淺談帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

甘紅德

【摘要】縱觀近幾年的高考理綜物理試題，帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)幾乎年年都有，題型有選擇題和計(jì)算題，更多以壓軸題（計(jì)算題）的形式出現(xiàn)。這充分說(shuō)明帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)，它對(duì)學(xué)生的空間想象能力、分析綜合能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力有較高要求。

【關(guān)鍵詞】帶電粒子；有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)；運(yùn)動(dòng)；解題思路

一、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)模型的構(gòu)建

當(dāng)帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)僅受洛倫茲力（粒子重力忽略不計(jì)），將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域有邊界，將是一段不完整的圓周運(yùn)動(dòng)。

二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的解題思路

先確定圓心。一般方法為：①已知入射方向和出射方向時(shí)，過(guò)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)做垂直于速度方向的直線(xiàn)，兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓弧軌跡的圓心；②已知入射點(diǎn)位置及入射時(shí)速度方向和出射點(diǎn)的位置時(shí)，可以通過(guò)入射點(diǎn)做入射方向的垂線(xiàn)，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，做其中垂線(xiàn)，這兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓弧軌跡的圓心。

再畫(huà)軌跡。先用圓規(guī)準(zhǔn)確畫(huà)出粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)完整的圓周，再觀察在有界磁場(chǎng)的這段圓弧，這樣容易尋找?guī)缀侮P(guān)系。

然后求半徑。①用幾何關(guān)系，有時(shí)需添加必要的輔助線(xiàn)；②利用粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑公式求：。

最后求運(yùn)動(dòng)時(shí)間。設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為，即，粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間可表示為：

三、勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域邊界類(lèi)型

（一）直線(xiàn)邊界

1. 單邊界（進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱(chēng)性，如圖1所示）。

圖1

2. 雙邊界（存在臨界條件，如圖2所示）。

圖2

（二）圓形邊界

1. 沿圓形區(qū)域徑向射入的帶電粒子，必沿徑向射出（如圖3所示）。

2. 帶電粒子從圓與某直徑的一個(gè)交點(diǎn)射入磁場(chǎng)則從該直徑與圓的另一交點(diǎn)射出時(shí)，磁場(chǎng)區(qū)域最小；帶電粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角最大；粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)（如圖4所示）。

圖3 圖4

四、典型例題分析

例1：（2017全國(guó)卷Ⅲ·24）如圖5，空間存在方向垂直于紙面（平面）向里的磁場(chǎng).在區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為；區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為（常數(shù)）.一質(zhì)量為、電荷量為（）的帶電粒子以速度從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿軸正向射入磁場(chǎng)，此時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，當(dāng)粒子的速度方向再次沿軸正向時(shí)，求（不計(jì)重力）：

（1）粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（2）粒子與O點(diǎn)之間的距離.

圖5 圖6

解析：（1）粒子在區(qū)域運(yùn)動(dòng)了半個(gè)圓周后，速度方向垂直y軸正向，之后進(jìn)入?yún)^(qū)域再運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，速度方向再次沿軸正向.

在區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

所以粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

（2）粒子第一次到達(dá)y軸時(shí)離O的距離點(diǎn).

再次到達(dá)y軸時(shí)，.

所以粒子與O點(diǎn)之間的距離.

【思路點(diǎn)撥】解答本題應(yīng)把握以下兩點(diǎn)：

（1）熟練運(yùn)用兩個(gè)重要結(jié)論： .

（2）兩次到達(dá)y軸的位置關(guān)系。

例2：（2010全國(guó)卷Ⅰ·26）如圖7，在區(qū)域內(nèi)存在與平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為.在時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內(nèi).已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng).求：

（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷；

（2）此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；

（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間.

圖7

解析：由題知沿y軸正方向發(fā)射的粒子從磁場(chǎng)邊界上點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，利用圓規(guī)可做出其軌跡圖像如圖8，由于粒子速度方向在0～180°范圍內(nèi)，其他方向的軌跡可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)第一個(gè)圓得到（O點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)），如圖9所示；從圖中可明顯發(fā)現(xiàn)第（2）問(wèn)與第（3）問(wèn)所涉及的粒子軌跡所在位置，利用幾何關(guān)系便可解答此題。

圖8 圖9

（1）初速度與y軸正方向平行的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10中的弧OP所示，其圓心為C.由題給條件結(jié)合幾何關(guān)系可得：

①

②

此粒子飛出磁場(chǎng)所用的時(shí)間為 ③

又由周期公式 ④

聯(lián)立③④式，得 ⑤

（2）同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子到O點(diǎn)距離必相同.在t0時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以O(shè)點(diǎn)為圓心、為半徑的弧上，如圖10所示.

設(shè)此時(shí)位于P、M、N三點(diǎn)的粒子的初速度分別為、、。由對(duì)稱(chēng)性可知與OP、與OM、與ON的夾角均為.設(shè)、與y軸正向的夾角分別為M、N，由幾何關(guān)系有：M= ⑥ N= ⑦

對(duì)于所有此時(shí)仍在磁場(chǎng)中的粒子，其初速度與y軸正方向所成的夾角應(yīng)滿(mǎn)足： ⑧

圖10 圖11

（3）在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間最長(zhǎng)的粒子轉(zhuǎn)過(guò)圓心角必最大，其運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與磁場(chǎng)右邊界相切，其軌跡如圖11所示.由幾何關(guān)系可知， ⑨，由對(duì)稱(chēng)性可知，，從粒子發(fā)射到全部粒子飛出磁場(chǎng)所用的時(shí)間 ⑩

【思路撥點(diǎn)】解答本題應(yīng)把握以下三點(diǎn)：

（1）所有粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑相同；

（2）把粒子運(yùn)動(dòng)的各種情形畫(huà)出來(lái)進(jìn)行比較分析，O點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的一系列旋轉(zhuǎn)圓，這樣容易尋找規(guī)律；

（3）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與圓弧長(zhǎng)度成正比，即與轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角成正比。

例3：如圖12所示，相距為R的兩塊平行金屬板M、N正對(duì)著放置，S1、S1、S2分別為M、N板上的小孔，S1、S2、O三點(diǎn)共線(xiàn)，它們的連線(xiàn)垂直M、N，且.以O(shè)為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng).D為收集板，板上各點(diǎn)到O點(diǎn)的距離以及板兩端點(diǎn)的距離都為，板兩端點(diǎn)的連線(xiàn)垂直M、N板。質(zhì)量為、帶電量為的粒子，經(jīng)S1進(jìn)入M、N之間的電場(chǎng)后，通過(guò)S2進(jìn)入磁場(chǎng)。粒子在處的速度和粒子所受的重力均不計(jì)。當(dāng)M、N之間的電壓不同時(shí)，粒子從S1到打在D上經(jīng)歷的時(shí)間t會(huì)不同，求t的最小值。

圖12 圖13

解析：M、N之間的電壓越大，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度越大，粒子在極板之間經(jīng)歷的時(shí)間越短，同時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑越大，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角就越小，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也會(huì)越短，出磁場(chǎng)后勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也越短.所以當(dāng)粒子打在收集板D的右端時(shí)，對(duì)應(yīng)時(shí)間t最短。

粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

由幾何關(guān)系得粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑.

粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

出磁場(chǎng)后勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

因此，整個(gè)運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間.

【思路點(diǎn)撥】解答本題應(yīng)把握以下兩點(diǎn)：

（1）一個(gè)重要結(jié)論：帶電粒子沿徑向射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，則一定沿徑向從磁場(chǎng)區(qū)域中射出。

（2）判斷什么情況粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，打在收集板上的哪一位置。