滾動軸承性能時間序列的模糊假設檢驗

栗永非，楊彬彬

(新鄉職業技術學院，河南 新鄉 453006)

滾動軸承的性能指標包括摩擦力矩、振動和噪聲等，對軸承的運行具有重要影響[1-6]，因此滾動軸承性能時間序列的演化問題成為了研究的熱點[7-8]。

目前，傳統的假設檢驗是以已知大量采樣數據和概率分布為前提的，對于概率分布未知、趨勢未知和小樣本的情況，基于經典統計理論的假設檢驗可能是無效的。為此，以模糊系統的基本原理為依據，提出改進的模糊關系，建立模糊假設檢驗模型，提出系統屬性模糊假設檢驗的準則、否定域與模糊置信水平，采用Monte Carlo仿真和試驗研究驗證該模型的有效性。

1 模糊假設檢驗模型

1.1 基本原理

滾動軸承性能參數的時間序列為

X=(x(1),x(2),…,x(t),…,x(T));

T>5，X?R，

(1)

式中:T為數據的個數；R為模糊集。

為評估滾動軸承質量的歷史演變，從X中任意取Xi和Xj，可得

Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(k),…,xi(K));

Xi?Ui;i=1,2,…，

(2)

Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(k),…,xj(K));

Xj?Uj;j=1,2,…;k=1,2,…,K;2

(3)

式中：k為新數據序列的個數；Ui為Xi的屬性集；Uj為Xj的屬性集。

由于Xi和Xj是關于下標i和j的時間序列，能夠從小到大形成連續的有序對(X1,X2), (X2,X3), (X3,X4)，…，因此，可以通過識別這些有序對的多樣性實現對滾動軸承質量演變的有效評價。為便于敘述，i和j統一用h表示，則(2)式和(3)式表示為

Xh=(xh(1),xh(2),…,xh(k),…,xh(K));

k=1,2，…,K;Xh?Uh;h=i,j，

(4)

式中：Xh為K個小樣本；Uh為隨機的概率分布。在概率分布及趨勢規律未知的情況下，研究xi和xj是否具有相同的屬性。

1.2 改進的模糊關系

在模糊集理論[9-10]中,通過隸屬函數研究模糊實體從真到假或從假到真的轉變規律。基于乏信息的模糊假設檢驗，其否定域可以通過對數據信息轉折點確立。

設定參考序列為

X0=(x0(1),x0(2),…,x0(k),…,x0(K))，

(5)

x0(k)=xi(1)，

(6)

以序列Xi中xi(1) 作為參考點或演化的起點。

根據灰色系統理論，定義隸屬函數為

γ0h(k,ξ)=

0<γ0h(k,ξ)≤1，

(7)

式中：ξ為分辨系數，ξ∈[0,1]。

隸屬度為

(8)

隸屬差為

dij(ξ)=|γ0i(ξ)-γ0j(ξ)| ，

(9)

式中：dij(ξ)為關于ξ的函數且dij(ξ)∈[0,1]。由于很難區分時間序列屬性的量變和質變，且量變和質變的轉折點是不確定的，因此給定一個重要參數

(10)

式中：ξ*為最優分辨系數；dij max為最優隸屬度的絕對差。

當dij=dij max時，時間序列Xi和Xj的差異最大，若仍然存在(Xi,Xj)?U(U為屬性集)，則拒絕I型錯誤[9-10]。

為了深入研究Xi和Xj之間的屬性變化，根據模糊集合理論，模糊關系定義為

(11)

rij∈[0,1]，為等價系數(或Xi和Xj的隸屬度關系)，可由以下模型得到

(12)

式中：η為權重系數。

由(9)～(12)式可知i=j,rij=1。 這表明R具有自反性。此外，R具有對稱性和傳遞性，因此，R是一個等價關系。R是對模糊關系的改進，被稱為改進等價關系(空間)。

1.3 經驗置信水平

為解決模糊集理論的問題，采用權重來定義經驗置信水平。

考慮到dij max∈[0,η]，由(12)式得

dij max=(1-rij)η，

(13)

使rij=λ，定義經驗置信水平為

PE=PE(η)=(1-λη)×100%。

(14)

若給定PE，則

(15)

1.4 模糊假設檢驗準則

若

rij≥λ,

(16)

則Xi和Xj屬性相同，即(Xi,Xj)?U；

若

rij<λ,

(17)

則Xi和Xj屬性不同，即(Xi,Xj)?U。

該準則稱為基于乏信息的時間序列模糊假設檢驗準則。

關于集合U的特征函數為

(18)

式中：λ*為最優水平。

在經驗置信水平PE下，若Xi和Xj關系密切，則用1表示；若不密切，則用0表示。

給定最優水平

λ*=0.5 ，

(19)

在轉折點，rij=0.5,則由(13)式得dij max=0.5η，該點即dij max的臨界點。

由(10)～(19)式可知，經驗置信水平引入了分解定理。

1.5 否定域

定義原(零)假設H0和備擇假設H1

H0： (Xi,Xj)?U，

(20)

H1： (Xi,Xj)?U，

(21)

則(18)式是模糊假設檢驗的否定域。

設顯著水平α∈[0,1]，有

PE=(1-α)×100%，

(22)

最常用的顯著水平為0.05。

2 經驗置信水平的Monte Carlo仿真

使時間序列T=500，借助計算機仿真系統，生成符合正態分布的10個數據序列(其中數學期望E=0，標準偏差s=0.01)，即獲得Xi和Xj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m;m=10)。那么，可以計算出最大差值，結果見表1。

表1 正態分布的最大差值(T=500)

表1中，有55個數據(不包括主對角線的元素)，即N=55。通過0.01的間隔寬度，將這些數據分為8組，可以得到每組數據的數量wl(l=1,2,…,8),見表2。

表2 正態分布的相關結果(T=500)

設頻率為

(23)

定義經驗概率PT為

(24)

當PT=95%時，這個調查的效率是非常明顯的。表2中，第6組數據的中位數δ6=δ=0.055 ，PT=96.4%>95%。由(12)，(14)式可得dij max=δ=0 .055，PE=94.5%，相應地，通過(14)式可以得到η=0.11。結果見表3。

表3 各種分布的數據和結果(T=500)

采用同樣的方法，進行瑞利分布、三角分布和均勻分布的Monte Carlo仿真，結果見表3。對于這4種分布，當PT=96.4%時，PE在93.5%～97.5%之間變動，PE的平均值為95.4%，與PT值很接近，差值不超過1%。因此，基于Monte Carlo仿真法獲得的PE值一致，證明了(14)式的正確性。

另外，一般置信水平為PE=95%,相應地η=0.1。

通過賦予水平λ新的意義，可應用文中定義的經驗置信水平來解決置信水平的計算問題，而采用模糊集合理論和統計理論都無法解決。

3 滾動軸承性能時間序列的試驗研究

研究涉及滾動軸承的2個性能參數，即噪聲和摩擦力矩。為了驗證提出模型的正確性，給定2個檢驗統計量

(25)

(26)

式中：Xm為平均值；s為標準差。這2個檢驗統計量的變化可認為是估計時間序列的演化，變化越大演化越嚴重,反之亦然。

3.1 滾動軸承噪聲的演化評估

試驗軸承為圓錐滾子軸承30204，試驗轉速為1 800 r/min，加載60 N的軸向載荷，隨機抽取100套軸承采用傳聲器4165測量軸承的噪聲時間序列，測得100個時間序列，如圖1所示。

圖1 圓錐滾子軸承的噪聲時間序列

描述1：從表面上看，對于噪聲時間序列X，當1≤t≤10時，噪聲處于低且平穩過程，當10

采用提出的模糊假設檢驗模型來評估演化歷史，為了研究方便,將時間序列X分成子序列

X1=(x1(1),x1(2),…,x1(10));1≤t≤10,

X2=(x2(1),x2(2),…,x2(10));11≤t≤20,

X3=(x3(1),x3(2),…,x2(40));21≤t≤60,

X4=(x4(1),x4(2),…,x4(40));61≤t≤100。

令α=0.05，則PE=95%，η=0.1。檢驗結果如下：

檢驗1)H0：(X1,X2)?U對H1：(X1,X2)?U。

考慮到X1和X2的關系，采用模糊假設檢驗模型獲得如下結果：x0(k)=40 dB,ξ*=0.250 1,γ01(ξ*)=0.547 3,γ02(ξ*)=0.242 2,d12max=0.305 1,r12=r21=0。顯然，r12=0<0.5滿足(18)式條件，則H0被拒絕，表明在PE=95%下，時間序列從X1到X2發生了重大變化(當1≤t≤20時，噪聲處于非平穩過程)，與描述1一致。

檢驗2)H0：(X2,X3)?U對H1：(X2,X3)?U。

考慮到X2和X3的關系，采用模糊假設檢驗模型獲得如下結果：x0(k)=49 dB,ξ*=0.100 1,γ03(ξ*)=0.348 2,γ04(ξ*)=0.312 9,d34max=0.035 3,r34=r43=0.647。顯然，r43=0.647>0.5不滿足(18)式條件，則H0被接受，表明在PE=95%下，時間序列從X2到X3沒有發生重大變化(當21≤t≤60時，噪聲處于平穩過程，與描述1一致。

檢驗3)H0：(X3,X4)?U對H1：(X3,X4)?U。

考慮到X3和X4的關系，采用模糊假設檢驗模型獲得如下結果：x0(k)=49 dB,ξ*=0.100 1,γ03(ξ*)=0.348 2,γ04(ξ*)=0.312 9,d34max=0.035 3,r34=r43=0.647。顯然，r43=0.647>0.5不滿足(18)式條件，則H0被接受，表明在PE=95%下，時間序列從X3到X4沒有發生重大變化(當60≤t≤100時，噪聲處于平穩的過程)，與描述1一致。

從檢驗1～3中可以看出，在95%的置信水平下，提出的推理模型是正確的，與事實相符，這也可以通過校驗統計學進行證明。

根據(25)式和(26)式，子序列X1,X2,X3，X4的均值和標準差分別如圖2和圖3所示。

當1≤t≤10(h=1)時，Xm=43 dB，s=2.684 dB；當11≤t≤20(h=2)時，Xm=48.333 dB，s=

圖2 圓錐滾子軸承噪聲子序列Xh的均值

圖3 圓錐滾子軸承噪聲子序列Xh的標準差

1.699 dB。X1和X2的均值和標準差均相差很大，這表明時間序列從X1到X2發生了重大變化；當21≤t≤60(h=3)時,Xm=47.942 dB ，s=2.175 dB；X2和X3的均值和標準差相差不大，這表明時間序列從X2到X3沒有發生重大變化；當61≤t≤100(h=4)時,Xm=47.258 dB，s=2.25 dB,X3和X4的均值標準差相差很小，這表明時間序列從X3到X4沒有發生重大變化。

模糊假設檢驗模型被證明。

3.2 滾動軸承摩擦力矩的演化評估

試驗軸承為7000型角接觸球軸承。其動態摩擦力矩試驗裝置主要包括SS1798B直流穩壓電源、反作用飛輪控制箱和真空試驗裝置等。按設定秒為單位輸出電信號，并按設定的30 min為單位間隔均勻采集了T=200個數據，試驗獲得摩擦力矩的時間序列為X，如圖4所示。

圖4 滾動軸承摩擦力矩時間序列

描述2：從表面上看，對于時間序列X，當1≤t≤50時，摩擦力矩逐漸增大；當51≤t≤100時，摩擦力矩逐漸減小；當101≤t≤200時，摩擦力矩處于平穩過程，因此，摩擦力矩時間序列X經歷了復雜的時間演變，在演變過程中，可能導致軸承的初始磨損[2]。

采用提出的模糊假設檢驗模型來評估上面的演化歷史，為了研究方便,將時間序列X分成子序列

X1=(x1(1),x1(2),…,x1(50));1≤t≤50,

X2=(x2(1),x2(2),…,x2(50));51≤t≤100,

X3=(x3(1),x3(2),…,x3(50));101≤t≤150,

X4=(x4(1),x4(2),…,x4(50));151≤t≤200。

使α=0.05，則PE=95%，η=0.1。檢驗結果如下：

檢驗4)H0：(X1,X2)?U對H1：(X1,X2)?U。

考慮到X1和X2的關系，采用模糊假設檢驗模型獲得如下結果：x0(k)=143 mA，ξ*=0.250 1，γ01(ξ*)=0.520 8，γ02(ξ*)=0.461 7，d12max=0.059 1，r12=r21=0.409。顯然，r12=0.409<0.5滿足(18)式條件，則H0被拒絕，表明在PE=95%下，時間序列從X1到X2發生了重大變化(當1≤t≤50時，摩擦力矩處于非平穩過程)，與描述2一致。

檢驗5)H0：(X2,X3)?U對H1：(X2,X3)?U。

考慮到X2和X3的關系，采用模糊假設檢驗模型獲得如下結果：x0(k)=142.9 mA,ξ*=0.000 1,γ02(ξ*)=0.080 5,γ03(ξ*)=0.000 6,d23max=0.079 9,r23=r32=0.201。顯然，r32=0.201<0.5滿足(18)式條件，則H0被拒絕，表明在PE=95%下，時間序列從X2到X3發生了重大變化(當51≤t≤150時，摩擦力矩處于非平穩的過程)，與描述2一致。

檢驗6)H0：(X3,X4)?U對H1：(X3,X4)?U。

考慮到X3和X4的關系，采用模糊假設檢驗模型獲得如下結果：x0(k)=143.2 mA,ξ*=0.200 1,γ03(ξ*)=0.416 8,γ04(ξ*)=0.411 1,d34max=0.005 7,r34=r43=0.942。顯然，r34=0.942>0.5不滿足(18)式條件，則H0被接受，表明在PE=95%下，時間序列從X3到X4沒有發生重大變化(當101≤t≤200時，摩擦力矩處于平穩的過程)，與描述2一致。

從檢驗4～6可以看出，在95%的置信水平下，提出的推理模型是正確的，與事實相符，這也可以通過校驗統計學進行證明。

根據(25)式和(26)式，子序列X1,X2,X3,X4的均值和標準差分別如圖5和圖6所示。

圖5 滾動軸承摩擦力矩子序列Xh的均值

圖6 滾動軸承摩擦力矩子序列Xh的標準差

當1≤t≤50(h=1)時，Xm=142.992 mA，s=0.521 mA；當 (即h=2)時，Xm=142.898 mA，s=0.622 mA。X1和X2的均值相差很小，但標準差相差很大，這表明時間序列從X1到X2發生了重大變化。

當101≤t≤150(h=3)時，Xm=142.568 mA，s=0.523 mA。X2，X3的均值和標準差均相差很大，這表明時間序列從X1到X2發生了重大變化。

當151≤t≤200(h=4)時，Xm=142.536 mA，s=0.466 mA。X3，X4的均值和標準差均相差很小，這表明時間序列從X3到X4沒有發生重大變化。

模糊假設檢驗模型被證明。

4 結束語

通過在模糊假設檢驗拒絕域中引入權重，確定了改進的等價關系和經驗置信水平之間的關系，同時將經驗置信水平引入模糊集合理論的分解定理，為乏信息系統的模糊決策奠定了新的基礎。Monte Carlo仿真證明，在95%的經驗置信水平下，提出的模糊假設檢驗模型能夠應用于正態分布、瑞利分布、三角分布和均勻分布4種典型概率分布。滾動軸承性能時間序列演化的試驗研究表明，在乏信息條件下該模型能夠很好地評估模型的歷史演化平穩和非平穩的過程。