用錯誤效應 提高思維能力

王利亞

[摘 要] 高中數學在培養學生邏輯思維能力、空間想象能力上有著突出的作用. 在數學教學中，學生往往會對某些問題難以理解、掌握，常常出現邏輯、理解、運算等錯誤，學習過程中的錯誤常常影響著學生對知識的了解和知識更深層次的運用、理解，這無疑對學生形成扎實的雙基和更進一步的學習產生了副作用. 本文將從獨特的視角去闡述，如何正確面對數學學習中出現的錯誤，并以這些錯誤為載體更好地提高學生的思維能力.

[關鍵詞] 數學；錯誤；思考；思維能力

在教學中，筆者常常遇到學生這樣的問題：“老師，我能聽懂你上課的內容，但是當遇到自己做題時卻往往有各種各樣的錯誤，有些是計算上的、有些是知識理解上的、有些是方法選擇上的，最難的是有無從下手的！這該怎么辦呢？”這一現象，我們稱之為數學學習中的“懂而不會”，在高中生學習數學的過程中普遍存在，久而久之有些學生因此而喪失了學好數學的信心，甚至致使少數初中數學學習的佼佼者淪為高中數學學習的失敗者.

分析學生錯誤產生的原因，筆者認為有利于改善我們的教學. 從這些錯誤的原因來看，諸如高中數學知識的難度上升、學生學習習慣的差異、學習心態穩定與否、家庭教育的全面性等等都有一定的關系. 本文將從數學知識角度來進行分析，筆者認為學生在進入高中之后，隨著高中數學更具形式化、更抽象，學生對知識的理解遇到了困難，久而久之的困難堆積形成思維障礙，這些障礙形成學生學習過程中大量錯誤的積累，在得不到及時解決時便會造成大量困難. 因此，筆者在想將這些錯誤成因進行歸類，并利用這些常見的錯誤引導學生分析、理解，進而減少其學習過程的類似錯誤，提高數學學習的有效性和其思維能力，這對于教師而言是具有重要意義的工作.

[?] 從雙基錯誤提高思維辨別

雙基教學一直是我國數學教學的優良傳統，也是課程改革中堅持下來的東西. 從高一到高二，學生一直致力于學習數學的新知，在此過程中打下堅實的基礎顯得尤為重要. 相比初中數學，高中數學學習的特點發生了巨大的變化：新知的進度完全超乎學生的想象，使得高一新生學習數學非常疲憊；數學的題型變化多端，即使能理解教材中的數學基本知識也難以完全應對千變萬化的試題；高中數學的運算水平陡然上升了層次，在計算上使一般計算水平的學生止步不前等等. 這些都是雙基的具體表象，在這些困難的背后，造成學生不斷在數學學習中出現錯誤. 如何解決和利用這些錯誤使得學生學習更堅實？進而提升學生的思維能力呢？來看一個案例：

案例1（高一抽象函數）函數f（x）對任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且x>0時，恒有f（x）>1.

（1）求證：f（x）在R上是增函數；（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a-5）<2.

學生錯誤成因：（1）對抽象函數，在教師的角度而言都是一類問題，學生卻難以理解：明明沒有表達式卻要分析其單調性、奇偶性，怎么使用條件中的抽象式是難點；（2）在解決抽象不等式的時候，學生沒有利用單調性脫去“f”的思想，致使問題停留在表層.

善用錯誤效應：抓住這樣的抽象函數問題，筆者對其進行舉一反三的分析：（1）對于抽象函數的單調性的證明，只能用定義，應該構造出f（x2）-f（x1），并與0比較大小. （2）將函數不等式中的抽象函數符號“f”運用單調性“去掉”是本小題的切入點.要構造出f（M）

解析：（1）設x10. 因為當x>0時，f（x）>1，所以f（x2-x1）>1，f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-1，所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1>0·f（x1）

（2）因為m，n∈R，不妨設m=n=1，所以f（1+1）=f（1）+f（1）-1?f（2）=2f（1）-1，f（3）=4?f（2+1）=4?f（2）+f（1）-1=4?3f（1）-2=4，所以f（1）=2，所以f（a2+a-5）<2=f（1），因為f（x）在R上為增函數，所以a2+a-5<1?-3

思維辨別：本題對函數的單調性的判斷是一個關鍵點. 不會運用條件x>0時，f（x）>1. 構造不出f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1的形式，找不到問題的突破口. 第二個關鍵應該是將不等式化為f（M）

[?] 從綜合問題提高思維整合

立足雙基之后的教學，數學教學要提高到整合性教學的層面來面對錯誤效應，進而提高思維的整體性和整合能力. 本人認為，高中數學中立體幾何是思維整合性和整體性較好體現的知識板塊，近年的高考立體幾何題多選擇的是可以用傳統法和向量法均能解決的幾何體編制的試題，既關注了傳統法，也留意向量法. 傳統法的優點是少運算多思考，向量法則恰恰相反，我們的教學中不能過于依賴某種方法，既學好傳統法有利于解決簡單的證明和培養空間想象能力，也能利用向量法解決角和距離，這里的一個“度”的把握，提高了綜合問題解決的思維整合.

（2）設D是BB1的中點，DC1與平面A1BC1所成的角為θ，當棱柱的高h變化時，求sinθ的最大值.

學生錯誤成因：（1）傳統法中線面角概念的缺失及傳統方法中線面角的尋找；（2）空間向量法中運算能力的缺失.

善用錯誤效應：第（2）問求解線面角時，主要抓住傳統法中的線面角定義，怎么不斷通過線面垂（射影）去找尋線面角對學生來說是難點和易錯點；另外一種方法是利用空間向量法，本題的直角坐標系建立比較容易，要解決線面角最大的易錯之處就是空間向量的運算.

思維整合：線面角一直是立體幾何的難點，傳統法最大的困難在于如何找到其所在；向量法的易錯點很明顯在兩個方面，其一是代數的運算，其二是傾斜的幾何體或組合體如何解決.

總之，本文在數學基本和整合的角度談了問題的錯誤效應，以及利用錯誤提升思維的兩個方面. 限于時間和篇幅，著重以“雙基的錯誤效應、整合的錯誤效應”視角出發，以錯誤為載體尋求應對這些錯誤的方法展開敘述，期間還有很多問題沒有涉及，還有一些方面本人未能從自身的教學實踐中提煉、總結出來，期待補充. 以上是筆者的管窺之見，希望大家能夠不吝賜教.