二十一世紀新型數學工具“新篩法”

相振全?王龍

摘 要：本文介紹了數學史中出現的三種篩法。研究了這三種篩法的數學工具性，分析了三種篩法的數學思維法式。得出了創新思維主導下的思維法式，能夠得出創新的數學方法：一種新型數學工具“新篩法”-結論。

關鍵詞：二十一世紀；“新篩法”工具 ；三個層次；新數學思想

一帶一路建設，中華文化的復興，中國夢的實現是一個全方位的開放政策機遇。在這樣的機遇背景下，弘揚中華傳統數學思想繼承發展中國數學經典《九章算術》理論，正是一個絕好的機遇。在困惑迷惘中，在幾千年的“路漫漫兮”探尋數學工具中，人們發現了篩法。

篩法一詞起源于公元前250年左右。篩法是研究和素數（質數）有關的數學工具。

一、希臘數學家Eratrosthenes因提出對一個正整數N，如果不能被≤ 的任何一正整數整除，該整數N必是素數（質數）的篩選質數（素數）的方法而得名。這種數學方法就是Eratrosthenes篩法。現在還應用在我們的業務教育小學課本中。不難發現這種篩法是用“≤ 的素數”去除N.，來判定N是否是素數的方法。在20 世紀初期，挪威數學家布倫改進了Eratosthenes篩法，王元、潘承洞做出了卓越的貢獻，同陳景潤的加權篩法推動了數學史的發展。但是這種篩法有有其缺陷性，使數學家們共同的認知。

二、在二十世紀的1934年，東印度的學生Sundaram又開辟了一個路徑，他列方格表形式，第一行是首項為4、公差為3的數列4，7，10， …；同時第一列也是由這一數列所確定的，這 樣后面的每一行的第一個數也就確定了.自第 二行起每一行的公差依次是5，7，9，11，…自第 二列起每一行的公差依次是5，7，9，11，…如下表：

從1起，不在表中的數若是m，那么，2m+1是一個素數（質數）如1，2，3，…；1×2+1=3（質數），2×2+1=5（質數），3×2+1=7（質數）…。從文對這種篩法的真實性的逆否命題證明過程可以發現，Sundaram篩法的建立從本質上擺脫了Eratrosthenes的數學思維模式。具有一定的創新性。也有很大的局限性。其應用受到限制。

文指出：“可以相信，在哥德巴赫猜想的研究中，有待于將來出現一個全新的數學觀念。”。文指出：“近代數學之所以能夠發展到今天，主要是靠的是中國數學，而非希臘數學，決定數學歷史進程的主要是中國的數學而非希臘數學。”

三、“新篩法”是吸收了《九章算術》）中的篩法元素，形成獨立的篩法體系，創立于二十一世紀的2006年。出自于文、完善于文。《九章算術》是世界上系統地敘述分數算法的最早著作，遠在歐洲之前大約一千五百年便建立了成熟的分數理論。在《說文解字》中有“實，富也。以宀從貫；貫，貨，貝也”是說“實”是錢財貨物之總稱，即泛指一切實物。而“法”的涵義起源于西周至秦漢的度量單位。這個“總稱”就是“實”，“實”可以大于“法”；也可以等于“法”；也可以小于“法”。《九章算術》中的分數理論“以法為母，實余為子”，“法實相推”，還原“法與實”。成為“新篩法”形成的重要依據。中國傳統的籌算法：分數總被還原為一對整數“法”與“實”進行分別運算，從而使在籌算法下進行“法實相推”的動態推演。因而，在形成的新篩法理論中是以：尋找“法”與“實”，還原“法”與“實”為目標。在解決問題時，始終把“法實相推”，還原“法”與“實”為工具，創造出三類篩法工具。包含三個層次。其核心定理如下：

第一類新篩法，定理：整數時，用于篩出素數n的方法。

第二類新篩法，定理1，.M，是非零整數，若，有，用于篩出非整數或素數的方法。定理2，（M，a，b，c，k均為非零整數）則：為整數。用于篩出非整數或素數的方法。

第三類新篩法，在將“法實相推”引入到開區間時，達到新篩法的第三個層次，也就是開區間篩法。如開區間篩法小定理，當n≥8時，在開區間（n，2n）中任意整數滿足篩法式：又如開區間篩法大定理，當實數x≥12時，在開區間（）中任意奇數滿足篩法式：這兩個定理用于數與數之間存在素數的證明；用于所有和素數有關的數學問題的證明。這種新篩法應用十分廣泛。可以證明很多和整數法相關的猜想，在文中得以充分體現。因為文包含了，建立新篩法和等價篩法及篩法輔助定理和已經證明的很多猜想；大約有引理，定理170個，因為以它新奇的創造性的數學思想；因為以它嚴密的數理邏輯貫穿在文之中，它已經榮獲了西安市教育局頒發的基礎教育成果一等獎，榮獲了陜西省教育廳頒發的全省基礎教育優秀成果一等獎；榮獲了中國國家基礎教育研究中心總課題組頒發成果的一等獎。從新篩法的形成過程，可以發現“新篩法”是“擺脫了Eratrosthenes的思維模式，創造性的用“法實相推”還原“法與實”的數學思想，尋找“[x]！實”中是否存在“法n或ai”這個真因數來判定n或ai是否是素數的數學思想。它是二十一世紀新型的數學“工具”。它結合數學歸納法、同余性質、階乘定理、法實相推，還原法實等方法，在應用的篩法是以解析方程形式出現，結合“法實相推”的動態推演，可以形成所需要的方程，解決問題十分簡單。這個過程真正進入了一個“法實相推”繽紛的數學世界。

參考文獻：

[1]張元楠.否定中的肯定[M].上海：科學普及出版社，1991：32—33.

[2]王元.哥德巴赫猜想[M].山東：山東教育出版社，1999：61.

[3]吳文俊.中的古代數學對世界文化的偉大貢獻[J].數學通報，1975：1（18）.

[4]相振泉.新篩法導論[M].陜西：陜西人民出版社，2006：140—150.

[5]相振泉.新篩法導論[M].陜西：陜西人民出版社，2016：130—300.

作者簡介：相振全，男，陜西西安人。

王龍，陜西西安人，西安市第六十八中學高級教師。